劉瑞美　黃淑賢

利用平面的法向量可以方便地求出二面角平面角的大小，由于兩法向量的夾角未必就是二面角的平面角的大小，許多雜志上都介紹了直接從圖形上觀察兩法向量的方向，來確定兩法向量的夾角是否為兩平面的夾角.這種方法雖然簡單，但由于空間任意兩個向量都是共面的，要從圖形上直接判定他們的方向，需要很強的空間想象能力，好多學生是達不到這種境界的.在最后的復習中，我利用下面的兩個定理引導學生用向量法求二面角的大小時，學生不知道如何找二面角內(nèi)的點，結(jié)果給解題帶來麻煩.為了幫助學生更好更快的解題，我們在二面角內(nèi)總可以找到一個三角形，將此三角形的重心作為二面角內(nèi)的點，可以不加思索的讓學生很方便的正確求解，偶有所得，現(xiàn)結(jié)合2008年高考題，寫出來與大家同享.

為了方便解決問題，現(xiàn)給出如下兩個定理：

定理1 向量m是平面α的一個法向量，點O在平面α內(nèi)，點P在平面α外.若m·OP>0，則向量m與向量OP指向平面α的同側(cè)(如圖1）；若m·OP<0，則向量m與向量OP指向平面α的異側(cè)(如圖2）.

證明 當m·OP>0時，因為m·OP=|m|·|OP|cosθ，所以cosθ＞0，所以0≤θ<π2，所以向量m與向量OP指向平面α的同側(cè).同理可證當m·OP<0時，cosθ＜0，所以π2<θ≤π，所以向量m與向量OP指向平面α的異側(cè).

定理2 點P是二面角α-l-β內(nèi)一點，點O是棱l上一點，向量m,n分別是平面α,β的一個法向量，二面角α-l-β的平面角的大小為θ.

若m·OP與n·OP同號，則θ=π-；若m·OP與n·OP異號，則θ=(如圖3）.

證明 (1）若m·OP與n·OP異號

1） 當m·OP>0且n·OP<0時，由定理1易知：向量m與向量OP指向平面α的同側(cè)；向量n與向量OP指向平面β的異側(cè),而OP始終都是指向兩平面外部的，所以向量m與向量n與兩平面的指向互異，所以θ=

2） 同理可證當m·OP<0且n·OP>0時，θ=

(2）若m·OP與n·OP同號

1）當m·OP>0且n·OP>0時，由定理1易知：向量m與向量OP指向平面α的同側(cè)；向量n與向量OP也指向平面β的同側(cè)，而始終OP都是指向兩平面外部的，所以向量m與向量n與兩平面的指向一致，所以θ=π-；

2）同理可證：當m·OP<0且n·OP<0時，θ=π-

例1 (2008年全國高考數(shù)學北京卷文）

如圖4，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

(Ⅰ）求證：PC⊥AB；

(Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.

解 (Ⅰ)略

點評 法向量的夾角與二面角的大小可能相等也可能互補，要注意法向量的方向.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”