陳春芳

江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) (214174)

一、案例

下面的解析幾何題是我校高三的一次測(cè)試中的填空題，在講評(píng)課上我按照自己的解法講解了 ，當(dāng)時(shí)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，也沒(méi)有學(xué)生表示異議，事隔幾天后，一位學(xué)生拿著試卷來(lái)問(wèn)我這道題 目.當(dāng)時(shí)我還有點(diǎn)不耐煩地說(shuō)，不是上課已經(jīng)講評(píng)過(guò)了嗎?沒(méi)聽(tīng)懂?這位學(xué)生說(shuō)，你的解法我 聽(tīng)懂了，但是我的解法跟你的解法不一樣，得出來(lái)的結(jié)果也不同，我覺(jué)得我做的也是對(duì)的. 下面我們一起來(lái)看一下這道題的兩種不同解法.

題目 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰好是雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn)，且兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F，則該雙曲線的離心率為 .

1.教師的解法

解：如圖1所示，設(shè)拋物線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，則由題意可知x瑼=x瑽=c，又∵拋物線的焦點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，∴p2=c，即p=2c.∵點(diǎn)A在拋物線上，∴將x瑼=c代入y2=2px，得y瑼=2c,得點(diǎn)A(c,2c)，將之代入x2a2-y2b2=1，得c2a2-4c2b2=1.∴b2c2-4a2c2=a2b2,將b2=c2-a2,代入整理得a4-6a2c2+c4=0.兩邊同時(shí)除以a4得e4-6e2+1=0,∴e2=3±22.∵e>1,∴e2=3+22，即e=1+2.

2.學(xué)生的解法

解：∵拋物線的焦點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，∴p2=c，即p=2c.聯(lián)立y2=2px,

x2a2-y2b2=1,消去y得b2x2-4a2cx-a2b2=0,∵拋物線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程b2x2-4a2cx-a2b2=0的兩根，∴x1+x2=4a2cb2,∵兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)焦點(diǎn)F，∴x1=x2=2a2cb2,又x1=x2=x璅=c,∴2a2cb2=c,即2a2=b2.將b2=c2-a2，代入上式得3a2=c2,∴e=3.

3.究竟錯(cuò)在哪里?

不同的解法得出了不一樣的結(jié)果，難道是題目錯(cuò)了?帶著疑問(wèn)我對(duì)兩種解法進(jìn)行了剖析.第一種解法是根據(jù)A是兩曲線的交點(diǎn)，利用點(diǎn)在曲線上，用字母表示出交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出了離心率的值.而第二種解法是根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解，然后運(yùn)用韋達(dá)定理將根的關(guān)系轉(zhuǎn)化成系數(shù)之間的關(guān)系從而得出了離心率的值.在這兩種解法中交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法不同，難道問(wèn)題就出在這里?但是哪一種解法不對(duì)呢?是什么原因呢?只有回到具體的解題過(guò)程中才能找到問(wèn)題的所在.

我們就第二種解法進(jìn)行分析，這里采用了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即韋達(dá)定理，但是我們熟知韋達(dá)定理的完整內(nèi)容是x1+x2=-ba,獂1?x2=ca(其中a,b,c是方程ax2+bx+c=0的系數(shù)).而在此解答過(guò)程中只用到x1+x2=-ba，那么我們?cè)倏纯磝1?x2=-a2，看起來(lái)這個(gè)等式對(duì)于本題的解答無(wú)關(guān)緊要，但是我們仔細(xì)分析將發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的所在.我們?cè)倏丛}，A、B兩點(diǎn)是拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線x2a2-y2b2=1圖像的兩個(gè)交點(diǎn)，我們借助圖形來(lái)分析，拋物線位于y軸的右側(cè)，即兩個(gè)交點(diǎn)均在y軸的右側(cè)，那么它們的橫坐標(biāo)應(yīng)該滿足x1>0,x2>0，這與x1?x2=-a2<0矛盾.而在學(xué)生的解法中，她錯(cuò)誤地認(rèn)為兩根都是正根.當(dāng)時(shí)，我沒(méi)有就她的解法深入地研究下去，只是粗略地分析了一下，而且還對(duì)她說(shuō)第二種解法是錯(cuò)誤的，這道題目不能這么解.

4.學(xué)生的解法能否改進(jìn)?

解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.既然這道題目沒(méi)有問(wèn)題，那么從代數(shù)的角度也能夠有解決該問(wèn)題的方法.學(xué)生的解法是代數(shù)的方法，應(yīng)該也能夠解決該幾何問(wèn)題.于是，我就研究了第二種方法錯(cuò)誤的原因，從而得出了如下正確的解法.

解：∵拋物線的焦點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，∴p2=c，即p=2c.聯(lián)立y2=2px

x2a2-y2b2=1消去y得b2x2-4a2cx-a2b2=0.設(shè)x1,x2是方程b2x2-4a2cx-a2b2=0的兩根，則x1+x2=4a2cb2,

x1?x2=-a2,由此可知方程有一正根一負(fù)根.

∵拋物線與雙曲線有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程b2x2-4a2cx-a2b2=0有且只有一個(gè)正根滿足題意，另一個(gè)負(fù)根必為增根.不妨設(shè)x1>0,由題意可設(shè)A(x1,y1),B(x1,y2)，則x1=x璅=c.將x1=c代入方程b2x2-4a2cx-a2b2=0可得，b2c2-4a2c2-a2b2=0.將b2=c2-a2代入整理得a4-6a2c2+c4=0,兩邊同時(shí)除以a4得e4-6e2+1=0,∴e2=3±22，∵e>1,∴e2=3+22，即e=1+2.

二、思考

1.學(xué)習(xí)過(guò)程中我們可以采用類比的方法，但不能照搬

學(xué)生提供的解法錯(cuò)誤的原因是什么呢?根據(jù)方程研究直線與直線、直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是平面解析幾何的重要內(nèi)容，求交點(diǎn)的方法也都可以通過(guò)聯(lián)立方程組，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo).對(duì)于直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，我們通常通過(guò)建立方程組ax+by+c=0(1)

Ax2+By2+C=0(2)消元得到方程Dx2+Ex+F=0(*).如果方程(*)無(wú)解，則直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，如果方程(*)有唯一的解，則直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，如果方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).原方程組解的個(gè)數(shù)與方程(*)解的個(gè)數(shù)相同.但是這個(gè)結(jié)論在本題中不能套用，拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線x2a2-y2b2=1的交點(diǎn)問(wèn)題仍然可以聯(lián)立方程組y2=2px(3)

x2a2-y2b2=1(4)消去y得b2x2-2a2px-a2b2=0(**).如果方程(**)無(wú)實(shí)根，則原方程組無(wú)解，如果方程(**)有一個(gè)正根，將之代入(3)或(4)都可以得到兩個(gè)根，也就是原方程組有兩組解，對(duì)應(yīng)的拋物線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).如果方程(**)有一個(gè)負(fù)根，則代入(3)可知這個(gè)根不滿足原方程組，這就是本題中導(dǎo)致第二種解法錯(cuò)誤的原因.當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)有兩種對(duì)象結(jié)構(gòu)特征相似時(shí)，不加以深思，就進(jìn)行類比，盲目地把解法照搬，這樣得出的結(jié)果常常是牽強(qiáng)附會(huì)的，有時(shí)還會(huì)是錯(cuò)誤的.

2.由“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化一定要等價(jià)，不能顧此失彼

我們常將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，處理代數(shù)問(wèn)題，分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問(wèn)題.這種思想貫穿于平面解析幾何的始終，但是在“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化的過(guò)程中應(yīng)遵循等價(jià) 性原則.

下面舉例簡(jiǎn)要說(shuō)明.

例1 已知拋物線y2=6x與圓(x-a)2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，由圖2可知當(dāng)圓位于y軸左側(cè)，容易得到a<-2時(shí)滿足沒(méi)有公共點(diǎn)條件，但是當(dāng)圓位于y軸右側(cè)時(shí)很難從“形”的角度分析出臨界位置，因此需要從“數(shù)”的角度進(jìn)行精確分析，正所謂“形缺數(shù)時(shí)難入微”.

解：聯(lián)立方程組y2=6x,

(x-a)2+y2=4,消去y得x2+(6-2a)x+a2-4=0(***) ∵拋物線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，∴方程(***)無(wú)非負(fù)實(shí)根，即方程(***)無(wú)實(shí)根或者有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，∴△<0或△≥0，

x1+x2=2a-6<0,

x1?x2=a2-4>0,∴a<-2或a>2.

上述解法是用代數(shù)的方法處理了幾何問(wèn)題，但是在將兩條曲線無(wú)交點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中往往易出現(xiàn)錯(cuò)誤.例如容易轉(zhuǎn)化為方程(***)無(wú)實(shí)根，這種錯(cuò)誤解法產(chǎn)生的原因是忽略了拋物線y2=6x中隱含的條件“x≥0”，從而得到的結(jié)論與原來(lái)的命題不等價(jià).

3.注意“數(shù)形結(jié)合”在解析幾何中的應(yīng)用，不可“純代數(shù)化”

解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”，但是要注意代數(shù)與幾何的相互作用，強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的結(jié)合.借助數(shù)形結(jié)合可以克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性，增加數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)的直觀性.實(shí)際上，首先應(yīng)該明確面臨的幾何問(wèn)題是什么，然后才能用代數(shù)方法研究之.所以，一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理、論證和求解”.如果過(guò)多地把注意力集中在代數(shù)角度研究，雖然能達(dá)到細(xì)致入微的境界，但是沒(méi)有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握幾何性質(zhì)，有時(shí)甚至?xí)?dǎo)致解題變得更繁瑣.因此解決解析幾何的問(wèn)題時(shí)一定要注意數(shù)形結(jié)合，選擇恰當(dāng)?shù)慕夥?

例2 若直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x24+y2m=1總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.這是一道作業(yè)題，當(dāng)時(shí)近半數(shù)同學(xué)的解答過(guò)程是這樣的：

解：聯(lián)立方程組y=kx+1,

x24+y2m=1,消去y得(14+k2m)x2+2kmx+1m-1=0(****)，若直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則不論實(shí)數(shù)k取何值，方程(****)在x∈［-2，2］時(shí)總有解，這個(gè)代數(shù)問(wèn)題既涉及了恒成立問(wèn)題，又涉及了閉區(qū)間上有解的問(wèn)題，這是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，幾乎大部分學(xué)生都是束手無(wú)策，本解法只能就此擱淺.

這些學(xué)生基本上是套用現(xiàn)成的結(jié)論，曲線無(wú)公共點(diǎn)即聯(lián)立曲線方程應(yīng)該無(wú)解，而他們忽略了本題是含有參數(shù)的問(wèn)題，如果從數(shù)的角度思考，難度無(wú)形中就增加了很多.解決解析幾何問(wèn)題，分析圖形特征仍是首要的任務(wù).本題只需要畫(huà)出圖形，如圖3，直線盡管不是確定的，但是這些直線是過(guò)定點(diǎn)(0，1)，當(dāng)直線的位置發(fā)生變化時(shí)，只要保證定點(diǎn)(0，1)在橢圓內(nèi)部，則直線與橢圓總會(huì)有公共點(diǎn)，也就是只要024+12m<1,同時(shí)由于橢圓焦點(diǎn)在x軸上，所以m<4，最后解得正確答案1≤m<4.

很多學(xué)生在討論解析幾何問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有畫(huà)圖的習(xí)慣，完全變成了代數(shù)的恒等變換，這樣做不好.解析幾何是研究圖形的學(xué)科，“圖”在解析幾何研究中發(fā)揮著很重要的作用，它可以幫助我們確定解題的方向.教師在解析幾何的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣，促進(jìn)“數(shù)形結(jié)合”思想的逐步形成.

4.注重“同伴互助”，促進(jìn)師生共同進(jìn)步

同伴互助是在強(qiáng)調(diào)自我反思的同時(shí)，開(kāi)放自己，主動(dòng)與教學(xué)伙伴進(jìn)行合作性的切磋和討價(jià)還價(jià)式的探討，共同探究問(wèn)題，共同分享經(jīng)驗(yàn).在新課程中更應(yīng)強(qiáng)調(diào)同伴互助和合作，師生之間應(yīng)建立積極的伙伴關(guān)系，建立一種新的促進(jìn)師生合作、發(fā)展的教育文化，形成寬松的環(huán)境和開(kāi)放的氛圍，加強(qiáng)師生之間教學(xué)、學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流與對(duì)話、溝通、協(xié)作、合作，使不同的理念、思想在不斷的交流與沖突中升華.教師要時(shí)時(shí)積極準(zhǔn)備參與學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)，這對(duì)教師提出了極高的要求，甚至是極嚴(yán)峻的考驗(yàn).學(xué)生不盲從長(zhǎng)者，不迷信權(quán)威，這標(biāo)志著時(shí)代的進(jìn)步，也是我們教育的成功.