吳飛鵬，蒲春生，吳 波

（中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東 東營 257061）

燃爆壓裂中壓擋液柱運(yùn)動(dòng)規(guī)律的動(dòng)力學(xué)模型*

吳飛鵬，蒲春生，吳 波

（中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東 東營 257061）

針對燃爆壓裂過程中壓擋液柱受沖擊運(yùn)動(dòng)機(jī)理的復(fù)雜性，假設(shè)火藥燃?xì)馀c壓擋液柱存在完全氣液接觸界面，采用拉格朗日的微元分析方法，建立了由連續(xù)性方程、動(dòng)量守恒方程、能量守恒方程組成的壓擋液柱運(yùn)動(dòng)規(guī)律動(dòng)力學(xué)模型，并給出了該模型與火藥燃爆模型的耦合數(shù)值解法。經(jīng)程序編制和實(shí)例計(jì)算表明，在綜合考慮火藥燃?xì)鈱σ褐暮暧^推動(dòng)作用、沖擊壓縮作用、液柱自身的動(dòng)能分布及管壁對其摩擦阻力的影響后，火藥燃燒過程中氣液界面上升高度有限（實(shí)例計(jì)算不足0.1m），可起到很好的持壓作用；但全過程中最高液柱位移較大（18.9m），水力振蕩增效作用明顯。研究成果對提高燃爆壓裂的數(shù)值模擬精度具有一定促進(jìn)作用。

爆炸力學(xué)；動(dòng)力學(xué)模型；燃爆壓裂；壓擋液柱運(yùn)動(dòng)；動(dòng)能分布

1 引 言

油水井燃爆壓裂過程中的壓擋液柱運(yùn)動(dòng)規(guī)律是影響火藥燃爆能量分配及裂縫系統(tǒng)動(dòng)態(tài)延伸的關(guān)鍵因素之一［1－3］，當(dāng)前對于該問題主要是基于靜力學(xué)分析或簡化的動(dòng)力學(xué)分析，將火藥燃爆壓力對液柱的作用分成初始沖擊壓縮作用和應(yīng)力波傳到液面后的剛體運(yùn)動(dòng)作用2個(gè)部分來分析，分別建立相關(guān)解析模型［4－10］。但是由于高能火藥燃爆的強(qiáng)加載環(huán)境，整段液柱中各部分微元的運(yùn)動(dòng)速度差別非常大，由其所產(chǎn)生的動(dòng)能影響和管壁對流體微元的摩擦阻力影響也非常大，不能忽略。由此，本文中，將綜合考慮液柱運(yùn)動(dòng)過程中由速度分布造成的動(dòng)能影響及管壁摩擦阻力影響，以液柱任意微小截面單元作為研究對象，利用質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒等條件，建立燃爆壓裂過程中的壓擋液柱運(yùn)動(dòng)規(guī)律動(dòng)力學(xué)模型，據(jù)此可使壓擋液柱運(yùn)動(dòng)規(guī)律的定量描述更符合實(shí)際情況。

2 壓擋液柱運(yùn)動(dòng)物理模型

燃爆壓裂過程中火藥燃?xì)鈱簱跻褐淖饔脵C(jī)理很復(fù)雜，因此采用下列假設(shè)條件：（1）火藥燃爆后燃?xì)夥贤耆珰怏w狀態(tài)方程；（2）壓擋液為牛頓流體；（3）燃?xì)馀c液柱存在完全接觸面，且液柱的壓力為連續(xù)作用力；（4）全過程考慮流體微元?jiǎng)幽茏兓凸鼙谀Σ磷枇σ褐\(yùn)動(dòng)的影響；（5）液柱在井筒中的流動(dòng)為等截面管流。

3 壓擋液柱運(yùn)動(dòng)規(guī)律數(shù)學(xué)模型

當(dāng)前研究流體運(yùn)動(dòng)一般采用質(zhì)點(diǎn)分析法的拉格朗日法或空間固定觀察站法的歐拉法［11］。本研究采用拉格朗日法，因此在一維流動(dòng)中，選取各微團(tuán)所在初始截面坐標(biāo)位置x0作為拉格朗日坐標(biāo)s。

（1）連續(xù)性方程

當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，微團(tuán)流體的截面位置在隨時(shí)間變化，但此兩截面包圍區(qū)域中流體質(zhì)量卻不隨時(shí)間變化。設(shè)l0為初瞬時(shí)t0兩截面之間的距離，ρ0為兩截面所限區(qū)域內(nèi)的微團(tuán)密度。經(jīng)過時(shí)間t后，微元長度變?yōu)閘，密度變?yōu)棣?，假設(shè)液體運(yùn)動(dòng)為等截面管流（A＝A0，A0、A分別為t0、t時(shí)刻的流體截面積），則液柱運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程為

再由流體的壓縮性，結(jié)合微元體壓力和液柱壓力的對應(yīng)關(guān)系得

式中：β為流體體積壓縮系數(shù)，Pa－1。

（2）動(dòng)量守恒方程

流體微團(tuán)受沖擊運(yùn)動(dòng)時(shí)受到4種作用力的影響：

①下端界面處向上的壓力p （x，t ）A；

②上端界面處向下的壓力

式中：λ為牛頓流體管流摩阻系數(shù)，量綱為一；R為管柱內(nèi)半徑。由此應(yīng)用牛頓第二定律，可得動(dòng)量方程

③流體微元自身重力

④流體微元運(yùn)動(dòng)時(shí)受管壁的摩擦力

將式（3）～（5）代入式（6），并化簡得

（3）能量守恒方程

在絕熱、無粘的條件下，兩截面包圍區(qū)域內(nèi)流體微團(tuán)的熵值在運(yùn)動(dòng)過程中保持不變，則在流體微元運(yùn)動(dòng)過程中4種作用力對其作的功全部轉(zhuǎn)變成流體微元自身的動(dòng)能和彈性能。

由前面分析得出流體微元在運(yùn)動(dòng)中受到的合力為

假設(shè)dt時(shí)間內(nèi)，流體微元整體運(yùn)動(dòng)的距離為dx，微元長度變?yōu)閘，則合力F對其做的功為

dt時(shí)間內(nèi)流體微元的動(dòng)能增量為

由位移、速度、加速度間關(guān)系得

將式（11）代入式（10）得

若壓擋流體的彈性模量為E，可得在dt時(shí)間內(nèi)流體微元的彈性能增量為

式中：dl為t時(shí)刻到t＋dt時(shí)刻的微元長度變化量。

最后綜合式（9）、（12）、（13）得能量守恒方程為

（4）邊界條件

若以pn（t）表示第n個(gè)流體微元t時(shí)刻所受的壓強(qiáng)，則根據(jù)壓擋液柱的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得邊界條件為

式中：n＝1時(shí)pn（t）表示液柱底端微元所受的沖擊壓強(qiáng)；n＝M時(shí)表示t時(shí)刻應(yīng)力波傳到第M 個(gè)微元，M＝int（ct／l0）；HM為第M 個(gè)微元的上部液柱高度，HM＝HL－ct，其中HL為壓檔液柱總高度；n＝N時(shí)pn（t）表示液柱最上端微元的上端面所受壓強(qiáng)，其值等于大氣壓（井口放開）。

4 壓擋液柱運(yùn)動(dòng)規(guī)律模型求解

由上述分析得燃爆壓裂過程中壓擋液柱運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為

其中的未知數(shù)為液柱各處壓力p、微元流體密度ρ、微元自身長度l、微元位移x和微元運(yùn)動(dòng)速度v等5個(gè)參數(shù)，求解時(shí)模型（16）加上微元位移與微元自身長度變化的關(guān)系，共5個(gè)方程，可定量化求解任意火藥燃爆壓力、液柱條件和井身?xiàng)l件下的氣液界面高度位移隨時(shí)間的變化關(guān)系。

如圖1所示，將整段液柱進(jìn)行網(wǎng)格劃分，進(jìn)而對建立的數(shù)學(xué)模型（16）進(jìn)行差分求解，以第i個(gè)微元網(wǎng)格為研究對象，分別對t時(shí)刻和t＋Δt時(shí)刻進(jìn)行差分計(jì)算。

則連續(xù)性方程為

圖1 液柱網(wǎng)格劃分示意圖Fig.1Schematic diagram of the gridded fluid column

動(dòng)量守恒方程為

如圖2，假設(shè)整個(gè)過程中液柱始終保持連續(xù)，則第i微元的位移與i－1微元的自身長度存在如下關(guān)系

圖2 流體微元運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of the infinitesimal fluid column

結(jié)合沖擊壓力邊界條件，從液柱底端第1個(gè)微元開始差分求解，就可求得任意時(shí)刻的液柱狀態(tài)。

5 計(jì)算實(shí)例分析

利用建立的液柱運(yùn)動(dòng)模型，結(jié)合文獻(xiàn)［12］給出的火藥燃爆模型（式（12））、巖石起裂壓力模型和文獻(xiàn)［13］給出的燃爆壓裂裂縫系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，利用火藥燃?xì)獾馁|(zhì)量變化與壓力變化可對各部分模型進(jìn)行耦合求解，如此便可計(jì)算模擬火藥燃燒、裂縫起裂延伸、壓擋液柱運(yùn)動(dòng)組成的高能氣體壓裂全過程。利用該套理論編制計(jì)算程序，計(jì)算川高561井這一深層致密氣井中，5km井深，50kg火藥在1km清水液柱壓擋情況下燃爆的燃?xì)鈮毫偷酌鏆庖航缑娴奈灰埔?guī)律，如圖3～5所示。

式中：Vg為藥柱的燃燒體積，pw為井筒壓力，w0為燃速系數(shù)（壓力為1MPa時(shí)的燃燒速度），u為火藥的燃燒速度；δ為t時(shí)刻藥柱的燃燒長度，n為壓力指數(shù)，ρ0為火藥密度，Vr為燃燒室的自由容積；S0為裝藥的燃燒表面積，p為燃燒室內(nèi)的平均壓力，R為燃?xì)獬?shù)，通常等于2.87J／（kg·℃）；f為火藥力，T為燃燒室內(nèi)的溫度，cV為火藥比熱容。

式中：ps、pd為靜、動(dòng)載下巖心破裂壓力，MPa；γ為動(dòng)載加壓速率，GPa／s。

式中：q（t）為火藥燃?xì)庠谏淇卓籽厶幮沽髁?，Lf（t）為t時(shí)刻燃爆壓裂裂縫長度；W （x，t）為裂縫寬度；u （x，t）為火藥燃?xì)庠诹芽p壁面的滲流速度；p （x，t）為沿裂縫長度上的燃?xì)鈮毫Ψ植?；ρg為燃爆空間內(nèi)火藥燃?xì)獾拿芏?；cg為火藥燃?xì)獾谋葻崛?；dQ2（t）為某時(shí)間微元內(nèi)裂縫系統(tǒng)內(nèi)的流體增量；dQ3（t）為某時(shí)間微元內(nèi)由裂縫壁面滲漏入地層的流體增量。

圖3 裂縫延伸階段液柱運(yùn)動(dòng)和燃爆壓力的對應(yīng)關(guān)系曲線Fig.3 Fracturing period corresponding curves between deflagate pressure and fluid column movement

由圖3（圖中H1為液柱底面運(yùn)動(dòng)的高度）可知，火藥燃爆后液柱底面壓力迅速上升，沖擊應(yīng)力波以液體中縱波的速度向上傳播，應(yīng)力波傳到的地方液柱受壓縮短，因此隨著火藥燃爆的進(jìn)行，氣液界面上升位移呈現(xiàn)變加速上升趨勢；直到燃?xì)鈮毫呌诜€(wěn)定（AB段），此時(shí)系統(tǒng)泄壓速率與火藥燃爆的產(chǎn)能速率達(dá)到平衡，新參與壓縮的液柱段所受沖擊壓力近似相等，故在AB壓力穩(wěn)定階段，液柱底氣液界面呈現(xiàn)近似恒定速度地線性上升；當(dāng)火藥燃燒完全（B點(diǎn)）后，系統(tǒng)壓力迅速下降，單位時(shí)間內(nèi)新參與壓縮的液柱高度恒定，但所受壓力不斷下降，因此液柱底面仍在上升，但此時(shí)為變減速運(yùn)動(dòng)。

圖4 應(yīng)力波傳到液面前后的液柱運(yùn)動(dòng)和燃爆壓力的對應(yīng)關(guān)系曲線Fig.4 Stress wave propagating to the fluid surface period corresponding curves between deflagate pressure and fluid column movement

由圖4可知，燃爆應(yīng)力波在火藥爆燃后705.7ms時(shí)傳到液柱頂面，此時(shí)對應(yīng)的液柱底面壓力為9.95MPa，仍高于底面液壓。此后隨著應(yīng)力波傳出液面，參與壓縮液柱的平均沖擊力逐漸變小，因此此時(shí)液柱壓縮到最短，之后液柱自身高度逐漸伸長，但液柱各部分微元將繼續(xù)向上做變速運(yùn)動(dòng)，且此時(shí)的液柱底面微元的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于液柱自身伸長速度，所以此后氣液界面仍將向上做變速運(yùn)動(dòng)。

圖5 液柱振蕩過程中的對應(yīng)關(guān)系曲線Fig.5 Corresponding curves during oscillation process

由圖5可知，當(dāng)沖擊應(yīng)力波傳到液面后，伴隨著自身長度的伸縮，液柱整體在慣性的作用下繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)。此過程中由于重力、管壁摩擦力的作用，而且火藥燃?xì)獗旧硪灿捎隗w積增大而迅速降壓，液柱底氣液界面上升速度逐漸減小，在6.75s時(shí)氣液界面停止向上運(yùn)動(dòng)，氣液界面上升到最高18.90m；此后，液柱在重力作用下下降，火藥燃?xì)鈮毫ι仙瑴p緩液柱運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最底端后又開始反彈，出現(xiàn)振蕩，直至能量損耗完畢。

但需注意的是，圖5中所示的液柱振蕩曲線是在氣液存在完全接觸界面的假設(shè)條件下計(jì)算的，實(shí)際作業(yè)過程中隨著時(shí)間的推移，液柱底面將出現(xiàn)氣液混合作用，運(yùn)動(dòng)規(guī)律很復(fù)雜，需要進(jìn)一步深入研究。但從燃爆壓裂的火藥開始燃爆到裂縫止裂階段耗時(shí)僅為幾毫秒（該實(shí)例2.5ms），氣液混合作用極微，可忽略不計(jì)，故所建模型可作燃爆壓裂過程耦合的關(guān)鍵模型之一。

基于燃爆壓裂的瞬時(shí)性、復(fù)雜性，實(shí)時(shí)測試井底氣液界面的位移很困難，但由于液柱參數(shù)對火藥爆燃峰值壓力影響很大，因此可通過測試實(shí)際爆燃壓裂井的峰值壓力來驗(yàn)證模型的可靠性如表1所示，表中h為壓裂彈深度，H為液面高度，m為火藥質(zhì)量，pmax為爆燃峰值壓力。

表1 實(shí)際燃爆壓裂井的峰值壓力對比表Table 1 Peak pressures of the actual blasting fracturing wells

從表1中可以看出，在裝藥量相當(dāng)?shù)那闆r下壓擋液柱高度對峰值壓力的影響顯著；且在考慮液柱動(dòng)能分布、管壁摩擦影響后的計(jì)算精度（平均92.737%）遠(yuǎn)高于解析算法精度（平均84.58%）；2種方法計(jì)算的峰值壓力均小于實(shí)測值，這可能是由于實(shí)際情況下管柱在強(qiáng)沖擊下會(huì)發(fā)生膨脹變形，使液柱流動(dòng)為變截面流，從而加大了管壁對流動(dòng)的阻力，導(dǎo)致燃爆峰值壓力升高。

6 結(jié) 論

（1）綜合考慮燃爆應(yīng)力對壓擋液柱的宏觀推動(dòng)作用、沖擊壓縮作用以及液柱的動(dòng)能分布和管壁摩擦阻力的影響，以液柱任意微小截面單元為研究對象，利用質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒等條件，建立了燃爆壓裂過程中的壓擋液柱運(yùn)動(dòng)規(guī)律動(dòng)力學(xué)模型，可為燃爆壓裂系統(tǒng)耦合模型提供壓力維持條件。

（2）利用動(dòng)量守恒和能量守恒理論將火藥燃爆模型、裂縫動(dòng)態(tài)延伸模型和壓擋液柱運(yùn)動(dòng)模型中的燃?xì)鈮毫?、體積、質(zhì)量耦合起來，建立了耦合數(shù)值求解方法，可定量計(jì)算任意火藥和壓擋液柱參數(shù)組合下的火藥燃爆壓力變化和氣液界面位移變化的對應(yīng)關(guān)系。

（3）實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明：

①火藥燃爆全過程中，沖擊應(yīng)力波一般未傳到液柱頂面，液柱處于彈性壓縮階段，整體沒有位移，且由于時(shí)間極短此階段氣液界面上升高度有限，可起到很好的持壓作用；

②在沖擊波傳到液面后，液柱開始整體運(yùn)動(dòng)，火藥燃?xì)庋杆傩秹?，?dāng)液柱底面上升到最高時(shí)井筒燃爆處壓力降到最低；

③整個(gè)作用過程中氣液界面可上移到較高位置（實(shí)例計(jì)算中為18.9m），表明燃爆壓裂具有較好的水力振蕩增效作用。

（4）本文中給出的壓擋液柱運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型考慮因素更加全面，研究成果對提高燃爆壓裂優(yōu)化設(shè)計(jì)的精度具有一定促進(jìn)作用。

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A dynamic model of the pressurized liquid column movement in the high energy gas fracturing process＊

WU Fei-peng，PU Chun-sheng，WU Bo

（College of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Dongying257061，Shandong，China）

According to the kinematical mechanism complexity of the impacted pressurized liquid column in the high energy gas fracturing process，we assumes that the completely contacted gas liquid interface exits.Then by using a Lagrange analytical method for studying a random liquid across-section，a dynamic model of the pressurized liquid column movement law is set up，which comprises continuity equation，momentum conservative equation and energy conservative equation.Based on the pressure and volume conservation during the process of powder conflagration and pressurized liquid column movement，a coupling numerical method for describing the gas-liquid interface movement law is established.Example calculations show that when considering the macroscopical propel and impact compression on the pressurized liquid column caused by deflagration，dynamic energy distribution of the liquid distribution and pipe column friction resistance，the interface ascending height is limited（less than 0.1min the example conditions）.This illustrates that pressurized liquid column has a good function of backing pressure.But in fact，in the fracturing process，the interface can reach a higher position（18.9m），which shows that in the later process，hydraulic oscillation produces an obvious synergistic effect.

mechanics of explosion；dynamic model；high energy gas fracturing process；pressurized liquid column movement；dynamic energydistribution

8August 2009；Revised 29November 2009

WU Fei-peng，upcwfp＠163.com

（責(zé)任編輯 曾月蓉）

O389；TE357.2 國標(biāo)學(xué)科代碼：130·35

A

1001-1455（2010）06-0633-08

2009-08-08；

2009-11-29

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50774091）；國家西部開發(fā)科技行動(dòng)計(jì)劃重大科技攻關(guān)項(xiàng)目（2005BA901A13）

吳飛鵬（1983— ），男，博士。

Supported by the National Natural Science Foundation of China（50774091）；the Key Technology R＆D Program（2005BA901A13）