林明成

我國(guó)數(shù)學(xué)教育長(zhǎng)期以來(lái)以邏輯性、嚴(yán)密性、系統(tǒng)性為首要原則，這對(duì)數(shù)學(xué)教育的影響是深刻的.但過份強(qiáng)調(diào)邏輯性，就難免產(chǎn)生一些消極因素.特別是直覺思維長(zhǎng)期得不到重視，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，從而喪失學(xué)習(xí)的興趣.因而過多地注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，這就不利于思維能力的整體發(fā)展.令人欣喜的是《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》(試驗(yàn)修訂本)已將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一的“邏輯思維能力”改為“思維能力”，雖然只是去掉了兩個(gè)字，但卻反映了我國(guó)數(shù)學(xué)教育者在實(shí)踐中已經(jīng)認(rèn)識(shí)到在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時(shí)，還應(yīng)注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng).下面就直覺思維能力的培養(yǎng)，談?wù)剛€(gè)人的認(rèn)識(shí)和做法，以見教于同仁.

一、對(duì)數(shù)學(xué)直覺的認(rèn)識(shí)

1.數(shù)學(xué)直覺的含義

龐加萊認(rèn)為，直覺應(yīng)該是邏輯的對(duì)立概念，數(shù)學(xué)直覺是人腦對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察，是一種“非同尋常的洞察力”.可見，數(shù)學(xué)直覺是指思維者對(duì)一個(gè)問題不受某種固定的邏輯規(guī)則約束，不是按部就班、步步為營(yíng)地推理，而是對(duì)思維對(duì)象從整體上進(jìn)行考察，調(diào)動(dòng)自身的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，跳過若干中間步驟或放過個(gè)別細(xì)節(jié)，依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)在的和諧與關(guān)系，直接洞察，敏銳而迅速地作出假設(shè)，猜想或判斷，或者在對(duì)疑難問題百思不得其解之時(shí)，突然有了“靈感”和“頓悟”，甚至對(duì)未來(lái)事物的結(jié)果有“預(yù)感”等.

2.數(shù)學(xué)直覺的特點(diǎn)

從數(shù)學(xué)直覺的含義中我們可以看出，它在時(shí)間上表現(xiàn)為快速性(在一剎那間完成)，在過程上表現(xiàn)為跳躍性(跳過若干中間步驟或放過個(gè)別細(xì)節(jié)，是缺乏語(yǔ)言媒介的直接過程)，在形式上表現(xiàn)為簡(jiǎn)約 性(直覺意味著籠統(tǒng)式綜合，與分析法相對(duì)立)，在本質(zhì)上是一種歸納推理(直覺意味著不完全)，在結(jié)果上表現(xiàn)為可見性(產(chǎn)生某種直觀形象)、不可靠性(沒有證明的似真性，帶有主觀性的特點(diǎn))、整體性(清楚地表現(xiàn)了事物的“本質(zhì)”或“關(guān)鍵”，但某些細(xì)節(jié)可能是模糊的).

數(shù)學(xué)直覺是基于數(shù)學(xué)對(duì)象整體上的把握，不專注于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆.正是由于思維的無(wú)意識(shí)性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外擴(kuò)展，因而還具有反常規(guī)的獨(dú)創(chuàng)性.

如果教師把證明過程過分的嚴(yán)格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環(huán)，學(xué)生就只能把成功歸功于邏輯，而喪失“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗.迪瓦多內(nèi)明確指出：“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無(wú)疑是使學(xué)生對(duì)他要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)可靠的‘直覺.”因此，教師應(yīng)當(dāng)著眼于通過一定的可操作方式，促進(jìn)學(xué)生獲得創(chuàng)造性直覺發(fā)生的可能性.

3.數(shù)學(xué)直覺是發(fā)明的源泉

從很多科學(xué)家的切身經(jīng)驗(yàn)中可以看出，直覺是發(fā)明的源泉.偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家彭加勒說：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明.”愛因斯坦說：“真正有價(jià)值的是直覺.”前蘇聯(lián)科學(xué)家德洛夫更明確地說：“沒有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開直覺活動(dòng).”

從數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一些重大發(fā)現(xiàn)中可以看出，直覺是發(fā)明的源泉.如歐幾里德建立幾何學(xué)，笛卡兒創(chuàng)立解析幾何，牛頓發(fā)明微積分，彭加勒發(fā)明富克斯函數(shù)，高斯對(duì)一個(gè)算術(shù)定理的證明，無(wú)一不是直覺思維的杰作.可以說，數(shù)學(xué)的發(fā)展大都是借助于數(shù)學(xué)家的直覺去推進(jìn)的.

4.數(shù)學(xué)直覺是必不可少的思維形式

龐加萊明確指出“沒有直覺，年輕人在理解數(shù)學(xué)時(shí)便無(wú)從著手；他們不可能學(xué)會(huì)熱愛它，他們從中看到的只是空洞的玩弄詞藻的爭(zhēng)論；尤其是，沒有直覺，他們永遠(yuǎn)也不會(huì)有應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.”事實(shí)上，數(shù)學(xué)推理中的每一步，直覺都是不可缺少的，數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造很多都是直覺思維的結(jié)果.正如富克斯所說：“偉大的發(fā)現(xiàn)，都不是按邏輯的法則發(fā)現(xiàn)的，而都是由猜測(cè)得到的.換句話說，大都是憑創(chuàng)造性的直覺得到的.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，直覺思維常常會(huì)給學(xué)生帶來(lái)意想不到的結(jié)論或是令自己吃驚的好的解題方法，讓學(xué)生嘗到“發(fā)現(xiàn)”的樂趣.

二、數(shù)學(xué)直覺能力的培養(yǎng)

“我以為獲得直覺的過程，必須經(jīng)歷一個(gè)純形式表面理解的時(shí)期，然后逐步將理解提高、深化”，迪瓦多內(nèi)一語(yǔ)道破了直覺的產(chǎn)生過程.“直覺”不是靠“機(jī)遇”.直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故地憑空臆想.徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的.”其實(shí)，直覺思維并不神秘，現(xiàn)代腦科學(xué)研究表明它是由于自由聯(lián)想或思維活動(dòng)在有關(guān)某個(gè)問題的意識(shí)邊緣持續(xù)活動(dòng)，當(dāng)大腦功能處于最佳狀態(tài)時(shí)，舊神經(jīng)聯(lián)系突然溝通形成鏈接，是左腦的邏輯思維力量協(xié)同右腦的直覺式反應(yīng)后形成的思維.因此，在課堂教學(xué)中，我們應(yīng)該做更多的工作，去發(fā)揮右腦的天資，形成左右腦真正的協(xié)同溝通，發(fā)展學(xué)生的直覺思維，努力使他們達(dá)到“真懂”或“徹悟”的境界.

1.培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力

數(shù)學(xué)解題過程的實(shí)質(zhì)，從某種意義來(lái)說，就是從題設(shè)信息到結(jié)論之間的邏輯溝通過程，而題設(shè)和結(jié)論中的數(shù)、式、形、表等特征又為這種邏輯溝通的實(shí)現(xiàn)提供了暗示和導(dǎo)向.觀察既包括信息的輸入，又包括信息加工的初步過程，是有目的、有計(jì)劃地考察和描述客觀對(duì)象的方法.“跟著感覺走”是我們經(jīng)常講的一句話，這里的感覺就是觀察產(chǎn)生的直覺判斷.因此觀察是數(shù)學(xué)解題產(chǎn)生直覺思維的起步器，是智力活動(dòng)的源泉，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和創(chuàng)新必不可少的素質(zhì).在教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)筆之前先觀察題設(shè)和結(jié)論中的數(shù)、式、形、表等特征，觀察是否有隱含條件，觀察問題的整體結(jié)構(gòu)等等.

例1 求玸in280°+玸in255°-2玸in80°?玸in55°的值.

分析：在三角問題中一些“特殊數(shù)值”，諸如1、12、22、32、2、3、33等，常出現(xiàn)在公式、定理、運(yùn)算式中.基于細(xì)致觀察，我們產(chǎn)生這樣直覺：本題中2是一個(gè)特殊數(shù)值，可能對(duì)解題有幫助.這個(gè)直覺也許不對(duì)，但至少提供了一個(gè)思路.

將原式變形為玸in280°+玸in255°-2×玸in80°?玸in55°?玞os45°，注意到數(shù)值特征：80°+55°+45°=180°，及式子結(jié)構(gòu)特征，不難聯(lián)想到余弦定理，至此我們已意識(shí)到直覺可靠.下面只是完成邏輯推演：

構(gòu)造△ABC，使其外接圓直徑2R=1,A=80°,B=55°,C=45°.

由正弦定理，得a=玸in80°,b=玸in55°,c=玸in45°,∴玸in280°+玸in255°-2×玸in80°?玸in55°?玞os45°=a2+b2-2×ab玞os45°=c2=玸in2C=12.

2.培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞力

縱觀古今，科學(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，無(wú)論從宏觀還是微觀上看無(wú)不遵循美的創(chuàng)造規(guī)律.愛因斯坦看重宇宙的“統(tǒng)一與和諧”，法國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯從牛頓力學(xué)中“感受到數(shù)學(xué)的完美性”，英國(guó)物理學(xué)家狄拉克從“數(shù)學(xué)形式的美”中發(fā)現(xiàn)了“物理世界的真”.

數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含著豐富多彩的美的因素，數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等都是美的具體內(nèi)容.難怪?jǐn)?shù)學(xué)大師阿達(dá)瑪認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)是某種“美感”或“美的意識(shí)”.美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì).

戴維斯與赫爾胥在《數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)》中指出：“數(shù)學(xué)中的審美判斷是可以培養(yǎng)的，可以由上一代傳遞給下一代，由教師傳遞給學(xué)生，由作者傳遞給讀者.”因此，在教學(xué)中要充分利用數(shù)學(xué)美，形成“事物間存在著和諧關(guān)系及秩序”的審美意識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生直覺思維的積極性.

例2 已知點(diǎn)A為橢圓C1:x24+y23=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓C2：(x+3)23+(y-3)24=1上任意一點(diǎn)，求|AB|的最小值.

分析：本題常規(guī)思路是根據(jù)所給的條件建立二元目標(biāo)函數(shù)求解，但計(jì)算復(fù)雜.

如圖1，注意到C1與C2關(guān)于直線y=x+3對(duì)稱，因此原問題可轉(zhuǎn)化為求A到直線y=x+3的最近距離的2倍.

基于對(duì)稱性的審美直覺，我們反常規(guī)地思考，渡過了難關(guān)，不難求得

|AB|┆玬in=32-14.

3.培養(yǎng)學(xué)生豐富的聯(lián)想力

聯(lián)想是指一種心理過程引起與之相聯(lián)的另一種心理過程的現(xiàn)象.巴甫洛夫指出：思維就是聯(lián)想，一切數(shù)學(xué)都是各種聯(lián)想的形式.對(duì)某些數(shù)學(xué)問題，若能聯(lián)想一些形式相同的、思考方法類似的、結(jié)構(gòu)類似的熟悉問題或常規(guī)問題，通過遷移將會(huì)悟出解決問題的思路.常見的聯(lián)想方法有：接近聯(lián)想、相似聯(lián)想、對(duì)比聯(lián)想和關(guān)系聯(lián)想.養(yǎng)成“一葉落而知天下秋”的聯(lián)想習(xí)慣，對(duì)培養(yǎng)直覺思維大有益處.

例3 求證：若對(duì)于常數(shù)m和任意的x，等式f(x+m)=1+f(x)1-f(x)成立，則f(x)是周期函數(shù).

分析：從式子的特點(diǎn)能很快憑直覺聯(lián)想到玹an(x+π4)=1+玹an玿1-玹an玿，而玹an玿的周期為π，因而直覺判斷：只需證明f(x+4m)=f(x)即可.

基于結(jié)構(gòu)相似的關(guān)聯(lián)直覺，我們快速地打通了思路.

4.培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用力

數(shù)與形是數(shù)學(xué)知識(shí)的兩個(gè)基本范疇，數(shù)與形的完美結(jié)合是數(shù)學(xué)的最高境界.數(shù)學(xué)家華羅庚曾十分精辟地論述：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”從某種意義上可以說，直覺思維則相當(dāng)于圖像把握，而邏輯思維相當(dāng)于符號(hào)把握.因此，對(duì)數(shù)學(xué)問題的直觀理解是頭等重要的事，引導(dǎo)學(xué)生通過深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺.通過數(shù)形結(jié)合的有效使用頻率形成人腦的優(yōu)勢(shì)鏈接，產(chǎn)生優(yōu)勢(shì)直覺，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造都是大有益處的.

例4 已知i為虛數(shù)單位，設(shè)A={z|z=2+2a+(2-2a)i,a∈R}，B={ω|ω=玸inθ-i玞osθ,θ∈R}，若z1∈A，z2∈B，求|z1-z2|的最小值.

分析：此題直接從代數(shù)角度難以下手，換一個(gè)角度，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺.

A表示直線l:x+y=4,∵ω=玸inθ-i玞osθ,∴|ω|=1,∴B表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓.

至此，原形畢露，不禁心頭為之一喜，我們已經(jīng)來(lái)到了成功的彼岸，因?yàn)閨z1-z2|的最小值就是圓周上的點(diǎn)到直線l的最短距離.

如圖2，作OH⊥直線l，垂足H，易得|z1-z2|┆玬in=22-1.

上面解題過程表明，數(shù)學(xué)解題中存在著數(shù)與形的雙向溝通，存在著直覺選擇與邏輯分析的相互推動(dòng).在教學(xué)中，我們的主要力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙地結(jié)合在一起.

5.培養(yǎng)學(xué)生大膽的猜想力

猜想是由已知原理、事實(shí)，對(duì)未知現(xiàn)象及其規(guī)律所作出的一種假設(shè)性的命題.科學(xué)上的許多“發(fā)現(xiàn)”都是憑直覺作出猜想，而后才加以證明或驗(yàn)證的.從數(shù)學(xué)發(fā)展的宏觀過程來(lái)看，猜想推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.“先猜測(cè)后證明”幾乎是一條規(guī)律，不論是歌德巴赫還是費(fèi)馬，都是從有限的經(jīng)驗(yàn)教材出發(fā)，通過思維作出了大膽的直覺

判斷，提出了猜想.而這些著名的猜想又成為眾多數(shù)學(xué)家的激勵(lì)，成為他們論證的目標(biāo).于是在證明或否定這些猜想的過程中，數(shù)學(xué)得到了發(fā)展.

波利亞提出了“合情推理”的概念，明確指出：“在你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你必須猜想這個(gè)定理，在你搞清楚證明細(xì)節(jié)之前你必須猜想出證明的主導(dǎo)思想”，號(hào)召：“讓我們教猜想吧!”，因此，教師在教學(xué)中要“教學(xué)生證明問題”，也要“教他們猜想問題”.要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)合理的猜想方法，創(chuàng)設(shè)使學(xué)生積極猜想的氛圍.讓學(xué)生猜想問題的結(jié)論，猜想問題的反面，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想極端化的情形，猜想知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系，甚至猜想定理的發(fā)現(xiàn)過程，猜想證明的獲得過程.讓學(xué)生把各種各樣的想法都講出來(lái)，推動(dòng)其思維的主動(dòng)性.還可以編制一些變換結(jié)論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發(fā)學(xué)生猜想的愿望和猜想的積極性.當(dāng)學(xué)生被直覺引入歧途時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生：這并不可怕，在明顯失敗的嘗試之后，會(huì)突然閃出一個(gè)“好直覺”.及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對(duì)自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感.這樣有利于激發(fā)他們的數(shù)學(xué)直覺思維，并使數(shù)學(xué)直覺思維從表層、低層向深層、高層發(fā)展.

綜上所述，直覺是人類基本的思維形式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力是科學(xué)性與創(chuàng)造性的工作.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要認(rèn)真觀察、留意捕捉、善于聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合、歸納猜測(cè)，就一定能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力.

參考文獻(xiàn)

［1］張廣祥著.數(shù)學(xué)中的問題探究.上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

［2］馬忠林主編.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.廣西：廣西教育出版社，1999.

［3］雷瑞鵬.科學(xué)創(chuàng)造中的直覺.廣西：廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，2.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>