陳　琨　韓桂敏

近年來，有關(guān)數(shù)學(xué)能力與內(nèi)隱知識(shí)的研究一直是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家及心理學(xué)家所關(guān)注的課題，但大部分都是把二者分開，單獨(dú)進(jìn)行的縱向課題研究。而數(shù)學(xué)能力作為一種特殊能力，內(nèi)隱知識(shí)作為人類知識(shí)的一種，除了存在上述一般能力與知識(shí)間的關(guān)系外，是否還隱藏著某些特殊的關(guān)系，有必要把二者放在一起深入挖掘，將有助于揭示數(shù)學(xué)能力與內(nèi)隱知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

一、數(shù)學(xué)能力的概念及特征

目前對(duì)數(shù)學(xué)能力還沒有一致的看法，比較認(rèn)同的觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)能力是指順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)所必備的且直接影響其活動(dòng)效率的一種個(gè)性心理特征，它是在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中形成和發(fā)展起來的，并主要在這類活動(dòng)中表現(xiàn)出來的穩(wěn)定的心理特征。

數(shù)學(xué)能力的幾個(gè)特征：

（1）特殊性。數(shù)學(xué)能力是進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)必備的能力，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成和發(fā)展，只存在于數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中表現(xiàn)出來。因此這就說明它必將有別于其他一般能力，是一種特殊能力。

（2）差異性。數(shù)學(xué)能力的本質(zhì)是一種綜合的心理特征，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的認(rèn)知過程、思維方法等心理特征的不同導(dǎo)致了數(shù)學(xué)能力的差異性。

（3）穩(wěn)定性。個(gè)體的某種數(shù)學(xué)能力一旦形成，則可表現(xiàn)出一種穩(wěn)定性，不隨時(shí)間、地點(diǎn)的改變而變化。但穩(wěn)定也不代表一成不變，個(gè)體可以通過恰當(dāng)?shù)腻憻挘棺约旱臄?shù)學(xué)能力得到提高。

（4）復(fù)雜性。數(shù)學(xué)能力不是一種單一的能力，而是一整套能力的綜合，具有復(fù)雜性。比如克魯捷茨基認(rèn)為數(shù)學(xué)能力是創(chuàng)造性（科學(xué)的）與一般性學(xué)習(xí)能力的結(jié)合體。

（5）動(dòng)力性。個(gè)體進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)必定有數(shù)學(xué)能力的參與，而數(shù)學(xué)能力對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的順利進(jìn)行起到一種動(dòng)力作用，可以提高數(shù)學(xué)活動(dòng)的效率。

二、內(nèi)隱知識(shí)的概念

對(duì)內(nèi)隱知識(shí)不同的學(xué)者也都有不同的闡述，綜合各自對(duì)“內(nèi)隱知識(shí)”的理解，其中的共識(shí)如下：內(nèi)隱知識(shí)，也稱隱性知識(shí)、意（默）會(huì)知識(shí)、緘默知識(shí)等，是存在于人的頭腦當(dāng)中、一般難于明確表述的知識(shí)，其獲得必須通過個(gè)人的體驗(yàn)、實(shí)踐和領(lǐng)悟，而難以通過他人的幫助或環(huán)境的支持來習(xí)得。它同個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)有很大關(guān)系，且對(duì)一個(gè)人的價(jià)值目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)起著至關(guān)重要的作用，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

通過對(duì)內(nèi)隱知識(shí)概念的理解，可以知道：

（1）內(nèi)隱知識(shí)也是知識(shí)，而且是一種個(gè)人知識(shí)。內(nèi)隱知識(shí)是個(gè)人通過學(xué)習(xí)和實(shí)踐積累形成的，包含著一些無形的因素，如個(gè)人的信念、觀點(diǎn)和價(jià)值體系。也正如哈耶克認(rèn)為：“實(shí)際上每個(gè)人都比其他人具有某些優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗哂歇?dú)特的信息?！北砻鱾€(gè)體的知識(shí)體系中包含著自己的內(nèi)隱知識(shí)，使自己區(qū)別于他人并在某些方面優(yōu)于他人。

（2）內(nèi)隱知識(shí)是難以明確表達(dá)的知識(shí)。內(nèi)隱知識(shí)只存在于人的經(jīng)驗(yàn)之中，存在于人的頭腦之中，它不能通過語言、文字或符號(hào)進(jìn)行邏輯說明。因此，“我們所知道的總比我們所能言傳的多”。

（3）內(nèi)隱知識(shí)是實(shí)踐的知識(shí)、行動(dòng)的知識(shí)。雖然個(gè)體不能通過語言、文字或符號(hào)對(duì)內(nèi)隱知識(shí)進(jìn)行邏輯說明，但它總是能夠以某種方式來表達(dá)，如動(dòng)作、表情等，是我們?cè)谛袆?dòng)中所擁有的某種知識(shí)。如波蘭尼所說，內(nèi)隱知識(shí)是一種內(nèi)在于行動(dòng)的知識(shí)或構(gòu)成行動(dòng)的知識(shí)，它不是一種被動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，而是隱性認(rèn)知，是認(rèn)識(shí)者積極主動(dòng)地發(fā)揮其隱性能力的過程。

（4）內(nèi)隱知識(shí)本質(zhì)上是一種理解力和領(lǐng)會(huì)力。與內(nèi)隱知識(shí)相對(duì)的是顯性知識(shí)，對(duì)于我們所擁有的顯性知識(shí)，波蘭尼說，“我們總是隱性地知道，我們認(rèn)為我們的顯性知識(shí)是真的。”顯性知識(shí)的真正獲得取決于我們對(duì)它的理解，而理解活動(dòng)本質(zhì)上是一個(gè)隱性知識(shí)的過程，即內(nèi)隱知識(shí)側(cè)重于在理解的基礎(chǔ)上信服顯性知識(shí)。因此內(nèi)隱知識(shí)本質(zhì)上是一種理解力，是一種領(lǐng)會(huì)、把握經(jīng)驗(yàn)、重組經(jīng)驗(yàn)的過程。以數(shù)學(xué)為例，單記住一個(gè)數(shù)學(xué)證明不能給數(shù)學(xué)知識(shí)增加任何東西，只有理解進(jìn)而信服了數(shù)學(xué)證明，才能說我們掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)從而獲得一種能力。

三、數(shù)學(xué)能力與內(nèi)隱知識(shí)

1.從內(nèi)隱知識(shí)的視角看數(shù)學(xué)能力

（1）數(shù)學(xué)能力是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成和發(fā)展的，培養(yǎng)并提高個(gè)體的數(shù)學(xué)能力，是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。例如，要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，可以讓學(xué)生在初學(xué)立體幾何階段，觀察各種幾何模型，并學(xué)著自己動(dòng)手制作幾何模型，教師在講解立體幾何知識(shí)時(shí)，逐步減少出示模型的次數(shù)，改用精確的數(shù)學(xué)語言來描述，逐漸淡化學(xué)生對(duì)模型的依賴，直至最后完全脫離模型也可以十分清楚地想象出空間圖形的位置關(guān)系。這一過程對(duì)個(gè)體空間想象能力的培養(yǎng)來說是一個(gè)模糊的過程，我們不能用精確的邏輯語言文字描述在什么時(shí)候什么階段個(gè)體的空間想象能力已經(jīng)形成，并在逐步提高，而只是在個(gè)體不自覺的運(yùn)用了這一能力時(shí)，才發(fā)現(xiàn)原來自己已經(jīng)具備這種能力，并能達(dá)到這種程度了。所以，從內(nèi)隱知識(shí)的視角看，數(shù)學(xué)能力的形成、發(fā)展過程是“隱性的”。

（2）根據(jù)數(shù)學(xué)能力的定義，數(shù)學(xué)能力的本質(zhì)特征表現(xiàn)為一種穩(wěn)定的、綜合的心理特性。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，個(gè)體的觀察、記憶、想象、思維、運(yùn)算、交流、元認(rèn)知等心理因素如何運(yùn)作并使之協(xié)助活動(dòng)順利進(jìn)行，是非常復(fù)雜而且難以用準(zhǔn)確的言語進(jìn)行邏輯表述的，作為個(gè)體只能“隱性的”（不可言傳的）知道運(yùn)用它們，發(fā)揮它們的作用。例如，計(jì)算“1+2+3+4……+100=”之類等差數(shù)列之和，已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的個(gè)體可以根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)判斷這是一道等差數(shù)列求和的題目，利用求和公式計(jì)算即可；還沒接觸過等差數(shù)列的則會(huì)直接或技巧性的結(jié)合計(jì)算。個(gè)體看到題目知道要如何去做，支配他們行動(dòng)的是一些“經(jīng)驗(yàn)的”、“隱性的”東西。不同的個(gè)體因?yàn)橐延薪?jīng)驗(yàn)不同導(dǎo)致他們觀察、記憶、思維等互不相同，這些不同驅(qū)使他們各自進(jìn)行了不同形式的解答，這些“經(jīng)驗(yàn)的”、“隱性的”東西其實(shí)就是某些數(shù)學(xué)能力中的組合（觀察、記憶、思維等）。個(gè)體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中能迅速而正確的解答這道題目，只是數(shù)學(xué)能力參與其中的外在表現(xiàn)結(jié)果，而這一過程所蘊(yùn)含的心理過程——各種數(shù)學(xué)能力到底是如何交互運(yùn)用、交替表現(xiàn)，是無法用言語明確論述的。所以，從內(nèi)隱知識(shí)的角度看，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)能力的運(yùn)用、表現(xiàn)是“隱性的”。

（3）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)能力的作用是幫助個(gè)體順利完成這一活動(dòng)，并盡可能提高其活動(dòng)效率。根據(jù)內(nèi)隱知識(shí)的特征，內(nèi)隱知識(shí)本質(zhì)上是一種理解力、領(lǐng)會(huì)力，它幫助個(gè)體真正的獲取顯性知識(shí)。如果把數(shù)學(xué)活動(dòng)看做某種顯性知識(shí)的獲得，例如，“三角形內(nèi)角和等于180°”這一命題，個(gè)體要真正掌握這一命題，就必須理解它的內(nèi)涵，能夠運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理證明它。那么在這一數(shù)學(xué)推理活動(dòng)中，數(shù)學(xué)能力必不可少，它的作用正是幫助個(gè)體真正理解、掌握這個(gè)知識(shí)，從而信服這個(gè)知識(shí)。因此，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)能力本質(zhì)上也是一種幫助個(gè)體真正獲取知識(shí)的理解力、領(lǐng)會(huì)力。

綜上所述，數(shù)學(xué)能力同內(nèi)隱知識(shí)一樣是一種幫助個(gè)體真正獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的理解力、領(lǐng)會(huì)力，而且在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)能力的形成、發(fā)展及其運(yùn)用、表現(xiàn)都是“隱性的”，因此，可以得出結(jié)論：數(shù)學(xué)能力是一種“隱性能力”，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中“隱性的”發(fā)揮著它的作用。進(jìn)一步地，在按照廣義知識(shí)分類的前提下，把能力看作是知識(shí)的一部分，那么數(shù)學(xué)能力也就是一種內(nèi)隱知識(shí)。

2.從數(shù)學(xué)能力的視角看內(nèi)隱知識(shí)

（1）內(nèi)隱知識(shí)雖然是知識(shí)體系中不可言明的一部分，但它對(duì)一個(gè)人價(jià)值目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)起著至關(guān)重要的作用。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，內(nèi)隱知識(shí)的參與可以使活動(dòng)順利進(jìn)行并提高活動(dòng)效率，而內(nèi)隱知識(shí)是一種個(gè)人知識(shí)，具有個(gè)體差異性，可以看作是個(gè)體伴隨在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中的一種心理特性，它作為一種理解力、領(lǐng)會(huì)力，“隱性的”參與個(gè)體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，具有數(shù)學(xué)能力的特征。

（2）廣義知識(shí)分類將知識(shí)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)，程序性知識(shí)作為一種“知道如何”的知識(shí)，它具有兩種不同的表現(xiàn)形態(tài)：一種是技術(shù)形態(tài)的程序性知識(shí)，另一種是實(shí)踐形態(tài)的程序性知識(shí)。前一種形態(tài)的程序性知識(shí)往往表現(xiàn)為一套明確而闡述的技術(shù)規(guī)則，它是可以言傳的，例如多位數(shù)的乘除法規(guī)則，四則混合運(yùn)算法則等；而后一種往往不可能作為一套明確的規(guī)則闡述出來，往往是不可言傳的，僅能以實(shí)際操作的方式加以表演或演示。從實(shí)際情況來看，絕大多數(shù)的程序性知識(shí)是兩種形態(tài)的混合物，既有可以言傳的成分，也有不可言傳的成分。因此，內(nèi)隱知識(shí)是程序性知識(shí)的一部分。而程序性知識(shí)本質(zhì)上表現(xiàn)為一種技能，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，作為某種技能的內(nèi)隱知識(shí)，最終可以形成與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)能力。