黃世忠

“中位數(shù)”是人教版小學五年級數(shù)學教科書P105新增的一個教學內(nèi)容。其教學背景是以三年級所學平均數(shù)的意義、作用及特點為基礎，通過平均數(shù)不能很好反映數(shù)據(jù)偏差較大的情況，引出并學習中位數(shù)的意義、作用、特點及計算方法。本課的教學目標定位是通過這一內(nèi)容的教學，使學生理解中位數(shù)在統(tǒng)計學中的意義，會求中位數(shù)；了解中位數(shù)與平均數(shù)的異同，學會根據(jù)數(shù)據(jù)的具體情況合理選擇統(tǒng)計方法，體會各自的特點和作用。教學重點定位在中位數(shù)意義的理解及求法，教學難點是針對一組數(shù)據(jù)的具體情況及所要分析的問題，作出對統(tǒng)計方法的合理選擇。

這是新增的知識點，沒有可借鑒的教學經(jīng)驗，加上自身本體性知識的欠缺，我就只好“摸著石頭過河”實施第一次教學。教學的基本程序是：復習平均數(shù)的求法一自學課本——提出問題——互動交流——學習新概念——平均數(shù)與中位數(shù)的比較——知識應用——解決問題。教學過程還算流暢?？蓪W生臉上的表情以及自己的直覺告訴我，本課教學遠沒有達到“三維目標”的要求，而問題出在哪呢?

于是。我詢問學生。果然不出所料，學生心存較多的疑惑(高年級學生對所學知識或老師講解存在疑惑往往隱藏在心底里，不大愿意當眾講出來)，現(xiàn)整理如下：

疑惑一：平均數(shù)為什么“失靈”了?甚至懷疑過去學習“平均數(shù)”上當受騙了。)

疑惑二：中位數(shù)是干什么的?(有“平均數(shù)”，為什么還要引進“中位數(shù)”?)

疑惑三：到底什么時候使用“平均數(shù)”?什么時候該用“中位數(shù)”?

面對學生的疑惑，我陷入了痛苦的反思，開始自我診治：難道文本(附后)設計出了問題，無法幫助學生形成新的建陶?還是學生的理解產(chǎn)生了偏差，導致認知障礙?或者是學生的慣性定勢在作怪，阻礙了學生思維遷移?經(jīng)反復琢磨，我悟出了一點道理：學生之所以認為平均數(shù)“失靈”了，可能是因為學生對“平均數(shù)”本身意義的理解就存在缺陷，也就是他們對怎樣求平均數(shù)是“相當熟練的”，但對平均數(shù)到底是“干什么的”并不明白，或所習得的“平均數(shù)”被異化成“平均數(shù)的求法”。學生不接納中位數(shù)是為什么呢?可能是因為平時生活中用得最廣泛的是平均數(shù)，對平均數(shù)的感覺是一種耳熟能詳?shù)闹庇X，讓學生舍棄平均數(shù)而選用中位數(shù)，在情感上需要一個過程。因此，學生對何時使用平均數(shù)何時使用中位數(shù)就摸不著門路?；谏鲜龅姆治?。我擬采用創(chuàng)設認知沖突的策略，強化體驗的方法，破解學生的三大疑惑，實現(xiàn)三位一體的教學目標：對平均數(shù)意義的重構(gòu)、認識中位數(shù)的必要以及合理選擇平均數(shù)與中位數(shù)做了新的嘗試。

教學片段一：營造沖突，感知必要，破解“平均數(shù)失靈”

屏幕演示

某次數(shù)學考試，小芳得到78分。

全班的平均分為77分。

小芳告訴媽媽說，自己這次成績

在班上處于“中上水平”。

師：閱讀了以上信息。你認為小芳所言她的成績處于班級的“中上水平”一定屬實嗎?

師：可以把你的想法與同伴交流，也可以對你的想法自行驗證。

(學生活動，爭論激烈。觀點碰撞頻發(fā)。)

生1：我認為，既然小芳的成績78分比全班的平均分77分還多出1分，就說明她的成績確實是班里的“中上水平”。

師：你們同意這位同學的意見嗎?

(小部分學生表示同意，一部分學生表示不贊同，多數(shù)學生尚未思考清楚沒有表態(tài)。)

師：看來大家意見不太一致。(在老師的預設之中)

生(齊)：是的。

師：我們就先來說說你們所理解的平均分(77分)在班里相當于什么水平。

生(眾)：中等水平。

師：按你們的理解，高于平均分就應屬于中上水平，低于平均分就應屬于中下水平。

生：應該是這樣。(學生認為“平均分”與“中等水平”是等值的，連持反對意見或保持沉默的學生也轉(zhuǎn)變了態(tài)度。)

師：果真是這樣嗎?想不想知道小芳班里考試成績的真實情況?

生：當然想!(急于驗證自己的猜想是否正確)

師：那么，就請看吧!(屏幕演示)全班共30人，其他同學的成績?yōu)椋?/p>

1個100分，

4個90分，

22個80分。

1個lO分

1個2分。

師：有什么想法?小芳的成績在班上實際排列第幾?(營造的情景帶給學生巨大的認知沖突。)

生：倒數(shù)第四。

師：以你們剛才的觀點，就等于你們認可了一個倒數(shù)第四位的成績處于班上的“中上水平”?

生：決不同意。

師：高于平均分卻不算中上水平，這不矛盾嗎?

生：是這樣的，一般情況下，高于平均分就應屬于中上水平，可是沒想到這里出現(xiàn)了兩個低到極端的分數(shù)，把班里的平均分一下子就拉下來了。(學生加重了帶著重號詞語的讀音)

師：你所說的“一般情況”是指什么?

生：我?guī)退忉?，“一般情況”就是指一組數(shù)據(jù)中不能出現(xiàn)特別大或特別小的數(shù)據(jù)，數(shù)與數(shù)之間差距不能太大。

生：小芳班有一個人只得2分，暫且不說他與最高分100分相差太大，就是與大多數(shù)人的80分也有不小的距離。這個2分，對全班的平均分影響太大了。

師：怎樣影響?

生：把平均分拉低了很多很多。所以讓小芳成績高于平均分。這個平均分低于班上大多數(shù)同學的成績，不能代表班上成績的中等水平。

(同學們紛紛點頭表示贊同。)

師：確實像你們分析的這樣，平均數(shù)也有“失靈”的時候。當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值比較集中，差異不大時，平均數(shù)能較好地反映該組數(shù)據(jù)情況的中等水平。當一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)時，平均數(shù)往往就不能代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”(統(tǒng)計學稱之為“一般水平”)。平均數(shù)“失靈”，我們用什么樣的“數(shù)”衡量小芳的成績在班上處于怎樣的水平呢?

師：數(shù)學是一門工具學科。今天，我們就來學習一個新的數(shù)學概念“中位數(shù)”，以幫助我們解決這個問題。

(點評：中位數(shù)是表示數(shù)據(jù)組一般水平的數(shù)據(jù)。為了讓學生在認識平均數(shù)的基礎上進而認識中位數(shù)的內(nèi)涵，教師沒有直接呈現(xiàn)中位數(shù)概念，而是創(chuàng)設情境，讓學生產(chǎn)生認知“沖突”，以“平均數(shù)”為參照物，引出“中位數(shù)”的概念，體會“中位數(shù)”的意義。體會到學習中位數(shù)的必要性。)

教學片段二：情景體驗。動態(tài)生成。破解“何為中位數(shù)?”

師：從字面意義來理解，你認為“中位數(shù)”是怎樣的數(shù)?

生：處在中間位置的數(shù)，叫做“中位數(shù)”。

師：從定義的角度來理解，你的說法是正確的；從統(tǒng)計學的角度來理解，你的說法還需要補充條件。

(屏幕演示：把一組數(shù)據(jù)按順序排列后。處在最中間位置的數(shù)叫做中位數(shù)。)

師：為什么要添加“把數(shù)據(jù)按順序排列”這個前提條件呢?

(沒有學生回答)

師：這樣吧，我們現(xiàn)場做一個演示，請五位同學協(xié)助完成。(教師選擇5位同學到臺前站成一排，用A4紙標明各自的

身高。)

師：請認為自己身高數(shù)是中位數(shù)的同學往前移一步。

(B和C都前移了一步)

師：C，你出來的理由是……?

C：因為我站在這五個人的最中間。所以我是“中位數(shù)”。

(教師沒有表態(tài)，把C和D調(diào)換了一個位置，并讓D向前移了一步，大聲宣布D是中位數(shù)。)

師：看出問題了嗎?

(學生沒有表態(tài)，若有所思。教師又把A和c調(diào)換了一個位置，并讓A前移了一步，大聲宣布A是中位數(shù)。)

生：不對。這么說，誰(的身高數(shù))都可以是中位數(shù)。

生：我明白了，把他們的身高按從高到低或者從低到高的順序排列起來，最中間的數(shù)才是中位數(shù)。

師：你們真聰明!中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間確定的、唯一的數(shù)。

(說著，老師站到五人隊伍的一端。)

師：這時的中位數(shù)是誰?(學生誰也沒有往前移動一步，面面相覷。)

生(自言自語)：6個人不好找中間數(shù)。

師：對照中位數(shù)的定義，誰最不可能是中位數(shù)?請退后一步。

(師、C、E和A在眾學生的指揮下相繼退后，剩下D和B。)

師：D和B你們?yōu)槭裁床煌撕竽?

生(搶著說)：他們兩個是最靠近中間的數(shù)。誰退去都不能。

師：可是中位數(shù)只有一個。

生：那么就只好取他們兩個的身高平均數(shù)了。

小結(jié)：當一組數(shù)據(jù)個數(shù)是單數(shù)時，正中間的數(shù)是中位數(shù)，當數(shù)據(jù)個數(shù)是雙數(shù)時，正中間的兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。

(點評：從字面上理解中位數(shù)的意義及求法并不困難，難的是如何幫助學生從本質(zhì)上認識、理解中位數(shù)的產(chǎn)生、形成與發(fā)展變化。教師提供適度的活動時間和空間。讓學生在具體的操作活動中體會中位數(shù)。)

教學片段三：整合挖掘，促進內(nèi)化，破解“究竟該選誰?”

(教師請剛才的五位同學按順序排好。)

師：這五位同學身高的中位數(shù)，我們剛才已經(jīng)知道它是138厘米，能快速計算出他們身高的平均數(shù)嗎?

生：平均身高是138.4厘米。

師：比較這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么?

生：它們非常接近，不分上下。

師：為什么兩者能這么接近?你認為其中的原因是什么?

生：可能是因為這組數(shù)據(jù)中沒有出現(xiàn)特別偏大或偏小的數(shù)據(jù)。

師：你們的猜想完全正確。在這種情況下，用平均數(shù)或者用中位數(shù)都能很好地反映一組數(shù)據(jù)的一般水平。

師：大家認識身高226厘米的籃球明星姚明嗎?今天他來了。(把C的身高數(shù)換成226厘米，對C說：“你現(xiàn)在就是姚明了。”學生被逗樂了。)與剛才相比，這五個人身高的平均數(shù)變化了嗎?變大了還是變小了?中位數(shù)呢?(如此演示兩至三次)

小結(jié)：平均數(shù)與每個數(shù)據(jù)大小變化有關。與排列位置無關；中位數(shù)與數(shù)據(jù)的排列位置有關，與每個數(shù)據(jù)大小變化不一定有關。

(點評：學生的“痛苦”往往來源于比較，尤其是對相近概念的比較，如在具體情境下，到底應該選擇平均數(shù)還是選擇中位數(shù)來表示一組數(shù)據(jù)的一般水平，是讓學生感到十分棘手的問題。為此。必須統(tǒng)整這兩個概念，讓學生在問題情境中，在現(xiàn)實素材中，在自主探究中，在討論交流中，感悟中位數(shù)的統(tǒng)計意義，建構(gòu)知識，主動發(fā)展。)

回顧中位數(shù)“三疑”、“三破”的教學歷程，我頗有感觸。之所以前后施教會產(chǎn)生這么大的反差，我認為主要在以下幾個方面存在區(qū)別：

直面問題且及時跟蹤診治，用行為改進的方式去解決問題，是我們提高課堂教學效能的努力方向。中位數(shù)教學的“三疑”與“三破”給了我如下啟示：

一、準確定位新知識教學的支點。中位數(shù)的教學必須以“平均數(shù)”為參照物，讓學生在沒有排斥、否定平均數(shù)的統(tǒng)計意義的認知沖突中。站在另一個層次分析數(shù)據(jù)，尋找到這個“合適”的數(shù)一中位數(shù)，從而體會中位數(shù)的合理性。

二、體驗缺失影響學生自主建構(gòu)。要提供適度的活動時間和空間，引領學生體驗，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程。課堂上通過“意義數(shù)據(jù)”的演示和變換，讓學生直觀有關實例，在現(xiàn)實素材中自主探究。討論交流，自己嘗試找中位數(shù)，體驗中位數(shù)的意義和求法，并在比較中感知平均數(shù)與中位數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，讓學生在問題情境中建構(gòu)知識，主動發(fā)展。

三、夯實本體性知識防止誤教。由于數(shù)學素養(yǎng)的缺乏，不能準確理解教材，對課堂上出現(xiàn)的“偏離預設”、學生的奇思妙想難以恰當把握，對學生自然生成的教學資源不能有效利用，就不能為學生創(chuàng)設更多的數(shù)學交流以及進行猜想、解釋、推理和證明自己數(shù)學想法的機會。就本課教學而言，既要加強統(tǒng)計知識的學習，也要彌補邏輯知識的缺漏。

四、切實尊重學生的課堂權益。學生有自己的看法和意見，教師不要一味地否定學生，而要把關注的重心放在學生質(zhì)疑、思考問題的過程，千萬不要代替學生觀察、思考和表達，更不可強加給學生固定的思維模式。

(點評者：王敏享受國務院特殊津貼專家，榮獲“全國人民教師獎章”，廣西優(yōu)秀專家、特級教師。)