康　松

康松，山東省淄博市博山區(qū)教研室數(shù)學(xué)教研員，淄博市教學(xué)能手，兩次獲山東省中小學(xué)教育科研優(yōu)秀成果一等獎(jiǎng)，省級(jí)以上刊物發(fā)表論文30余篇．出版有《同步訓(xùn)練》等書(shū)籍．

近年中考關(guān)于反比例函數(shù)的題型多樣，考查方式靈活，既注意對(duì)知識(shí)的把握，又注意能力的提升．下面結(jié)合2008年中考題對(duì)反比例函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸類解析．

一、反比例函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)

1. 反比例函數(shù)的系數(shù)和解析式

例1 （2008年南安市）已知反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（－3，1），則此函數(shù)的解析式為_(kāi)____．

分析： 確定反比例函數(shù)的解析式，可用待定系數(shù)法.因?yàn)橹挥幸粋€(gè)待定系數(shù)，故只需一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或一個(gè)合適條件即可．

解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= （k≠0），將點(diǎn)（－3，1）的坐標(biāo)代入，解得k＝-3．此函數(shù)的解析式為y=- ．

練習(xí)1 （2008年南昌市）下列四個(gè)點(diǎn)中，在反比例函數(shù)y= 圖象上的是（）.

A． （1，-6） B． （2，4） C． （3，-2） D． （-6，-1）

2. 反比例函數(shù)的圖象

例2 （2008年江西省）若點(diǎn)（x0，y0）在函數(shù)y＝ （x>0）的圖象上，且x0y0＝－2，則它的大致圖象是（）.

分析： 反比例函數(shù)y= 的圖象是雙曲線．當(dāng)k＞0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限．

解：由題意可知k＝xy＝x0y0＝－2．因?yàn)閗＜0，所以雙曲線的兩個(gè)分支分別在第二、四象限．又因?yàn)閤>0，所以圖象在第四象限．選擇D．

練習(xí)2 （2008年南寧市）圖1是反比例函數(shù)y= 的圖象，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____．

3. 反比例函數(shù)的單調(diào)性

例3 （2008年淄博市）已知點(diǎn)（-2，y1），（-1，y2），（3，y3），和（-3，-2）都在反比例函數(shù)y= 的圖象上，那么y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）.

A． y1＜y2＜y3B． y3＜y2＜y1C． y2＜y1＜y3D． y3＜y1＜y2

分析： 運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性時(shí)，應(yīng)注意條件“在每一象限內(nèi)”．反比例函數(shù)y= 的圖象，當(dāng)k＞0時(shí)，兩個(gè)分支分別位于第一、三象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大（減小）而減?。ㄔ龃螅?；當(dāng)k＜0時(shí)，兩個(gè)分支分別位于第二、四象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大（減?。┒龃螅p?。?/p>

解：由（-3，-2）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，可得k＝（－3）×（－2）＝6.由k＞0，可知雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限內(nèi)，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y的值隨著x值的增大而減小．因?yàn)椋?＜－1＜0＜3，所以y2＜y1＜0＜y3．答案是C．

本題也可求出y1，y2，y3的值再比較大?。?/p>

練習(xí)3 （2008年白銀市）一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：

① 圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，1）；② 圖象在二、四象限內(nèi)；③ 在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大．則這個(gè)函數(shù)的解析式可以為_(kāi)____．

4. 反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義

例4 （2008年深圳市）如圖2，直線OA與反比例函數(shù)y= （k≠0）的圖象在第一象限交于A點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，△OAB的面積為2，則k＝_____．

分析： 過(guò)雙曲線y= （k≠0）上任一點(diǎn)（x0，y0），分別引x軸、y軸的垂線，所得兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為｜k｜，即｜k｜=｜x0｜?｜y0｜.△OAB的面積為此矩形面積的一半．

解：S△AOB = OB?AB= ｜xA?yA｜= ｜k｜=2.解得k=4．

練習(xí)4 （2008年蘭州市）如圖3，已知雙曲線y= （x>0）經(jīng)過(guò)矩形OABC的邊AB，BC的中點(diǎn)F，E，且四邊形OEBF的面積為2，則k=_____．

二、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問(wèn)題

例5 （2008年蘭州市）已知正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y= （k為常數(shù)，k≠5）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，求這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．

分析： 解此類題常用的方法，是將函數(shù)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)代入所設(shè)的函數(shù)解析式，構(gòu)造方程或方程組，進(jìn)而解決其他問(wèn)題．

解：對(duì)于方程組y=kx，y= ，當(dāng)x=2時(shí)，可得2k= ，解得k=1．所以正比例函數(shù)的解析式為y=x，反比例函數(shù)的解析式為y= ．解方程組y=x，y= ，可得x1=2，y1=2，x2=-2，y2=-2.所以兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），（-2，-2）．

練習(xí)5 （2008年郴州市）已知一次函數(shù)y=ax＋b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A（2，2），B（－1，m），求一次函數(shù)的解析式．

三、反比例函數(shù)的應(yīng)用

例6 （2008年巴中市）為預(yù)防“手足口病”，某校對(duì)教室進(jìn)行“藥熏消毒”．已知藥物燃燒階段，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時(shí)間x（min）成正比例；燃燒后，y與x成反比例（如圖4）．現(xiàn)測(cè)得藥物10 min燃燒完，此時(shí)教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為8 mg．據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：

（1） 求藥物燃燒時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2） 求藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（3） 當(dāng)每立方米空氣中含藥量低于1.6 mg時(shí)，對(duì)人體方能無(wú)毒害作用，那么從消毒開(kāi)始，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間學(xué)生才可以回教室？

分析： （1） 函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定，只要找到其圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出解析式.顯然點(diǎn)（10，8）在正比例函數(shù)圖象上.設(shè)y=kx，可求得k= .所以，一次函數(shù)解析式是y= x（0≤x≤10）.

（2） 點(diǎn)（10，8）也在反比例函數(shù)的圖象上，解析式為y= （x≥10）.

（3） 實(shí)際是求當(dāng)x=1.6時(shí)y的值，易得此時(shí)y=50 （min）.

解：略.

注意：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)圖象往往是我們學(xué)習(xí)的函數(shù)圖象的一部分.因此在寫(xiě)出解析式時(shí)一定要注明其取值范圍.比如本題，不注明取值范圍的解析式是錯(cuò)誤的.

練習(xí)6 （2008年貴陽(yáng)市）利用圖象解一元二次方程x2 +x-3=0時(shí)，我們采用的一種方法是：在坐標(biāo)系中分別畫(huà)出拋物線y=x2和直線y=-x+3的圖象，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解．

（1） 利用圖象解一元二次方程x2+x-3=0，也可以這樣求解：在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線y=_____和直線y=-x，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解．

（2） 已知函數(shù)y=- 的圖象（如圖5），利用圖象求方程 -x+3=0的近似解.（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）．

練習(xí)參考答案：1. D 2. m>2 3. 例如y=-4. 2 5. y=2x-2.

6. （1） x2-3 （2） 近似解為x1≈-1.4，x2≈4.4．

責(zé)任編輯/馮 琦

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。