宋　菲　王建瑜

(西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院陜西楊凌712100)

摘要本文首先分析了目前大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的教學(xué)方法空洞單一、應(yīng)用性不強等現(xiàn)象，從幾個方面剖析了現(xiàn)象背后的原因，最后提出了如何改進數(shù)學(xué)教學(xué)的方法和建議，主要是授課內(nèi)容上要與時俱進，教學(xué)方法上要充分利用直觀形象的教學(xué)手段，同時注意知識之間的融會貫通與應(yīng)用性等，以期提高大學(xué)數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)教學(xué)；直觀；應(yīng)用；與時俱進；教育質(zhì)量

20世紀(jì)中葉以來，現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，極大地推進了應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)幾乎滲透到了每一個科學(xué)領(lǐng)域及人們生活的方方面面。自然科學(xué)的深入發(fā)展越來越依賴于數(shù)學(xué)，而社會科學(xué)、人文科學(xué)也越來越多地借助于數(shù)學(xué)知識及其思想方法。數(shù)學(xué)作為科學(xué)的語言，作為推動科學(xué)向前發(fā)展的重要工具，在人類發(fā)展史上具有不可替代的作用，并將在未來的社會發(fā)展中發(fā)揮更大的作用。這也標(biāo)志著新世紀(jì)對大學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)要求更高更全面。但是，目前高等院校的本科數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在不少問題，很不適應(yīng)當(dāng)前整體學(xué)時減少及高校擴招后學(xué)生現(xiàn)實的狀況。應(yīng)如何加強直觀性、應(yīng)用性和創(chuàng)造性的教學(xué)，重視課程的教學(xué)效率和效果，切實提高大學(xué)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量就顯得尤其重要。

一、目前的現(xiàn)象和困惑

由于缺乏直觀性、應(yīng)用性和創(chuàng)造性教學(xué)，使得在目前的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)了如下幾個較為普遍的現(xiàn)象：

1、“空洞的解題訓(xùn)練”現(xiàn)象

兩千年來，人們一直認(rèn)為每個受教育者都必須具備一定的數(shù)學(xué)知識。但是今天，由于數(shù)學(xué)教學(xué)模式較單一，講授知識點多，講述數(shù)學(xué)知識的來源少；講授知識本身多，講述知識“身外”之事之事少。缺乏直觀性和應(yīng)用性的教學(xué)，使得數(shù)學(xué)教學(xué)有時竟演變?yōu)榭斩吹慕忸}訓(xùn)練。教學(xué)內(nèi)容枯燥無味，難以激起學(xué)習(xí)興趣。

2、“得意忘形”現(xiàn)象

“過分” 強調(diào)數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)密性和數(shù)學(xué)理論的抽象性而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系，使數(shù)學(xué)“過度”抽象化、神秘化。淡化了數(shù)學(xué)的通俗性和實用性。同時，缺乏或不太重視直觀性特別是幾何直觀性教學(xué)，使學(xué)生知其然不知其所以然，較大程度上陷入“得意忘形”的境界?！暗谩绷藬?shù)學(xué)知識的字面定義、性質(zhì)、定理，“ 忘”了數(shù)學(xué)知識的原始來源動機和直觀。

3、“高等數(shù)學(xué)無用論”現(xiàn)象

使學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)就是“定義+定理(性質(zhì)、公式)+證明(計算)”，數(shù)學(xué)學(xué)好學(xué)壞對自己以后的發(fā)展沒關(guān)系或影響不大。數(shù)學(xué)知識的來源和應(yīng)用介紹得少，數(shù)學(xué)的重要性、數(shù)學(xué)對科學(xué)技術(shù)的發(fā)展、其它學(xué)科的促進和支撐作用沒有充分體現(xiàn)。沒有充分認(rèn)識到讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性也是數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一，對提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量往往會起到事半功倍的作用。

4、“數(shù)學(xué)太難”現(xiàn)象

高等數(shù)學(xué)是我國高等院校為低年級學(xué)生普遍開設(shè)的一門基礎(chǔ)課，學(xué)生對高等數(shù)學(xué)掌握的好壞直接影響到其對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，也是決定該同學(xué)能否升入高一年級的學(xué)習(xí)關(guān)鍵。但是，盡管高等數(shù)學(xué)的課時較多、老師和學(xué)生都下了不少的功夫，但期末考試時，高等數(shù)學(xué)的掛科率高大多位于“榜首”。分析原因，大家?guī)缀醵颊J(rèn)為是“高數(shù)太難”。為什么會這樣呢？

由于教學(xué)方法和思想的不當(dāng)，我們的教學(xué)往往使學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很“恐怖”，學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)積極性、主動性，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、開動腦筋的題目、問題較少。大都是一沉不變的公式、定理證明和復(fù)雜的計算，讓學(xué)生覺得非?！巴纯唷?。

二、現(xiàn)象背后的原因

數(shù)學(xué)之難以理解，究竟是數(shù)學(xué)學(xué)科本身內(nèi)在的特性，還是因為數(shù)學(xué)教師們在傳播數(shù)學(xué)知識方面的無能呢? 造成上述現(xiàn)象應(yīng)該既有數(shù)學(xué)學(xué)科本身的原因，也有教師自身的原因。簡單歸納如下：

1、數(shù)學(xué)學(xué)科的特點

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是人們在社會生產(chǎn)和生活實踐中總結(jié)、提煉和抽象出來的。內(nèi)容的抽象、結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用的廣泛、發(fā)展的連續(xù)是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的顯著特征，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度大的原因之一。數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性給學(xué)生學(xué)習(xí)造成接受上的困難；結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)給學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)造成理解上的困難；應(yīng)用的廣泛造成掌握上的困難；數(shù)學(xué)發(fā)展的連續(xù)性決定數(shù)學(xué)知識是連續(xù)的，要明白后面的知識，必須懂得前面的內(nèi)容。間斷的學(xué)習(xí)、非系統(tǒng)的學(xué)習(xí)是很難學(xué)懂的。

2、數(shù)學(xué)教學(xué)教育觀念的原因

長期以來，人們把數(shù)學(xué)當(dāng)作升學(xué)就業(yè)所必須掌握的知識，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種任務(wù)，無形中有一種負(fù)擔(dān)和無奈在里面。加之大學(xué)數(shù)學(xué)教師上課時，仍然是強調(diào)高數(shù)在畢業(yè)、升學(xué)、就業(yè)的必要性，忽視高數(shù)對學(xué)生進行思維、能力、情感、素質(zhì)以及推動社會發(fā)展的功能介紹，讓學(xué)生更進一步加重了發(fā)愁、壓抑、沉重感，給高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成心理上的困難。

3、數(shù)學(xué)教材的原因

目前的高等數(shù)學(xué)教材存在過于理論化的弊端，為了知識的邏輯性，將原來數(shù)學(xué)形成的歷史實際一掃而空，剩下的只是公式的堆積和字母數(shù)字的堆砌，學(xué)生們根本看不到活的數(shù)學(xué)?？床坏街R、概念產(chǎn)生的來龍去脈，不便于理解和接受，這也是造成高數(shù)學(xué)習(xí)困難的又一個原因。

4、數(shù)學(xué)教師的水平及對數(shù)學(xué)的理解

受到數(shù)學(xué)教師的自身水平限制，缺乏對數(shù)學(xué)知識和文化的真正理解。大多數(shù)教師仍是以教材為范本，教師堂上一味地講，學(xué)生臺下被動地聽?？菰铩⒎ξ?、難理解，就自然而然地成為數(shù)學(xué)的代名詞，難以使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，使數(shù)學(xué)變得神秘化、復(fù)雜化、符號化。

三、應(yīng)該怎樣做

1、授課內(nèi)容上要與時俱進

微積分理論是高等數(shù)學(xué)中一個重要的內(nèi)容。這一理論從牛頓2萊布尼茲時代算起，已有300 多年的歷史。150 年來，大學(xué)數(shù)學(xué)教材里一直是按照那時形成的理論講授微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容的。總是先介紹極限理論，然后介紹微分理論，接著從原函數(shù)的角度引入不定積分，之后是一大堆的不定積分方法的介紹，最后才是定積分。當(dāng)然我們不是說這種方式不好，而是覺得這種統(tǒng)一的按部就班的模式“太過平靜，缺乏個性”。

雖然我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的微積分理論是幾代人不懈的努力得出的經(jīng)驗，也經(jīng)過了時間的檢驗，卻不代表我們不能在其基礎(chǔ)上追求創(chuàng)新和發(fā)展。例如，數(shù)理邏輯學(xué)家羅賓遜用模型論的方法證明，實數(shù)結(jié)構(gòu)可以擴張為包含無窮小和無窮大數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而創(chuàng)立“非標(biāo)準(zhǔn)分析”。這樣可以不用極限概念，直接從牛頓—萊布尼茲時代提出的的“無窮小”出發(fā)建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分；林群院士采用“一致微商”的定義簡化了微積分基本定理的論證；張景中院士用與林群院士不同的方法實現(xiàn)了微積分的初等化。

我們應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中嘗試用新的方法來講述經(jīng)典的內(nèi)容。使現(xiàn)在困惑我們的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解。這就要求我們的教材要不斷的更新和進步，以適應(yīng)當(dāng)前的發(fā)展和需要。

除此以外，應(yīng)該在授課內(nèi)容上給教師以足夠的靈活處理的空間?？茖W(xué)技術(shù)日新月異，數(shù)學(xué)教學(xué)也要與時俱進，給教師一些活動空間，對培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型人才大有好處。

2、充分利用直觀形象的教學(xué)手段，變抽象為直觀，變難為易

許多學(xué)生都反映高數(shù)難學(xué)，其中的一個原因就是數(shù)學(xué)的抽象性。高等數(shù)學(xué)中的很多定義、原理、定理、證明等等，都是抽象出來的數(shù)學(xué)語言，對許多剛剛接觸高等數(shù)學(xué)、比較缺乏數(shù)學(xué)思想訓(xùn)練的新生而言，這些數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)概念都是非常模糊的、難以理解的、不生動的。對于這些抽象的理論，如果能夠用直觀的圖像予以圖示，可以使人更深刻的理解其意義，把握其思想方法，迅速地理解掌握。我們對此有著深刻的體會，在高等數(shù)學(xué)中，有一個隱函數(shù)的存在性定理，這個定理在工科的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中是不予證明的。是不是這個定理就不重要，當(dāng)然不是！事實上，這個定理的證明比較繁雜，初學(xué)者很難快速理解定理的證明思路，我們通常的做法是要求學(xué)生直接記住結(jié)論，而不做額外的說明?？蛇@樣做的結(jié)果是學(xué)生是知其然而不知其所以然，也很難真正的理解和掌握它。教學(xué)實踐中，我們通過一些直觀的幾何圖形輔助說明，這個定理的證明思路就是很容易被學(xué)生理解和接受了。

因此直觀模型不僅能夠幫助人們理解深刻復(fù)雜的理論，也可以幫助人們開展創(chuàng)新思維。在可能的情況下，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中使用直觀的方法，可以使學(xué)生理解更為深刻清晰，記憶更為牢固，短時間內(nèi)接受一些復(fù)雜的思想，提高課堂教學(xué)效率。

3、加強數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)知識與其它學(xué)科知識之間的融會貫通

科學(xué)知識的增長是非線性的過程。在19世紀(jì)變革與積累的基礎(chǔ)上，20世紀(jì)數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出指數(shù)式的飛速發(fā)展。現(xiàn)代數(shù)學(xué)不再僅僅是代數(shù)、幾何、分析等經(jīng)典學(xué)科的集合，而成為分支眾多的、龐大的知識體系，并且仍然在急劇地變化發(fā)展中。

因此，我們的教學(xué)不能只停留在單一的層面上，而應(yīng)該注重強調(diào)知識的關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)性，加強同一門課程不同知識點、不同課程的相關(guān)性和交融性教學(xué)，比如極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等關(guān)系是什么？微積分、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)等中起至關(guān)重要作用的知識點是什么？微積分與物理學(xué)之間有著什么樣的聯(lián)系，具體地說，有線性微分方程解的可疊加性與電磁場場方程的線性是什么關(guān)系；Euler 公式與電磁理論有什么關(guān)系；基本函數(shù)族及其正交性與光的非相干疊加有什么關(guān)系等等。我們的學(xué)生能夠體會數(shù)學(xué)知識之間的融會貫通和緊密相關(guān)性嗎？能夠體會數(shù)學(xué)學(xué)科與其它學(xué)科之間的緊密關(guān)聯(lián)性嗎？

4、要引導(dǎo)學(xué)生提出有意義的問題

在我們看來數(shù)學(xué)教師要交給學(xué)生兩樣?xùn)|西，一是數(shù)學(xué)思想，也就是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想方法去思考和解決問題，二是應(yīng)用能力，也就是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)家的眼光去發(fā)現(xiàn)問題并進行歸納。從這個意義上說，數(shù)學(xué)老師要做兩件事，第一，在現(xiàn)實與數(shù)學(xué)的鴻溝之間架設(shè)一座橋梁，第二，將數(shù)學(xué)思想融入數(shù)學(xué)知識的講授中，也就是說，不僅要教給學(xué)生解決問題的方法，更重要的是要讓學(xué)生明白，什么樣的問題是重要的？如何采用合適的方法分析和解決這些問題？

“提問題”也是讓學(xué)生參與教學(xué)活動的一種有效的方法，同時也能培養(yǎng)學(xué)生勤學(xué)好問的習(xí)慣。因此每介紹一個新的概念和理論，首先應(yīng)該向?qū)W生闡明概念和理論的背景，也就是說應(yīng)該先明確要探討什么問題？為什么要探討這樣的問題？例如，定積分產(chǎn)生的一個重要背景就是解決面積問題。事實上，微積分產(chǎn)生之前，面積問題只是紳士們的奢侈品，一般人是不敢問津的，只有在牛頓—萊布尼茨公式產(chǎn)生之后，面積問題才變得相對平凡。有了問題，才會有解決問題的沖動，才會進一步思考、學(xué)習(xí)和研究。

5、加強數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性教學(xué)

時代的發(fā)展需要更多的高素質(zhì)人才，他們除了要學(xué)好豐富的理論知識之外，還必須學(xué)以致用，這樣才能推動時代的發(fā)展。我們學(xué)數(shù)學(xué)的目的是為了應(yīng)用它去解決實際問題。因此，在當(dāng)今的大學(xué)本科教學(xué)中，重視數(shù)學(xué)知識的實際背景，加強應(yīng)用數(shù)學(xué)意識與能力的培養(yǎng)，是十分必要和迫切的任務(wù)。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)正在向包括從粒子物理到生命科學(xué)、從空間科學(xué)到地球科學(xué)在內(nèi)的一切科學(xué)領(lǐng)域進軍。例如，相對論和量子力學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展離不開張量分析、無窮維空間這兩種數(shù)學(xué)工具；著名的楊—米爾斯理論也依賴于微分幾何中聯(lián)絡(luò)這一概念的發(fā)展；解開DNA 雙螺旋結(jié)構(gòu)之謎的鑰匙是拓?fù)鋵W(xué)中的扭結(jié)理論。

當(dāng)今，數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用于遺傳學(xué)；概率論應(yīng)用于人口統(tǒng)計和種群理論；微分方程應(yīng)用于各種生物模型的建立；布爾代數(shù)應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述；數(shù)值模擬已成為的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法應(yīng)用于航空、航天設(shè)計、核工業(yè)在內(nèi)的許多技術(shù)部門，以代替耗資巨大的試驗；小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探、圖像壓縮等技術(shù)領(lǐng)域；現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器工業(yè)也離不開數(shù)學(xué)(如CT 掃描儀的研制，就是以現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所謂“拉東積分”理論為基礎(chǔ)) 等等。這樣的例子舉不勝舉。

“數(shù)學(xué)物理”、“數(shù)理化學(xué)”、“生物數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)”、“數(shù)理氣象學(xué)”……，一連串交叉學(xué)科的形成說明了數(shù)學(xué)向其它自然科學(xué)領(lǐng)域滲透的廣度。因此，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，是每位數(shù)學(xué)教師面對的課題。力求將“應(yīng)用性教學(xué)”思想貫穿整個教學(xué)過程，只要可能，都應(yīng)該提出應(yīng)用的問題和可應(yīng)用的方面。

參考文獻

[1]李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論(第二版) [M]，186 - 187，247 - 255．北京：高等教育出版社，2002．8．

[2]林群．A Rigorous Calculus to Avoid Notions and Proofs[M]．Singapore，World Scientific Press，2006．

[3]張景中．微積分學(xué)的初等化．華中師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006．12．

[4]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)(上、下冊) [M]．第六版．北京：高等教育出版社，2007．4．