摘要：零點(diǎn)存在定理中的找點(diǎn)問(wèn)題一直是導(dǎo)數(shù)壓軸題中的難點(diǎn)，文章對(duì)近年來(lái)各地高考題中的此類問(wèn)題進(jìn)行了深入探究，對(duì)“特殊點(diǎn)”的來(lái)龍去脈追本溯源，并歸納總結(jié)了幾種常見的找點(diǎn)方法.

關(guān)鍵詞：放縮法；零點(diǎn)；找點(diǎn)

零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）f（b）lt;0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有零點(diǎn)，即存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0，這個(gè)x0也就是方程f（x）=0的解.

在與零點(diǎn)問(wèn)題有關(guān)的高考?jí)狠S題中，如何確定出區(qū)間［a，b］，使f（a）f（b）lt;0，從而判斷f（x）是否存在零點(diǎn)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.常見的方法是利用不等式進(jìn)行放縮，下面對(duì)利用放縮法處理零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié).

1 利用極限進(jìn)行放縮找點(diǎn)

當(dāng)函數(shù)方程較為復(fù)雜或項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，可以采用極限分析法對(duì)原函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的正負(fù)性進(jìn)行分析，消去原函數(shù)中對(duì)正負(fù)性影響不大的項(xiàng)，再去找點(diǎn)a使得f（a）lt;0或f（a）gt;0就比較輕松了.常見的放縮有：當(dāng)xlt;0時(shí)，0lt;exlt;1.

例1（2017全國(guó)卷 Ⅰ 理21改編）證明：當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，函數(shù)f（x）=ae2x+（a－2）ex－x有兩個(gè)零點(diǎn).

分析：求導(dǎo)后易知f（x）在－∞，ln1a單調(diào)遞減，在ln1a，+∞單調(diào)遞增，又ln1agt;0，f（0）=2a－2lt;0，所以需要在（－∞，0）上找到一個(gè)點(diǎn)x1使得f（x1）gt;0.由于當(dāng)x→－∞時(shí)，ex→0+，－x→+∞，因此當(dāng)xlt;0時(shí)我們保留－x，想辦法把e2x及ex消去即可，此時(shí)f（x）gt;（a－2）ex－x，又exlt;1，a－2lt;0，則（a－2）exgt;a－2，故f（x）gt;a－2－xgt;－2－x，f（－2）gt;0，這樣就得到了第一個(gè)“特殊點(diǎn)”x1=－2.當(dāng)x∈ln1a，+∞時(shí)，我們需要找到另外一個(gè)點(diǎn)x2使得f（x2）gt;0，同理當(dāng)x→+∞時(shí)，e2x對(duì)整個(gè)函數(shù)正負(fù)的影響最大，因此始終保留e2x，把－x消去，此時(shí)xlt;ex，則－xgt;－ex，可得f（x）gt;ae2x+（a－2）ex－ex.接下來(lái)我們繼續(xù)把含參的aex消去.易得（a－2）exgt;－2ex，則f（x）gt;ae2x－3ex=ex（aex－3），于是得到了第二個(gè)“特殊點(diǎn)”x2=ln3a.

證明：易知f（x）在－∞，ln1a上單調(diào)遞減，在ln1a，+∞上單調(diào)遞增，則f（x）min=fln1a=a－1a+ln alt;0.又f（－2）=ae4+a－2e2+2gt;a－2+2=agt;0.所以f（x）在－∞，ln1a上有一個(gè)零點(diǎn).

又易證exgt;x，所以－xgt;－ex，則f（x）gt;ae2x+（a－2）ex－exgt;ae2x－3ex=ex（aex－3），所以fln3agt;3a（aeln3a－3）=0，所以f（x）在ln1a，+∞上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

2 將原函數(shù)放縮為一次函數(shù)或二次函數(shù)

當(dāng)原函數(shù)是幾個(gè)基本初等函數(shù)和的形式，且其中的指數(shù)項(xiàng)和一次或二次項(xiàng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限趨勢(shì)相同時(shí)，可以選擇縮小其中的指數(shù)，將復(fù)雜的指數(shù)式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)或二次函數(shù).這時(shí)再去找點(diǎn)a使得f（a）lt;0或f（a）gt;0就比較輕松了.

常見的放縮有：當(dāng)xgt;0時(shí)，ex≥ex，exgt;x，exgt;x+1，exgt;x2，等等.上述不等式在使用后需要構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)證明.若原函數(shù)含有三次項(xiàng)，可以考慮把三次項(xiàng)放縮成二次項(xiàng)或者提取公因式.

例2（2020全國(guó)卷Ⅰ文20改編）證明：當(dāng)agt;1e時(shí)，f（x）=ex－a（x+2）有兩個(gè)零點(diǎn).

分析：求導(dǎo)易知f（x）在（－∞，ln a）上單調(diào)遞減，在（ln a，+∞）上單調(diào)遞增，而難點(diǎn)是在（ln a，+∞）上找一個(gè)點(diǎn)x1使f（x1）gt;0.當(dāng)x→+∞時(shí)，ex→+∞，a（x+2）→+∞，但ex增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a（x+2），這時(shí)我們可以利用exgt;x2，將復(fù)雜的含指數(shù)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2－a（x+2），這樣既縮小了ex與a（x+2）的差距，也方便“特殊點(diǎn)”的尋找.顯然a2－a（a+2）lt;0，（2a）2－a（2a+2）=2a（a－1）的正負(fù)性不確定，（3a）2－a（3a+2）=2a（3a－1）gt;0，故“特殊點(diǎn)”可以取x1=3a.

證明：易知函數(shù)f（x）在（－∞，ln a）上單調(diào)遞減，在（ln a，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）min=f（ln a）=－a（1+ln a）lt;0，且ln agt;－1.又f（－2）=e－2gt;0，所以f（x）在（－∞，ln a）上存在一個(gè)零點(diǎn).

又易證exgt;x2，xgt;ln x在（0，+∞）恒成立，所以f（3a）=e3a－a（3a+2）gt;（3a）2－3a2－2agt;0，且3agt;agt;ln a，所以f（x）在（ln a，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)agt;1e時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

3 將比值型函數(shù)放縮為冪函數(shù)

若原函數(shù)是exx，ln xx之類的比值型函數(shù)，可利用exgt;x2（xgt;0），exgt;13x3，－1xlt;ln xlt;x，ln xlt;2x等不等式將原函數(shù)放縮為冪函數(shù)，然后再去找點(diǎn)a使得f（a）lt;0或f（a）gt;0.

例3（2018全國(guó)卷Ⅱ理21改編）證明：當(dāng)agt;e24時(shí)，函數(shù)f（x）=ex－ax2有三個(gè)零點(diǎn).

分析：本題把ex移項(xiàng)變形至分母，可避免二次求導(dǎo)及對(duì)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的各種討論.由f（x）=0，得a·x2ex－1=0.令g（x）=a·x2ex－1，求導(dǎo)后易知g（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，又g（2）=4ae2－1gt;1－1=0，g（0）=－1lt;0，故難點(diǎn)在于如何確定（2，+∞）的點(diǎn)x0使g（x0）lt;0.若利用exgt;x2放縮，則a·x2ex－1lt;a5x2x2－1=a－1，而a－1gt;0，顯然放縮失敗，于是利用exgt;13x3重新放縮，則a·x2ex－1lt;3ax－1，故“特殊點(diǎn)”可以取x=3a.

證明：令g（x）=ax2ex－1，則f（x）=0即g（x）=0.易知g（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減.由g（0）=－1lt;0，g（2）=4ae2－1gt;1－1=0，可知g（x）在（0，2）有一個(gè)零點(diǎn).又g（－2）=a54e－2－1gt;e4－1gt;0，所以g（x）在（－∞，0）有一個(gè)零點(diǎn).

易證exgt;13x3在（0，+∞）恒成立，則g（3a）=a·（3a）2e3a－1lt;9a313（3a）3－1=0，所以g（x）在（2，+∞）有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)agt;e24時(shí)，g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，即f（x）有三個(gè)零點(diǎn).

4 巧用立方和與立方差公式進(jìn)行放縮

若原函數(shù)含有三次項(xiàng)，可以考慮把三次項(xiàng)放縮成二次項(xiàng)或者提取公因式，或者使用立方和與立方差公式進(jìn)行因式分解，然后再去找點(diǎn)a使得f（a）lt;0或f（a）gt;0.

例4（2018全國(guó)卷Ⅱ文21節(jié)選）證明：函數(shù)f（x）=13x3－a（x2+x+1）只有一個(gè)零點(diǎn).

分析：下面的解法是標(biāo)答解法，但3a－1和3a+1這兩個(gè)特殊點(diǎn)可謂是神來(lái)之筆，讓人猝不及防，對(duì)于這兩個(gè)“特殊點(diǎn)”是怎么來(lái)的，大部分教輔都是避之不談，把真正的難點(diǎn)一筆帶過(guò).實(shí)際上這里利用了立方差公式x3－1=（x－1）（x2+x+1）進(jìn)行放縮，g（x）=（x3－1）+1x2+x+1－3a=x+1x2+x+1－3a－1，又x2+x+1≥34，則1x2+x+1∈0，43，所以x－3a－1lt;g（x）≤x+43－3a－1lt;x－3a+1，則g（3a+1）gt;0，g（3a－1）lt;0，所以g（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

證明：x2+x+1=x+122+34gt;0，令g（x）=x3x2+x+1－3a，則f（x）=0即g（x）=0.又g′（x）=x2［（x+1）2+2］（x2+x+1）2≥0，則g（x）在R上單調(diào)遞增，所以g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn).

又f（x）=13x－ax2－a（x+1），則f（3a+1）=13（3a+1）－a（3a+1）2－a（3a+2）=13（3a+1）2－（3a2+2a）=13gt;0，f（3a－1）=13（3a－1）－a（3a－1）2－a·3a=－6a2+2a－13=－6a－162－16lt;0.

故f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

零點(diǎn)問(wèn)題中“找點(diǎn)”的過(guò)程，其實(shí)就是一個(gè)不斷試錯(cuò)的過(guò)程，在找出點(diǎn)a使得f（a）lt;0或f（a）gt;0的過(guò)程中，我們應(yīng)該對(duì)幾類初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等）的增長(zhǎng)趨勢(shì)了然于心，這樣才能“抓大放小”，從而利用常用不等式將指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)放縮，以達(dá)到“找點(diǎn)”的目的.