陳合龍，邱戰(zhàn)洪

（臺州學院 建筑工程學院，浙江 臺州 318000）

慣性矩轉軸公式的幾何法研究

陳合龍，邱戰(zhàn)洪

（臺州學院 建筑工程學院，浙江 臺州 318000）

截面的慣性矩（積）是重要的截面參數，是進行工程構件設計的依據。慣性矩（積）轉軸公式常用于計算當坐標軸發(fā)生旋轉時截面的慣性矩（積）、計算主慣性矩，是材料力學的重要知識點。但轉軸公式并沒有指出最大主慣性矩和最小主慣性矩對應的軸的位置。定義了廣義慣性積，重新研究了轉軸公式，得出更為直觀的轉軸公式的慣性矩圓表示方法，該方法簡單、概念明確，不失為轉軸公式的重要補充。

慣性矩；廣義慣性積；轉軸公式；慣性矩圓

0 前言

轉軸公式是材料力學的一個重要內容。在現行材料力學教材中［2，3］，轉軸公式可以計算當坐標軸發(fā)生旋轉時截面的慣性矩（積）、主慣性矩，并結合移軸公式，算得截面的最大和最小慣性矩。但是，傳統教材并沒有進一步利用轉軸公式來確定最大和最小慣性矩對應的軸的方位，因為直接運用方程來解決這個問題比較冗繁復雜，而在桿件穩(wěn)定性分析中，這是關鍵性的問題［1］。因此，本文定義了廣義慣性積，之后順利地引出慣性矩圓，研究發(fā)現，利用慣性矩圓不僅可以確定當坐標軸發(fā)生旋轉時截面的慣性矩（積）的變化規(guī)律，而且能直觀地找出截面的最大和最小慣性矩對應的軸的位置。該方法直觀，概念明確，不失為材料力學的相關知識點的補充。

1 截面的慣性矩和廣義慣性積

以圖1所示截面為例，截面面積為A，在截面所在平面上任意建立坐標系xoy，定義積分：

（1）式和（2）式分別稱為截面對于x軸和y軸的慣性矩。定義積分：

（3）式和（4）式稱為截面對軸 xy 的廣義慣性積。式中，τ（xy）為排列“的逆序數，τ（yx）為排列“yx”的逆序數。不妨假定 x 的序號為 1，y 的序號為 2，則下標“xy”的逆序次數為 0，即，而下標“yx”的逆序次數為 1。因此（3）（4）兩式可改寫為：

圖1 任意截面

2 轉軸公式、慣性矩圓、主慣性軸

2.1 轉軸公式

當坐標系轉動時，慣性矩和慣性積會發(fā)生變化。如圖2所示，坐標系x1o1y1相對于坐標系xoy逆時針轉動了角度α，已知截面對于坐標系xoy的慣性矩和廣義慣性積：求對于坐標系x1o1y1的慣性矩和廣義慣性積：

圖2 坐標系相對轉動

上式就是含有廣義慣性積的轉軸公式。

2.2 慣性矩圓

圖3 慣性矩圓

2.3 主慣性軸

觀察慣性矩圓（圖3）可以發(fā)現，圓的一條直徑位于橫軸上，也就是說，存在這樣一個坐標系，截面對于它的慣性矩中一個最大，一個最小，廣義慣性積為零，稱這一對坐標軸為主慣性軸，對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩，如果主軸通過截面中心，則稱為中心主軸。不難求出

那么將坐標系xoy順時針旋轉角度α0，便得到坐標系x′o′y′，且截面對于軸x′的慣性矩Ix′最大，對于軸y′的慣性矩 Iy′最小。通過 Ix-Iy、Ixy的正負號判斷 2α0屬于第幾象限，例如 Ix-Iy<0、Ixy＞0，則 2α0屬于第二象限。

如果截面有對稱軸，顯然，此對稱軸和與其正交的軸一定是主軸，因為截面對于此軸系的慣性積為零。

3 結語

本文以慣性矩（積）轉軸公式為研究對象，利用公式中隱含的特征，運用解析幾何的方法，并根據需要定義了廣義慣性積，利用慣性矩圓重新探討了轉軸公式，使轉軸公式的含義更清晰，概念更明確，新方法比傳統的轉軸公式更易于理解。

［1］費奧多謝夫著.維成蔣譯.材料力學［M］.北京：高等教育出版社，1985：113-121.

［2］孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學［M］（第五版）.北京：高等教育出版社，2009：336-340.

［3］（美）希伯勒.汪越勝等譯．材料力學［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006：635-638.

［4］李炯生，查建國．線性代數［M］．合肥：中國科學技術大學出版社，1989：57-75.

Research on Transformation Equations of Moments and Products of inertia with Geometry

CHEN He-long，QIU Zhan-hong
(School of Architectural Engineering Taizhou University，Taizhou 318000，China)

The moments and products of inertia of a plane area are important parameters for section and the section designing basis. The transformation equations of moments and product are used to determine the new values of the moments and products of inertia and the Principal axis of inertia when the axises are rotated,but the maximum and minimum principal axis of inertia are not definite. This article defines the generalized products of inertia and derives a new type of transformation equations,and it appears that Using a circle to interpret the transformation equations is a better way.

moments of inertia；generalized products of inertia；transformation equations; circle of moments of inertia

周小莉）

O345

A

1672-3708（2010）03-0054-04

2010-04-23；

2010-05-08

陳合龍（1983- ），男，湖北大冶人，碩士，助教，主要從事工程力學研究。

book=57,ebook=204