孟　坤

線段和角是初中數(shù)學(xué)所研究的兩類(lèi)最基本的圖形，它們有一些類(lèi)似的屬性. 研究有關(guān)角的問(wèn)題，可類(lèi)比線段問(wèn)題的研究方法. 我們知道，無(wú)論比較線段的長(zhǎng)短，還是比較角的大小，都有估測(cè)、度量和疊合等方法.那么，在實(shí)際問(wèn)題中，怎樣根據(jù)需要來(lái)選擇合適的方法呢？

一、估測(cè)法

在比較幾條線段的長(zhǎng)短時(shí)，如果各條線段的長(zhǎng)短差別較明顯，而又不需要知道相差多少，或度量、疊合有困難時(shí)，可用估測(cè)法.

例如學(xué)校四周?chē)鷫Ω叩筒灰唬绻氪_定哪一面墻較高，用目測(cè)就夠了；如果想知道校園中央的旗桿距前、后教學(xué)樓哪一段距離更長(zhǎng)一些，可以用步量；如果要比較的兩條線段不太長(zhǎng)，還可用張開(kāi)大拇指和中指來(lái)量長(zhǎng)度，這些都屬于估測(cè)法.

類(lèi)比線段的大小比較，我們可以用估測(cè)法比較角的大小. 用此方法比較角的大小較為直觀，但不夠準(zhǔn)確，適用于角度差別大或者對(duì)角度要求不高時(shí)的角的大小比較. 例如比較畫(huà)在紙上的兩個(gè)角的大小，如果大小相差明顯，用估測(cè)法就可判斷出誰(shuí)大誰(shuí)小.

二、度量法

如果要比較的線段長(zhǎng)短差別不太明顯，而又不便于放在一起比較，或者想知道相差多少，可以用度量法. 通過(guò)度量線段的長(zhǎng)度，由長(zhǎng)度的大小可得到線段的大小.

類(lèi)比線段的大小比較，我們可以用量角器量得角的度數(shù)，再根據(jù)角的度數(shù)來(lái)比較角的大小.

例1 如圖1，△ABC的三邊可表示成線段AB、線段AC和線段BC.

（1）先測(cè)量三邊的長(zhǎng)度，再在下面橫線上填入“＞”、“＜”或“ = ”.

① AB + AC ____ BC；② AB + BC ____ AC；③ AC + BC ____ AB.

（2）你能得到什么結(jié)論？

分析：（1）通過(guò)測(cè)量，容易得到大小關(guān)系；（2）以①為例，AB + AC可看做AB與AC是連接B與C兩個(gè)端點(diǎn)的一條折線，而B(niǎo)C是連接B、C兩個(gè)端點(diǎn)的一條線段. 故可得到結(jié)論“兩點(diǎn)之間線段最短”.

解：（1）均填“＞”；

（2）結(jié)論是“兩點(diǎn)之間線段最短”（或“三角形任意兩邊之和大于第三邊”）.

本題得到的結(jié)論不唯一，這是一個(gè)開(kāi)放型問(wèn)題.

例2 根據(jù)圖2求解下列問(wèn)題.

（1）借助三角尺，比較∠EOD和∠COD的大??；

（2）用量角器度量，比較∠BOC和∠COD的大小.

分析：（1）我們選擇三角尺的一個(gè)角來(lái)估算這兩個(gè)角大約的度數(shù)，就可以達(dá)到比較的目的；（2）通過(guò)度量也容易得出結(jié)論.

解：（1）用三角尺中30°的角分別與∠EOD和∠COD比較，可以發(fā)現(xiàn)∠EOD<30°，∠COD>30°，所以∠EOD<∠COD；

（2）通過(guò)度量可知：∠BOC = 50°，∠COD=40°，所以∠BOC>∠COD.

當(dāng)借助三角尺比較兩個(gè)角的大小時(shí)，我們選擇的三角尺的“角”要適當(dāng)；當(dāng)兩個(gè)角的大小非常接近時(shí)，我們可以借助量角器來(lái)比較這兩個(gè)角的大小.

三、疊合法

如果要比較的線段長(zhǎng)短無(wú)需知道相差數(shù)據(jù)，而放在一起又比較方便，即可用疊合法比較其大小. 例如比較線段AB、CD的長(zhǎng)短，可先畫(huà)一條直線，在上先作出線段AB，再作出線段CD，并使點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與D位于點(diǎn)A的同側(cè).

① 如果點(diǎn)D和點(diǎn)B重合，則線段AB與線段CD相等，記作AB = CD，如圖3（1）；

② 如果點(diǎn)D在線段AB內(nèi)部，則線段AB大于線段CD，記作AB＞CD，如圖3（2）；

③ 如果點(diǎn)D在線段AB外部，則線段AB小于線段CD，記作AB＜CD，如圖3（3）.

再如兩個(gè)人比高低，只要在平地上背靠背站在一起，旁邊的人就可觀察出來(lái). 要比較幾根鉛筆的長(zhǎng)短，只要握在手里并將一頭對(duì)齊，看另一頭就行了.

類(lèi)比線段的大小比較，我們可用疊合法比較角的大小. 例如比較∠ABC與∠DEF的大小，可先讓頂點(diǎn)B、E重合，再讓邊BA和ED重合，使另一邊EF和BC落在BA（ED）的同側(cè).

① 若EF和BC也重合，那么∠DEF等于∠ABC，記作∠DEF = ∠ABC，如圖4（1）；

② 若EF落在∠ABC的外部，那么∠DEF大于∠ABC，記作∠DEF＞∠ABC，如圖4（2）；

③ 若EF落在∠ABC的內(nèi)部，那么∠DEF小于∠ABC，記作∠DEF＜∠ABC，如圖4（3）.

例4圖5是一張三角形紙片，你能準(zhǔn)確比較出線段AB與線段AC的長(zhǎng)短嗎？試說(shuō)明你的方法，并用你的方法確定AB的中點(diǎn)D.

解法1：用刻度尺直接度量三角形三條邊，就可以比較出三條邊的長(zhǎng)短，并能確定AB的中點(diǎn)D.

解法2：把邊AB折疊到AC上，易得B點(diǎn)在線段AC上，所以AC＞AB.讓點(diǎn)A、B重合，即對(duì)折線段AB，則折痕和AB的交點(diǎn)即為線段AB的中點(diǎn)D.

解法2巧妙地運(yùn)用折紙的方法比較了線段的大小及找線段中點(diǎn)問(wèn)題，簡(jiǎn)單且便于操作，是一種創(chuàng)新.

例5已知：線段a、b、c（如圖6）.

（1）畫(huà)出線段AB，使AB = a + b - c；

（2）畫(huà)出線段AB的中點(diǎn).

分析：本題有兩種解題思路，一是先量出線段a、b、c的長(zhǎng)度，計(jì)算出a + b - c的大小，再用刻度尺畫(huà)出線段AB，使得線段AB的長(zhǎng)度恰好為a + b - c的結(jié)果；二是用圓規(guī)和直尺畫(huà)圖，下面采用第二種思路求解.

解：（1）畫(huà)法如下：

① 畫(huà)出射線AE.

② 在射線AE上順次截取AC = a，CD = b.

③ 在線段AD上截取DB = c，且點(diǎn)B在線段AD內(nèi)部，則線段AB就是所要畫(huà)的線段.

作圖結(jié)果如圖7.

（2）用刻度尺量出線段AB的長(zhǎng)，計(jì)算出 AB的長(zhǎng)，從而找到中點(diǎn)的位置M.

解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握線段的大小比較方法及和差倍分的畫(huà)法.

例6如圖8，將一張長(zhǎng)方形紙斜折過(guò)去，使頂點(diǎn)A落在A′處，BC為折痕，然后把BE折過(guò)去，使之與A′B重合，折痕為BD，那么兩折痕BC、BD間的夾角是多少度？

解析：因?yàn)椤螩BA與∠CBA′折疊重合，所以∠CBA = ∠CBA′.同理，∠EBD與∠A′BD折疊重合，所以∠EBD=∠A′BD.

所以∠CBA′ + ∠A′BD =∠ABA′ +∠A′BE =（∠ABA′ + ∠A′BE） = × 180° = 90°.

動(dòng)手操作題是近幾年中考試題里的熱點(diǎn)題型，折疊前后能夠重合的角（或線段）分別對(duì)應(yīng)相等. 本題可以通過(guò)實(shí)際操作折紙過(guò)程來(lái)猜測(cè)∠CBD的大小，然后來(lái)驗(yàn)證.

線段的相關(guān)知識(shí)是容易掌握的，而角相對(duì)于線段來(lái)說(shuō)要復(fù)雜一些，用處理線段問(wèn)題的類(lèi)似方法來(lái)解決角的問(wèn)題，可以促進(jìn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. 用類(lèi)比推理法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以幫助同學(xué)們由已建立起的知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以探求未知的領(lǐng)域，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

1． 如圖9，B、C在線段AD上，且AB = CD，則AC與BD的大小關(guān)系是（）.

A. AC>BD B.AC = BD

C.AC

2． 若AB = MA + MB，AB

A. 點(diǎn)M、N均在線段AB上

B. 點(diǎn)M、N均在線段AB外

C．點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AB外

D. 點(diǎn)N在線段AB上，點(diǎn)M在線段AB外

3． 請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖10，找出∠AOC、∠BOE和∠BOD的大小關(guān)系.

4． 把兩個(gè)三角尺按圖11那樣拼在一起，試確定圖中∠B、∠E、∠BAD和∠DCE的度數(shù)及其大小關(guān)系.

5． 已知線段AB = 8，平面上有一點(diǎn)P.

（1）若AP = 5，則PB等于多少時(shí)，P在線段AB上？

（2）當(dāng)P在線段AB上，并且PA = PB時(shí)，試確定P點(diǎn)的位置，并比較PA + PB與AB的大小.

6． 如圖12，∠ABC是平角，過(guò)點(diǎn)B任作一條射線BD將∠ABC分成∠DBA與∠DBC.當(dāng)∠DBA是什么角時(shí)，下列式子成立.

（1）∠DBA<∠DBC；

（2）∠DBA>∠DBC；

（3）∠DBA = ∠DBC.

7． 拿一張長(zhǎng)方形紙片，按圖13所示的方法折疊一角，得到折痕EF，如果∠1 = 40°，那么∠2比∠1大多少度？

8． 如圖14，有A、B、C、D四個(gè)村莊，為了解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池，不考慮其他因素，請(qǐng)確定蓄水池所在位置的點(diǎn)H，使它與四個(gè)村莊的距離和最小.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文