陳德前

勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法與勾股定理可使解題準(zhǔn)確、迅速。

一、 分類思想

例1若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2、4、x，則x的可能值為（）。

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè)D. 4個(gè)

解析本題沒有說明4和x哪一個(gè)是斜邊，故應(yīng)分兩種情況討論：若4為斜邊，則x為直角邊，由勾股定理可得一值；若x為斜邊，由勾股定理可得另一值。因此x的值有兩個(gè)，答案選B。

二、 方程思想

例2在Rt△ABC中，兩直角邊之比為3∶4，斜邊為30cm，求此直角三角形斜邊上的高。

解析已知兩直角邊之比為3：4，可設(shè)兩直角邊為3x和4x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再求斜邊上的高就容易了。

設(shè)兩直角邊為3x和4x，利用勾股定理可得方程：（3x）２＋（4x）２＝30２，求出x的正值為x＝6。所以兩直角邊三、 數(shù)形結(jié)合思想

例3 如圖1(1)是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c。圖1(2)是以c為直角邊的等腰直角三角形。請(qǐng)你開動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形。請(qǐng)解答以下問題。

(1) 畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；

(2)用這個(gè)圖形證明勾股定理；

(3)假設(shè)圖1(1)中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖1(1)中所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎?請(qǐng)畫出拼圖后的示意圖(無需證明)。

解析本題考查運(yùn)用圖形來說明代數(shù)等式（勾股定理）的能力，是數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)。

a2+b2=c2；(3)能拼出證明勾股定理的圖形，如圖3。

四、 轉(zhuǎn)化思想

例4△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。若∠Ｃ=90°，如圖4(1)，根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形，如圖4(2)和圖4(3)，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

解析可以作三角形的高，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再應(yīng)用勾股定理來說明。

若△ABC是銳角三角形，則有a2+b2>c2；若△ABC是鈍角三角形，∠Ｃ為鈍角，則有a2+b2

當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，證明如下：

過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，如圖5所示，設(shè)CD為x，則有BD＝a-x。

根據(jù)勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2，即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，

∴a2+b2=c2+2ax?！遖>0，x>0，∴2ax>0。則a2+b2>c2。

當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),證明如下：

過B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于D,如圖6，設(shè)CD為x，則有BD2=a2-x2。

根據(jù)勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2，即a2+b2+2bx=c2。

∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2