李世偉

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院浙江杭州310018)

摘要本文結(jié)合線性代數(shù)課程前兩章的具體內(nèi)容，詳細(xì)分析了邏輯關(guān)系在線性代數(shù)教學(xué)中的體現(xiàn)。教學(xué)實(shí)踐表明：在教學(xué)過(guò)程中對(duì)邏輯關(guān)系適當(dāng)?shù)募右詮?qiáng)調(diào)，對(duì)于增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)很有幫助。

關(guān)鍵詞邏輯；教學(xué)；線性代數(shù)

一、引言

在線性數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)遇到學(xué)生問(wèn)到一個(gè)問(wèn)題，就是學(xué)習(xí)線性代數(shù)究竟有什么作用。因?yàn)樵趯W(xué)生學(xué)習(xí)這門(mén)課的過(guò)程中，很難找到在生活中直接與線性代數(shù)聯(lián)系非常緊密的事物。很多老師的答案往往是：學(xué)習(xí)線性代數(shù)可以提高人的計(jì)算能力，鍛煉人的邏輯思維能力，增強(qiáng)人的邏輯推導(dǎo)能力等等。但是學(xué)生感到這些遙不可及，再加上數(shù)學(xué)本身的理論性比較強(qiáng)，所以教師在授課的過(guò)程當(dāng)中，會(huì)遇到學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高，上課提不起精神等現(xiàn)象。如何有效的提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，把學(xué)生的注意力緊緊吸引到老師的講課上面，根據(jù)近幾年教學(xué)的體會(huì)，發(fā)現(xiàn)在教學(xué)當(dāng)中把課程的邏輯關(guān)系講清楚可以起到很重要的作用。下面以線性代數(shù)課程的前兩章內(nèi)容為例，說(shuō)明邏輯關(guān)系在線性代數(shù)教學(xué)中的體現(xiàn)。

二、第一章行列式內(nèi)容的邏輯關(guān)系分析

第一章行列式是學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程所遇到的第一個(gè)新概念，把這個(gè)概念講清講透對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣和信心尤為重要。本章內(nèi)容如下：主要內(nèi)容：第一節(jié)：行列式的定義；第二節(jié)：行列式的性質(zhì)；第三節(jié)：行列式按行或按列展開(kāi)法則；第四節(jié)：克拉默法則。重點(diǎn)：行列式的計(jì)算。難點(diǎn)：行列式定義的理解在講述這部分內(nèi)容的時(shí)候，內(nèi)容的邏輯關(guān)系非常明顯。首先由二、三元一次方程組給出二、三階段行列式的定義，說(shuō)明有了這種行列式的定義后，表示某些比較特殊的二、三元一次方程組的解將會(huì)變得比較簡(jiǎn)單，但是處理更多元的方程組就會(huì)發(fā)現(xiàn)僅僅給出二、三階行列式的定義是不夠的，接著有必要引入更高階行列式的定義，自然引出第二節(jié)——n階行列式的定義。通過(guò)詳細(xì)分析二階，三階行列式展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、每一項(xiàng)元素的構(gòu)成、及每一項(xiàng)的符號(hào)，可以自然給出n階行列式的定義。利用行列式主要是利用行列式運(yùn)算的結(jié)果，但用行列式的定義計(jì)算行列式顯然不現(xiàn)實(shí)，因?yàn)?階行列式的展開(kāi)式就會(huì)包含120項(xiàng)，所以有必要給出一種有效且易行的算法計(jì)算行列式，為此引出第三節(jié)——行列式的性質(zhì)。有了這些性質(zhì)以后，計(jì)算行列式變得非常容易，只需根據(jù)行列式的第五個(gè)性質(zhì)，把行列式化成一個(gè)上三角或下三角行列式來(lái)計(jì)算就可以了。但是，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)利用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式也有一個(gè)比較大的問(wèn)題，就是把行列式化成上三角或下三角行列式的運(yùn)算量比較大且容易出錯(cuò)，算法不夠靈活。下一節(jié)內(nèi)容將給出一種更方便、更靈活的計(jì)算行列式的方法，自然引出第四節(jié)——行列式按行或按列展開(kāi)法則。這種方法在計(jì)算行列式時(shí)具有比較大的靈活性，我們可以從行列式任何一個(gè)非零元素開(kāi)始，把它所在行或列的其它元素全部化成零，然后按這一行或列展開(kāi)，則行列式馬上會(huì)降階一次。依此類(lèi)推，則行列式的階數(shù)愈來(lái)愈低，計(jì)算起來(lái)就會(huì)比較簡(jiǎn)單。到此，講了行列式的概念，行列式的計(jì)算，那到底行列式有什么作用，本章的最后一節(jié)給出了一個(gè)答案。自然引出第五節(jié)——crammer法則。這節(jié)內(nèi)容具體講述行列式在一類(lèi)方程組的求解時(shí)會(huì)發(fā)揮作用。當(dāng)然這里要特別強(qiáng)調(diào)法則的適用條件。

這樣整個(gè)第一章就會(huì)沿著一個(gè)非常自然的邏輯關(guān)系介紹下來(lái)。這種邏輯性介紹清楚以后，學(xué)生在學(xué)習(xí)每一節(jié)新課之前都會(huì)有一種期待：講完二三階行列式以后，他就會(huì)想到底更高階行列式怎么定義，講完n階行列式的定義，他就會(huì)想到底n階行列式會(huì)有什么簡(jiǎn)單的方法計(jì)算，講完行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式以后，他就會(huì)想到底有沒(méi)有更靈活的方法計(jì)算行列式。把這些概念、算法都講完之后，學(xué)生就會(huì)想到底行列式有什么作用。當(dāng)然這些懸念需要教師在授課時(shí)巧妙的進(jìn)行設(shè)置。按照這種邏輯關(guān)系進(jìn)行教學(xué)就會(huì)讓學(xué)生始終覺(jué)得這一章內(nèi)容是一個(gè)有機(jī)的整體。復(fù)習(xí)的時(shí)候再歸納一下：第一章行列式主要介紹三個(gè)問(wèn)題：第一：行列式的概念；第二：行列式的運(yùn)算；第三：行列式的一個(gè)應(yīng)用。這樣學(xué)生對(duì)行列式的所有內(nèi)容就比較清楚了。

三、第二章矩陣內(nèi)容的邏輯關(guān)系分析

線性代數(shù)除了行列式這個(gè)重要的工具以外還有一個(gè)非常重要的工具就是矩陣，自然引出第二章矩陣及其初等變換。

第一節(jié)主要明確矩陣實(shí)際就是一個(gè)數(shù)表。由于在實(shí)際當(dāng)中數(shù)表之間會(huì)存在一些運(yùn)算，所以作為數(shù)表的一種抽象，矩陣也需要定義一些運(yùn)算，自然引出第二節(jié)——矩陣的運(yùn)算。矩陣之間可以定義加法，減法，數(shù)乘，矩陣乘積，冪，行列式，轉(zhuǎn)置運(yùn)算等等。在這些運(yùn)算當(dāng)中有些運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算類(lèi)似，有的運(yùn)算則是矩陣所特有的。這里要特別強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：首先，矩陣的大部分運(yùn)算都有自己的適用條件：比如加減法要求矩陣同型，矩陣乘積要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)要等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)，矩陣的冪和矩陣的行列式的運(yùn)算要求矩陣為方陣等；其次矩陣沒(méi)有除法運(yùn)算。除了以上運(yùn)算以外，矩陣還有一種類(lèi)似于數(shù)的運(yùn)算，像在數(shù)中，則稱(chēng)為的逆一樣，矩陣?yán)锩嬉灿蓄?lèi)似的概念，自然引出第三節(jié)——矩陣的逆。用數(shù)中逆的定義類(lèi)似的表達(dá)式給出矩陣逆的定義，接著利用方陣的行列式判定矩陣什么時(shí)候可逆，可逆時(shí)再利用伴隨矩陣給出求矩陣逆的方法。這樣從可逆的概念，可逆的判定，逆矩陣的求法三個(gè)方面把矩陣逆的問(wèn)題講清楚了。但是用這一節(jié)的方法在實(shí)際求逆矩陣時(shí)會(huì)遇到求伴隨矩陣的困難，下面一節(jié)將給出一種更直觀易行的方法求逆矩陣，自然引出下一節(jié)——矩陣的初等變換及初等矩陣。本節(jié)內(nèi)容主要是通過(guò)方程組的同解變換引出矩陣的初等變換，通過(guò)矩陣初等變換之后前后矩陣之間的聯(lián)系引入初等矩陣，這兩項(xiàng)主要工作做完以后，自然可以給出利用矩陣的初等行變換求逆矩陣的方法。除了以上矩陣的概念，運(yùn)算，初等變換以外，后面的章節(jié)還要用到矩陣另外一個(gè)重要的概念，就是第四節(jié)——矩陣的秩。本節(jié)主要明確矩陣的秩其實(shí)就是最高階非零子式的階數(shù)，但確定最高階非零子式不容易，所以后面緊接著給出了用初等行變換求矩陣逆的方法。

這樣按照矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣的初等變換，矩陣的逆一條非常清晰的邏輯主線就把第二章內(nèi)容——矩陣的問(wèn)題講清楚了。

從以上分析可以看出：線性代數(shù)的前兩章內(nèi)容邏輯關(guān)系確實(shí)非常明確。我在上課時(shí)用這種方法講下來(lái)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣非常濃厚，課堂氣氛非常熱烈，學(xué)習(xí)效果也非常好。線性代數(shù)的后面幾章內(nèi)容其實(shí)也有非常明確的邏輯主線，將在以后的文章中繼續(xù)探討。

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