張麗娟

江蘇省無錫高等師范學(xué)校 (214001)

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng).

由于創(chuàng)造性思維并非是單一的思維形式，因此，注重?cái)?shù)學(xué)思維訓(xùn)練，必須充分重視形象思維，發(fā)散思維和直覺思維的培養(yǎng)，并注意各種思維方式的辨證運(yùn)用，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維方式.并通過具體的解決數(shù)學(xué)問題的獨(dú)立探索和鉆研，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的規(guī)律和方法，發(fā)展學(xué)生敏銳的觀察力和豐富的想象力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

人們?cè)谔角笪粗R(shí)的過程中，由于目的的不同以及思維形態(tài)的差異，在由已知條件過渡到結(jié)論的思維活動(dòng)方式方面也往往具有多樣性.根據(jù)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程的特點(diǎn)，本文從以下三個(gè)方面來探討這個(gè)問題.

一、形象思維是培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)

形象思維，是一種借助于具體的形象來展開的思維過程.數(shù)學(xué)中的形象思維不同于其他形象思維形式(如藝術(shù)的形象思維、文學(xué)的形象思維)，它是以表象、直感和想象為基本形式，以觀察實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想類比等形象方法為基本形式的思維方法.

形象思維接通媒介的橋梁是形與象，它有自己專門的活動(dòng)領(lǐng)域.把數(shù)學(xué)文字用圖形刻畫出來，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，平面幾何中輔助線的添加，立體幾何中借助圖形和形象進(jìn)行的推理，變換角度觀察圖形都是形象思維的具體體現(xiàn).

在培養(yǎng)形象思維時(shí)，經(jīng)常是由形與象經(jīng)過思維形成概念，再 由概念聯(lián)系形與象進(jìn)行推理，形與象抽象形成的概念與形象之間多次反復(fù)地聯(lián)絡(luò)、交換信息，從而使形象思維深刻化.

例1 已知a,b分別是方程x+玪g玿=10與x+10瑇=10的解，求證：a+b=10.

分析：通過形象思維，借助直觀，根據(jù)題意可把一元方程的解看成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.

證明：如圖1，∵x+玪g玿=10,x+10瑇=10,∴玪g玿=10-x;10瑇=10-x.于是a,b分別為函數(shù)y=玪g玿與y=10瑇的圖像與直線y=10-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(a,10-a),B(b,10-b)，由于函數(shù)y=玪g玿與y=10瑇互為反函數(shù)，且直線y=10-x與y=x相互垂直，所以點(diǎn)A與B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以a=10-b即a+b=10.

例2 已知：正數(shù)x、y、z滿足方程x2+y2+xy=1,

y2+z2+yz=3,

z2+x2+zx=4,求x+y+z的值.

分析：此題看起來是一個(gè)解方程的問題，但如果利用代數(shù)的方法，通過解方程來求解，解題過程會(huì)非常的繁雜，為了直觀、清楚、快捷地解決問題，我們可根據(jù)三個(gè)方程的數(shù)式特征，構(gòu)造三個(gè)有相同頂點(diǎn)且頂角為120°的三角形，再利用三角形的面積公式，便能順利的求解.

解：如圖2，構(gòu)造三個(gè)有相同頂點(diǎn)且頂角為120°的三角形，設(shè)OB=x,OA=y,OC=z，由余弦定理：x2+y2+xy=1=AB2,y2+z2+yz=3=AC2,z2=x2+zx=4=BC2,∴AB2+AC2=BC2,故△ABC為直角三角形，∠A=90°,且S△ABC=S△OAC+S△OCB+S△OBA=32,即12xy玸in120°+12yz玸in120°+12zx玸in120°=32,∴34(xy+yz+zx)=32,∴xy+yz+zx=2,又∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=12［8-(xy+yz+zx)］+4=7,∴x+y+z=7.

利用直觀想象，借助形象思維是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，是培養(yǎng)和形成良好思維方式的基礎(chǔ).

二、發(fā)散思維是培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)思維的重要環(huán)節(jié)

發(fā)散思維是對(duì)已知信息進(jìn)行多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題，探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解法或多種效果的思維方式，它的特點(diǎn)是思路廣闊，尋求變異，對(duì)已知信息通過轉(zhuǎn)換或改造進(jìn)行擴(kuò)散，派生以形成各種新信息，發(fā)散思維在思維方式上是逆向的、側(cè)向的和多向的，在思維內(nèi)容上是變通的和開放的，它對(duì)推廣原問題、引申舊知識(shí)、發(fā)現(xiàn)新方法等具有積極的開拓作用.

發(fā)散思維有思路開闊的特點(diǎn)，并能向不同方向發(fā)展，很少受目標(biāo)的限制，它往往能推翻成見，自由地探索新知的領(lǐng)域，以尋求更多更新的解決問題的方法、途徑和思路.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，一題多解是發(fā)散性思維能力的最好體現(xiàn).

例3 已知數(shù)列{a璶}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)a﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0(n=1,2,3，…)，求它的通項(xiàng)公式.

解法一：當(dāng)n=1時(shí)有2a22+a2-1=0，解出正數(shù)a2=12；當(dāng)n=2時(shí)有3a23-2a22+a3a2=0,即6a23+a3-1=0解出正數(shù)a3=13；同理可求出a4=14…；由此猜想通項(xiàng)公式為：a璶=1n(n∈N)，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

解法二：∵(n+1)a2﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0,∴［(n+1)a﹏+1-na璶］(a﹏+1+a璶)=0,又

∵a﹏+1+a璶>0,從而(n+1)a﹏+1=na璶,利用遞推代換na璶=(n-1)a﹏-1=(n-2)a﹏-2=…=a1=1,∴a璶=1n.

解法三：∵(n+1)a2﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0,兩邊同時(shí)除以a2璶得(n+1)(a﹏+1猘璶)2+a﹏+1猘璶-n=0,由求根公式得正根a﹏+1猘璶=1+4n(n+1)-12(n+1)=nn+1,∴a璶=a1?a2a1?a3a2?…?a璶a﹏-1=1?12?23?…?n-1n=1n.

例4 求函數(shù)y=玸in玿+1玞os玿+2的最大、最小值.

此題既可以用代數(shù)的方法，也可以用幾何的方法來解決，引導(dǎo)學(xué)生利用不同的方法和途徑思考問題，能讓學(xué)生的思維發(fā)散，思路活躍，思維敏捷，辦法多而新穎.

解法一：由萬能公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于玹an玿2的一元二次函數(shù)，然后根據(jù)玹an玿2∈R，用判別式求解.設(shè)玹an玿2=t，則y=1+2t1+t22+1-t21+t2=t2+2t+1t2+3,即yt2+3y=t2+2t+1,∴t2(y-1)-2t+(3y-1)=0,當(dāng)y≠1時(shí)，t=玹an玿2∈R，∴△=4-4(y-1)(3y-1)=-12y2+16y≥0,∴0≤y≤43,即函數(shù)的最小值為0，最大值為43.

解法二：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為a玸in玿+b玞os玿的形式，引入輔助角φ，化為r玞os(x+φ)，然后由正、余弦函數(shù)的有界性求解.

∵y=玸in玿+1玞os玿+2，從而2y+y玞os玿=1+玸in玿,即y玞os玿-玸in玿=1-2y,∴y1+y2?玞os玿-11+y2?玸in玿=1-2y1+y2,設(shè)玹anφ=1y，則玸inφ=11+y2,玞osφ=y1+y2,∴玞os(x+φ)=1-2y1+y2,又|玞os(x+φ)|≤1，從而|1-2y1+y2|≤1，∴(1-2y)2≤y2+1,∴3y2-4y≤0，即0≤y≤43,所以函數(shù)的最小值為0，最大值為43.

解法三：把“玸in玿+1”看成“玸in玿-(-1)”，同理把“玞os玿+2”看成“玞os玿-(-2)”，再聯(lián)想到由兩點(diǎn)所確定直線的斜率公式，f(x)就可看成過兩點(diǎn)P(-2，-1)和Q(玞os玿,玸in玿)的直線的斜率，這里P是定點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)滿足：x2+y2=玞os2x+玸in2x=1，即點(diǎn)Q是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，于是，要求f(x)的最大、最小值，只要構(gòu)造以下的輔助圖形，當(dāng)點(diǎn)Q在單價(jià)圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)直線PQ斜率的最大、最小值就是所求.

如圖3，過P(-2，-1)作單位圓x2+y2=1的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，設(shè)∠APB=2α,則∠APO=∠OPB=α，所以PB∥Ox，∴k㏄B=0,玹anα=12,∴k㏄A=玹an2α=2玹anα1-玹an2α=43,所以函數(shù)的最小值為0，最大值為43.

發(fā)散性思維是一種開放性思維，培養(yǎng)和訓(xùn)練發(fā)散思維，要力求通過類比、聯(lián)想等思維方式，使思維向各個(gè)方向擴(kuò)散，實(shí)現(xiàn)開放式的、多元化的思維模式，以達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通.

三、直覺思維是培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)思維的有效途徑

直覺思維是指對(duì)一個(gè)問題未經(jīng)逐步分析，僅依據(jù)內(nèi)因的感知迅速地對(duì)問題答案作出判斷、猜想、設(shè)想，或者在對(duì)疑難百思不得其解之中，突然對(duì)問題有“靈感”和“頓悟”，甚至對(duì)未來事物的結(jié)果有“預(yù)感”“預(yù)言”等都是直覺思維.

數(shù)學(xué)直覺思維是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其結(jié)構(gòu)、規(guī)律在整體上的直接領(lǐng)悟和觀察把握，即在觀察想象的基礎(chǔ)上調(diào)動(dòng)個(gè)體原有的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)一定的意向，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)、猜想或判斷，并跳過若干中間步驟或放過個(gè)別細(xì)節(jié)而直接把握研究對(duì)象的本質(zhì)和聯(lián)系，它不受固定的邏輯約束，并以潛邏輯的形式進(jìn)行，以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數(shù)學(xué)關(guān)系，能在一瞬間迅速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題.

“跟著感覺走”是我們經(jīng)常講的一句話，其實(shí)這句話里已蘊(yùn)涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念，在教學(xué)中教師應(yīng)該把直覺思維在課堂教學(xué)中明確提出，并制定相應(yīng)的活動(dòng)策略，從整體上分析問題的特征，重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué).

例5 已知abc=1，則aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1的值是().

(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2

分析：此題的條件少不易入手，根據(jù)直覺，結(jié)合條件“abc=1”令a、b、c的值都為1，則aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=13+13+13=1，故選(A).

例6 已知x、y、z∈R+，且x+y+z=1，求函數(shù)f(x,y,z)=(x+1x)2+(y+1y)2+(z+1z)2的最大值.

分析：對(duì)于本題，若試圖直接求最大值，無從下手，觀察變量x、y、z可知，它們?cè)跅l件中地位“平等”，在函數(shù)f(x,y,z)中具有對(duì)稱性.由直覺可以預(yù)測(cè)，當(dāng)x=y=z=13時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)，函數(shù)f(x,y,z)的值為(3+13)2+(3+13)2+(3+13)2=1003，預(yù)測(cè)(x+1x)2+(y+1y)2+(z+1z)2≥1003,故只需進(jìn)一步檢驗(yàn)預(yù)測(cè)結(jié)果的正確性.將無目標(biāo)的最值求解題轉(zhuǎn)化為有目標(biāo)的證明題，降低了原問題的難度.將不等式的左邊展開得f(x,y,z)=(x2+y2+z2)+(1x2+1y2+1z2)+6,當(dāng)x=y=z=13時(shí)，x2+y2+z2=13,1x2+1y2+1z2=27，又13+27+6=1003,直覺告訴我們只需證明：x2+y2+z2≥13(1)，1x2+1y2+1z2≥27(2)，對(duì)于不等式(1)，不難通過不等式3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2證得；對(duì)于不等式(2)，可由不等式x+y+z≥33xyz，1x2+1y2+1z2≥

33(1xyz)2證得.

在解決問題的過程中，直覺可以觸發(fā)靈感的到來，但直覺中難免混有假象，必須通過邏輯推理來檢驗(yàn)驗(yàn)證，在揚(yáng)棄的過程中得到正確的結(jié)論，因此我們?cè)诮虒W(xué)過程中要安排一定的直覺階段，給學(xué)生留下直覺思維的空間，使學(xué)生在實(shí)踐和訓(xùn)練中，通過在整體觀察和局部觀察的結(jié)合中發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，猜想、判斷、論證.

參考文獻(xiàn)

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