薛友正

所謂題記就是選擇典型的問題進(jìn)行歸納、總結(jié)、反思、提煉，寫出的評析、注釋等說明性文字.題記沒有統(tǒng)一的形式，大致有：錯(cuò)解題記、正解題記、正誤辨析、體會(隨筆)等形式.

對待錯(cuò)解的態(tài)度不同，將直接影響以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績.有些同學(xué)只是在錯(cuò)誤答案旁邊寫出正確答案，至于錯(cuò)誤原因在哪里，就不去過問了，或即使當(dāng)時(shí)搞懂了，但不愿把正確的解題過程寫下來，在腦子里沒有留下什么痕跡，過一段時(shí)間就忘了，以致屢做屢錯(cuò).

解答正確了還有必要寫題記嗎?有.寫正解題記的目的就是在原有的基礎(chǔ)上，用更高的觀點(diǎn)、更寬的視野看問題，從而不斷提高自己分析問題和解決問題的能力.

1.錯(cuò)解題記——雪中送炭

就是要找出錯(cuò)誤的原因，分析錯(cuò)誤類型，看其屬于知識性錯(cuò)誤、能力性錯(cuò)誤、心理性錯(cuò)誤，還是屬于審題、計(jì)算等非智力因素造成的錯(cuò)誤，并且要把它們寫下來，再給出正確解答.

例1 已知f(x)=mn+x,A={x|f(x)=x}={3},B={x|f(x+6)=-x},則B= .

有些同學(xué)的解法：把3代入方程f(x)=x，可得到m=3n+9，代入f(x+6)=-x，得到x2+(6+n)x+3n+9=0，即(x+3)［x+(n+3)］=0，但此時(shí)不知道怎么求n的值.

評講后一些同學(xué)只是填上正確答案{-3,3}，不寫出正確的解題過程，一段時(shí)間以后自己也不知道答案是怎么得來的.

事實(shí)上，集合A只有一個(gè)解還意味著△=0，即n2+4m=0，此式與m=3n+9聯(lián)立解得n=-6，從而可得B的解為{-3,3}，只要把這一過程寫在題目的邊上，以后即使忘了，看一下題記就可以明白了.

一位同學(xué)在原題邊上寫道：“要從已知{x|f(x)=x}={3}中讀出兩個(gè)信息：二次方程ゝ(x) =x有重根3，這樣就會聯(lián)想到△=0，于是得到兩個(gè)關(guān)于m,n的等式，本例表明認(rèn)真審題的重要 性.”

不僅要寫出正確答案，還要能做到觸類旁通，在上例的基礎(chǔ)上又有一道考題：“設(shè)集合A={x|x2+2x+a=0}，則A中的所有元素之和為 .

仍有不少同學(xué)沒有發(fā)現(xiàn)重根時(shí)集合只有一個(gè)元素了，只想到韋達(dá)定理，填“-2”，丟掉了另一個(gè)可能情況a=1.由此我們看到寫錯(cuò)解題記的重要性了.

又例如：函數(shù)y=玸in2x+a玞os2x的一條對稱軸為x=-π8，則a= .

不少同學(xué)用輔助角公式，經(jīng)過復(fù)雜的運(yùn)算得到a=±1的錯(cuò)誤答案.其實(shí)，選取兩個(gè)橫坐標(biāo)關(guān)于x=-π8的對稱點(diǎn)，比如，x=0和x=-π4，則f(0)=f(-π4)，立刻得到a=-1.

一位同學(xué)在題記中寫道“原來解答此類問題時(shí)只想到正弦曲線的對稱軸是過圖像最高(低)點(diǎn)且垂直于x軸的直線.這樣計(jì)算量大，解出的錯(cuò)誤還要進(jìn)行檢驗(yàn)，稍不留神就會出錯(cuò).而用賦值法特別簡單，這種方法在解客觀題時(shí)經(jīng)常使用.”

寫錯(cuò)解題記要因人而異、因題而異，結(jié)合自己的錯(cuò)誤情況和對問題的理解程度，寫出錯(cuò)因分析和正確解答，并且盡可能把問題推廣到一般情形，做到舉一反三.

2.正解題記——錦上添花

題目解對了還要寫什么題記?甚至有些同學(xué)在考試后老師評講時(shí)都不認(rèn)真聽，認(rèn)為沒有什么可聽的.其實(shí)，這種想法也是不對的.老師可能會給出多種解法，有些解法是你沒有想到的，有些方法比你的解法更簡捷，也許有些方法并沒有你的解法簡捷，但其思維過程會給你一些有益的啟示：老師還會把某個(gè)習(xí)題進(jìn)行縱向或橫向發(fā)散，得到一些變式，或把習(xí)題推廣得到一類問題的解法或一般結(jié)論，如此等等，都是值得你認(rèn)真地聽，這也是寫正確題記的內(nèi)容.

例2 在橢圓x225+y29=1上求一點(diǎn)P，使它到右焦點(diǎn)的距離是它到左焦點(diǎn)距離的4倍.

大多數(shù)學(xué)生的解法是：設(shè)P(x,y)，由題意得方程組，再解方程組.

從道理上說，這種解法是對的，但少數(shù)同學(xué)對解二元二次方程組有一種“先天”的畏懼感，要正確解出這個(gè)方程組又談何容易.有些同學(xué)由于選用不合理的解題方法，導(dǎo)致算不下去，只能中途擱筆，不了了之.能解對確屬不易，這種“不怕吃苦的精神”值得肯定，但要知道這種方法著實(shí)不可取.本題的簡捷解法應(yīng)該是運(yùn)用橢圓的定義求解.

由橢圓定義得|PF1|=2,|PF2|=8，坐標(biāo)化后平方相減立刻得到答案.兩種解法的計(jì)算量不可同日而語，這是題記的好內(nèi)容.

3.正誤辨析——如虎添翼

有時(shí)某種方法解題功能強(qiáng)大，往往會不分情況濫用，以致錯(cuò)了自己還不知為什么.這時(shí)有必要針對這種情況寫題記，選擇相關(guān)的典型題目作比較，理清它們之間的相互關(guān)系，從本質(zhì)上理解問題，達(dá)到舉一反三、觸類旁通之功效.

例3 已知拋物線的方程是y=x2，當(dāng)b為何值時(shí)，直線y=2x+b與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；兩個(gè)相同的交點(diǎn)；沒有交點(diǎn)?

通法是把直線方程代入曲線方程組成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)得到一元二次方程，由△>0、△=0、△<0來求解，但這種方法在解下面的問題時(shí)就不靈了.

設(shè)曲線C1:x2+y2=1(x≥0)，C2:y=x+b，當(dāng)b為何值時(shí)，C1與C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；兩個(gè)相同的交點(diǎn)；沒有交點(diǎn)?

原因何在?通過認(rèn)真思考同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，把y=x+b代入x2+y2=1，平方后范圍擴(kuò)大了，一位同學(xué)在解完上述兩題之后的題記中寫道：求曲線交點(diǎn)的一般方法是設(shè)曲線C1:f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0，則曲線C1與C2有交點(diǎn)的充要條件是方程組f1(x,y)=0

f2(x,y)=0有實(shí)數(shù)解.而方程組通常要轉(zhuǎn)化為一元二次方程f(x)=0或g(y)=0，這種轉(zhuǎn)化是否等價(jià)，是解答正確與否的關(guān)鍵，有時(shí)方程中的變量是受到條件制約的，忽視這一點(diǎn)就可能犯錯(cuò)誤，自己一時(shí)還難以發(fā)現(xiàn)，這時(shí)就要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等方法求解.

判別式不靈的地方在解析幾何中還有嗎?有!要求直線和拋物線、雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，僅用判別式還不夠，當(dāng)直線和拋物線對稱軸平行或直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，僅用判別式都不能得到正確結(jié)論，還需要數(shù)形結(jié)合或采用其它特殊方法來求解.

老師在解題的小結(jié)中寫道：“直線曲線兩相交，判別式是一個(gè)寶：辯證觀點(diǎn)看問題，特殊情況要周到；數(shù)形結(jié)合補(bǔ)漏洞，關(guān)鍵時(shí)刻莫忘掉.”這正好可以作為此類問題的題記.

4.題解評注——清楚明白

寫題記的目的就是要把自己曾經(jīng)做錯(cuò)的、容易混淆的、或容易遺忘的內(nèi)容記錄下來，因而就要寫得清楚明白，當(dāng)過一段時(shí)間后，對一些模糊的知識通過閱讀題記就能很快理解.

例4 若數(shù)列{a璶}的前n項(xiàng)和S璶=pna璶(n∈N*)，且a1≠a2，求常數(shù)p，并證明數(shù)列{a璶}是等差數(shù)列.

解：令n=1，得a1=pa1.(已知a璶和S璶的關(guān)系，一定要考慮n=1)若p=1,則S2=a1+a2=2a2，那么a1=a2，與已知矛盾.(過程雖短，卻是完整的反證法)∴p≠1，a1=0,a2≠0.

由S2=a2=2pa2，得p=12(a2可以約去)，∴S璶=n2?a璶.從而當(dāng)n≥2時(shí)，a璶=S璶-S﹏-1=n2?a璶-n-12?a﹏-1(n=1時(shí)，a0無意義)，∴a璶n-1=a﹏-1猲-2(n≥3,n=1,2時(shí)無意義)，∴a璶n-1=a﹏-1猲-2=…=a32=a21，(分母比分子下標(biāo)小1)，∴a璶=(n-1)a2=a1+(n-1)?a2(n≥3)，上式對n=1,2時(shí)也成立(不能忘記n=1,2時(shí)的情 景)，所以，數(shù)列{a璶}是以a1(=0)為首項(xiàng)，a2為公差的等差數(shù)列.(a2是不為0的常數(shù) ，可以作為公差).

本題的題解評注把解題的注意事項(xiàng)都寫清楚了，即使過了一段時(shí)間以后自己忘記了，再看一下評注也就明白了，有些同學(xué)對此可能不以為然，但不知你是否有過當(dāng)時(shí)聽懂或會做，過一段時(shí)間就想不起來的經(jīng)歷.如果有，寫評注可能會幫你的忙，它會使你失而復(fù)得，同時(shí)，寫評注還能培養(yǎng)你思維的邏輯性、條理性以及書寫表達(dá)能力.

寫出有特色的題記，有助于達(dá)到掌握解法、提高能力的目的.更重要的學(xué)會反思、學(xué)會總結(jié)這樣一種使你終身受益的學(xué)習(xí)方法.寫題記和寫日記一樣，自己可以有充分發(fā)揮的余地，寫自己所想、所思、所得，寫出自己的個(gè)性和風(fēng)格，當(dāng)然，最后也會寫出自己的水平和數(shù)學(xué)成績.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”