張文惠

數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)問題的主要方法,有些同學(xué)之所以感到二次函數(shù)難學(xué),主要原因就是沒有在二次函數(shù)與其對應(yīng)拋物線之間建立聯(lián)系.

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是我們研究的重點(diǎn),也是利用二次函數(shù)解決其他問題的關(guān)鍵點(diǎn).

1. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的確定

(1) a決定開口方向及開口大小.當(dāng)a>0時,拋物線的開口向上;當(dāng)a<0時,拋物線的開口向下.|a|值越大,拋物線的開口越小;|a|值越小,拋物線的開口越大.|a|值相同的拋物線,通過平移(或軸對稱變換)后一定能夠重合.

(2) b和a決定拋物線的對稱軸x=- 的位置.當(dāng)b=0時,對稱軸為y軸;當(dāng)a,b同號時,對稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)a,b異號時,對稱軸在y軸右側(cè).

(3) 拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,c).當(dāng)c=0時,拋物線經(jīng)過原點(diǎn);當(dāng)c>0時,與y軸交于正半軸;當(dāng)c<0時,與y軸交于負(fù)半軸.

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是- , .

例1 (2008年宿遷市)在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=-x+1與y=- (x-1)2的圖象是().

解析: 在拋物線y=- (x-1)2中,對稱軸為x=1,在y軸右側(cè),頂點(diǎn)為(1,0).直線y=-x+1與x軸的交點(diǎn)也為(1,0),故應(yīng)選擇D.

例2 (2008年蕪湖市)函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是().

解析: 解這類題一般用排除法:先根據(jù)一個函數(shù)的特點(diǎn),確定a,b的符號,然后根據(jù)a,b的符號判斷另一個函數(shù)是否符合.對于A,根據(jù)一次函數(shù)的圖象,可知a<0,但二次函數(shù)的圖象開口向上,故a>0,可排除A.對于D,根據(jù)一次函數(shù)的圖象,有a>0,但二次函數(shù)的圖象開口向下,故a<0,可排除D.對于B,二次函數(shù)的對稱軸在原點(diǎn)右側(cè),則b<0,但一次函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方,b>0,可排除B.于是應(yīng)選擇C.

2. 用二次函數(shù)的圖象判斷y=ax2+bx+c中a,b,c的特征

例3 (2008年巴中市)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖1所示,則下列說法中不正確的是().

A. b2-4ac>0 B. a>0 C. c>0 D. - <0

解析: 該拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),由此可知b2-4ac>0;圖象開口向上,則a>0;與y軸交于正半軸,則c>0.所以A,B,C正確,答案為D.

也可以通過對稱軸在y軸右側(cè)直接判斷選D.

例4 (2008年天門市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,有下列結(jié)論:

① abc>0;② 2a+b<0;③ a-b+c<0;④ a+c>0.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為().

A. 4B. 3C. 2D. 1

解析: 由圖可知,該拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),開口向下,與y軸交于正半軸,對稱軸在y軸的右側(cè),所以a<0,b>0,c>0,1>- >0.于是abc<0,

2a+b<0.當(dāng)x=-1時,y>0,所以a-b+c>0.由a-b+c>0,可得a+c>b>0.故應(yīng)該選C.

3. 二次函數(shù)圖象的對稱軸與特殊點(diǎn)

拋物線上的特殊點(diǎn)和對稱軸對于解題至關(guān)重要,有必要深刻理解.

二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)用配方法可化成y=a(x-h)2+k的形式,其中h=- ,k= .對稱軸為x=- .拋物線是軸對稱圖形,拋物線上任意一對對稱點(diǎn)連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).如果A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上兩點(diǎn),若y1=y2,則這個拋物線的對稱軸是x= .

(1) 當(dāng)b2-4ac>0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實(shí)數(shù)根x1,x2,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個交點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0).

(2) 當(dāng)b2-4ac=0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實(shí)數(shù)根,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)- ,0在x軸上.

(3) 當(dāng)b2-4ac<0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸沒有交點(diǎn).

例5 (2008年咸寧市)拋物線y=2x2+8x+m與x軸只有一個公共點(diǎn),則m的值為_____.

解析: 由題意可知,一元二次方程2x2+8x+m=0有兩個相同的實(shí)數(shù)根,則b2-4ac=64-8m=0,所以m=8.

4. 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

研究函數(shù)圖象可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)a>0,圖象開口向上時,點(diǎn)到對稱軸的距離越遠(yuǎn),函數(shù)值越大;當(dāng)a<0,圖象開口向下時,點(diǎn)到對稱軸的距離越遠(yuǎn),函數(shù)值越小.轉(zhuǎn)換為符號語言就是:設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是x=x0,A(x1,y1),B(x2,y2)是其圖象上兩點(diǎn),當(dāng)|x1-x0|>|x2-x0|時,若a>0,則y1>y2;若a<0,則y1

例6 (2008年貴陽市)二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是().

A. -2B. 2C. -1D. 1

解析: 把二次函數(shù)的解析式化為y=(x-h)2+k的形式,當(dāng)x=h時,其有最值k.本題h=1,k=2,a=1>0,所以最小值為2.答案為B.

例7 (2008年嘉興市)一函數(shù)的圖象如圖3,給出以下結(jié)論:

① 當(dāng)x=0時,函數(shù)值最大;② 當(dāng)0

其中正確的結(jié)論是().

A. ①②B .①③C. ②③D. ①②③

解析: 由圖容易看出①錯,②③對,所以答案為C.

例8 (2008年威海市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A(1,2),B(3,2),C(5,7).若點(diǎn)M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上,則下列結(jié)論正確的是().

A. y1

解析: 點(diǎn)A(1,2)與B(3,2)的縱坐標(biāo)相同,所以它們是關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn).顯然對稱軸是直線x=2.研究點(diǎn)B(3,2),C(5,7)可以發(fā)現(xiàn),對稱軸右側(cè)是單調(diào)遞增的,所以a>0.由|2-(-1)|<|2-(-2)|<|2-8|,可得y2

5. 二次函數(shù)圖象的平移

頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同,那么拋物線的開口方向?大小完全相同,只是位置不同.將拋物線y=ax2向上平移k個單位,可以得到拋物線y=ax2+k;將拋物線y=ax2向右平移h個單位,可以得到拋物線y=a(x-h)2;將拋物線y=a(x-h)2向上平移k個單位,可以得到拋物線y=a(x-h)2+k.

二次函數(shù)從y=ax2平移到y(tǒng)=ax2+bx+c,只需要通過分析頂點(diǎn)從(0,0)到- , 的變化,就可以確定整個拋物線的平移方式.

例9 (2008年蘭州市)在同一坐標(biāo)平面內(nèi),有下列4個函數(shù):

① y=2(x+1)2-1;② y=2x2+3;③ y=-2x2-1;④ y= x2-1.

它們的圖象不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換?軸對稱變換得到的是_____.(填序號)

解析: 函數(shù)④與函數(shù)y=2x2+1的二次項(xiàng)系數(shù)既不相等(可以通過平移來進(jìn)行變換),也不互為相反數(shù)可以進(jìn)行關(guān)于直線y= 的軸對稱變換,所以答案為④.

例10 (2008年荊門市)把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式為y=x2-3x+5,則().

A. b=3,c=7B. b=6,c=3C. b=-9,c=-5D. b=-9,c=21

解析: 拋物線y=x2-3x+5與y軸交于點(diǎn)(0,5),將其向上平移2個單位得到拋物線y=x2+bx+c,它與y軸的交點(diǎn)為(0,7),所以c=7,答案為A.

責(zé)任編輯/趙良河

注:“本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”?