在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題”是高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的明確要求與高考數(shù)學(xué)命題的重要指導(dǎo)思想之一.作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的一大主干知識(shí)，數(shù)列模塊知識(shí)是考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與能力綜合的一個(gè)基本場(chǎng)所，成為高考數(shù)學(xué)中創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用的一大重要陣地.

1 等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯

借助等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩個(gè)不同類型的數(shù)列之間的交匯，合理“串聯(lián)”起數(shù)列的基本概念、基本公式與基本性質(zhì)等，成為數(shù)列中常見(jiàn)的一類綜合應(yīng)用問(wèn)題.

例1（2024年廣東省深圳市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公差和公比都是2，若對(duì)滿足m+n≤5的任意正整數(shù)m，n，均有am+an=am+n成立.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）令bn=a2n－1a2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解析：（1）令m=n=1，則a1+a1=a2，即a2=2a1.

令m=1，n=2，則a1+a2=a3.

因?yàn)閍3=a1+2，所以3a1=a1+2，解得a1=1，a2=2.

所以an=1+2n+12－1，n=2k－1，

2×2n2－1，n=2k，k∈N*，即an=n，n=2k－1，

2n2，n=2k，k∈N*.

（2）由（1）知bn=a2n－1a2n=2n－12n，則

Tn=1×121+3×122+5×123+……+（2n－1）×12n，

12Tn=1×122+3×123+5×124+……+（2n－1）×12n+1.

兩式相減，得12Tn=12+2122+123+124+……+12n－（2n－1）×12n+1=12+2×141－12n－11－12－（2n－1）×12n+1=32－（2n+3）×12n+1.所以Tn=3－2n+32n.

2 數(shù)列與不等式的交匯

借助數(shù)列與不等式的交匯綜合與應(yīng)用，可以探究數(shù)列中的項(xiàng)或通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的最值，以及含參的數(shù)列不等式恒成立下參數(shù)的最值（或取值范圍）、數(shù)列不等式的證明等綜合問(wèn)題.

例2已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=12，a2n+1=13a2n+23an，n∈N*.證明：

（1）anlt;an+1lt;1；

（2）a1+a2+……+angt;n－94.

證明：（1）由a2n+1=13a2n+23an，得

a2n+1－1=13a2n+23an－1.

所以（an+1－1）（an+1+1）=（an－1）（an+3）3.

又因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，則an+1+1gt;0，an+3gt;0，所以an+1－1與an－1同號(hào).

因?yàn)閍1－1lt;0，所以an+1－1lt;0，即an+1lt;1.

所以a2n+1－a2n=23an（1－an）gt;0，即a2n+1gt;a2n.

因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，所以an+1gt;an.

綜上，anlt;an+1lt;1.

（2）要證a1+a2+……+angt;n－94，只需證

n－（a1+a2+……+an）lt;94.

因?yàn)椋╝n+1－1）（an+1+1）=（an－1）（an+3）3，所以1－an+11－an=an+33（1+an+1）lt;an+33（1+an）=131+21+an≤131+21+a1=79.

因?yàn)閍nlt;an+1lt;1，所以{1－an}為正項(xiàng)數(shù)列，且1－an+11－anlt;79，即有1－an1－an－1lt;79，1－an－11－an－2lt;79，……，1－a21－a1lt;79，累乘可得1－an1－a1lt;79n－1.

所以1－anlt;12×79n－1（n≥2）.

所以（1－a1）+（1－a2）+……+（1－an）lt;12×790+12×791+……+12×79n－1=12×1－79n1－79=941－79nlt;94，即n－（a1+a2+……+an）lt;94，即a1+a2+……+angt;n－94，得證.

3 數(shù)列與函數(shù)的交匯

對(duì)于數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合與應(yīng)用問(wèn)題，可以借助函數(shù)條件來(lái)探究數(shù)列中的圖象與基本性質(zhì)，利用數(shù)列的有關(guān)公式、求和方法等，結(jié)合數(shù)列關(guān)系式來(lái)研究對(duì)應(yīng)的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題等.

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)f（x）=12x2+12x對(duì)應(yīng)的圖象上.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若函數(shù)g（x）=4x4x+2，令bn=gan2 025（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前2 024項(xiàng)和T2 024.

解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)f（x）的圖象上，所以Sn=12n2+12n.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=n；

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1，滿足上式，所以an=n.

（2）因?yàn)間（x）=4x4x+2，所以g（x）+g（1－x）=1.

由（1）知an=n，所以bn=gn2 025，則

T2 024=b1+b2+……+b2 024=g12 025+g22 025+……+g2 0242 025.①

T2 024=b2 024+b2 023+……+b1=g2 0242 025+g2 0232 025+……+g12 025.②

①+②，得2T2 024=g12 025+g2 0242 025×2 024=2 024，所以T2 024=1 012.

4 數(shù)列與創(chuàng)新定義的交匯

借助數(shù)列與創(chuàng)新定義的交匯綜合與應(yīng)用，通過(guò)數(shù)列中的圖表遷移、新運(yùn)算、新概念、新情境等形式加以創(chuàng)新定義與應(yīng)用，特別是抓住創(chuàng)新定義的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，或直接利用關(guān)系式，或通過(guò)定義抽象對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合數(shù)列的基本概念、基本性質(zhì)以及基本公式等來(lái)分析與應(yīng)用.

例4（2024年河南省許昌市襄城縣高考數(shù)學(xué)模擬試卷）已知均為遞增數(shù)列的{an}和{bn}，其各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮數(shù)列.若數(shù)列{an}中任意兩個(gè)不同的項(xiàng)的和不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)，則稱數(shù)列{an}被數(shù)列{bn}屏蔽.已知數(shù)列{cn}中，滿足1c1+3c2+……+2n－1cn=n（n∈N*）.

（1）求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.

（2）若數(shù)列{dn}是首項(xiàng)與公比均為c1+1的等比數(shù)列，求數(shù)列{cndn}的前n項(xiàng)和Sn；試判斷數(shù)列{Sn}能否被數(shù)列{cn}屏蔽，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）1c1+3c2+……+2n－1cn=n（n∈N*）.③

令n=1，可得c1=1；

當(dāng)n≥2時(shí)，

1c1+3c2+……+2n－3cn－1=n－1.④

③－④，可得cn=2n－1（n≥2）.

而c1=1也滿足上式，故cn=2n－1（n∈N*）.

（2）由于c1=1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)有dn=2n，所以cndn=（2n－1）·2n，則

Sn=1×21+3×22+……+（2n－1）·2n，⑤

2Sn=1×22+3×23+……+（2n－1）·2n+1.⑥

⑤-⑥，得－Sn=2+2（22+23+……+2n）－（2n－1）·2n+1=2+23（1－2n－1）1－2－（2n－1）·2n+1=－6+（3－2n）2n+1.

所以Sn=（2n－3）·2n+1+6.

由Sn+1－Sn=（2n－1）·2n+2+6－（2n－3）·2n+1－6=（2n+1）·2n+1gt;0（n∈N*），可知{Sn}是遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為偶數(shù).而遞增數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為奇數(shù)，則數(shù)列{Sn}中任意兩個(gè)不同的項(xiàng)的和均不是數(shù)列{cn}中的項(xiàng)，所以數(shù)列{Sn}能被數(shù)列{cn}屏蔽.