蒲訶夫， 鄭俊杰， 章榮軍

(華中科技大學 土木工程與力學學院， 湖北 武漢 430074)

樁土相互作用問題是巖土工程領(lǐng)域的一個十分重要的問題，樁土界面的荷載傳遞模型對于預(yù)測樁的承載變形性狀有著重要的影響。合理準確的荷載傳遞模型是分析樁的承載力、沉降及變形等方面問題的關(guān)鍵所在。20世紀50年代Seed和Reese[1]等人提出了基于荷載傳遞法的雙曲線模型來分析樁土界面荷載傳遞，取得了很好的計算結(jié)果；后來，Kezdi[2]提出了以指數(shù)函數(shù)作為荷載傳遞模型的方法，對剛性樁進行了分析； Vijayvergiya[3]提出了拋物線形式的荷載傳遞函數(shù)，考慮了樁周土體在受荷過程中的非線性；辛公鋒[4]等人對雙曲線模型進行修正和擴充，提出了既能考慮側(cè)阻軟化又能考慮側(cè)阻硬化的廣義雙曲線模型；陳龍珠[5]采用雙折線硬化模型，分析了樁周和樁端土特性參數(shù)對荷載-沉降曲線的影響。陳明中[6]用三折線模型作為傳遞函數(shù)，分析了土體強度隨深度增加的特性，推導出了單樁的荷載-沉降關(guān)系的近似解析解。張忠苗課題組[7]提出了可考慮樁土軟化的樁側(cè)傳遞函數(shù)的統(tǒng)一三折線模型。

上述這些荷載傳遞模型在樁土相互作用分析方面都具有較好的適用性和準確性，但目前常見的數(shù)值分析軟件為了分析的方便都沒有采用這些形式的荷載傳遞模型，而是采用了更加簡便的理想彈塑性模型，這樣的處理方法雖然使得軟件的使用者操作起來更加簡單，但卻犧牲了模擬的精度，降低了模擬結(jié)果的可信度。以有限差分軟件FLAC3D為例，F(xiàn)LAC3D采用的是理想彈塑性模型來模擬樁土界面的相互作用問題，這樣的處理有三個明顯的缺陷：第一，樁土界面耦合彈簧的剛度值沒有一個合理的確定依據(jù)，軟件使用者一般都是首先采用一個估計值，然后根據(jù)計算結(jié)果的準確度再不斷地調(diào)整，這樣的方法具有很大的主觀性和隨意性，計算出的結(jié)果往往不可靠；再者，荷載工作范圍不同就應(yīng)該選取不同的初始值，這樣才能在應(yīng)用理想彈塑性模型來表達樁土界面特性時取得較好的計算結(jié)果。對于已知荷載工作范圍的模擬而言，通過選取適當?shù)膋值雖然也能夠取得較好的計算結(jié)果，但對于不知道荷載工作范圍的情況而言，k值的確定就只能靠經(jīng)驗來猜測了。第二，耦合彈簧的剛度值k在給定之后就一直不變了，而事實上，樁土界面的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是非線性的，因此理想彈塑性模型不能真實地反映樁土界面的相互作用特性。第三，耦合彈簧的剛度值k的確定一般都忽略了深度效應(yīng)的影響。

為克服上述缺陷，本文基于有限差分軟件FLAC3D，利用FLAC3D軟件內(nèi)嵌的FISH語言進行樁土界面荷載傳遞模型的二次開發(fā)，采用雙曲線模型代替FLAC3D軟件內(nèi)嵌的理想彈塑性模型，并將Alonso[8]所提出的確定樁土界面的初始剪切剛度的方法應(yīng)用到FLAC3D中，將兩種模型下所計算出的結(jié)果與文獻[9]中的結(jié)果進行對比分析。

1 傳統(tǒng)荷載傳遞模型

自Seed和Reese等人提出軟黏土中樁身荷載傳遞的雙曲線模型以來，許多學者在荷載傳遞模型方面進行了研究，對雙曲線荷載傳遞函數(shù)做出了各種不同的簡化和改進或提出新的傳遞函數(shù)模型，應(yīng)用最廣的有以下幾種模型。

1.1 雙曲線模型

Wong和Teh等[10]假定樁土界面上的剪應(yīng)力τ與樁土相對位移Δ呈雙曲線關(guān)系，如圖1(a)所示，其表達式為：

(1)

式中,τ，Δ分別為樁土界面上的剪應(yīng)力和樁土相對位移；ksi和τult分別為樁土界面的初始剪切剛度和極限剪應(yīng)力。Poulos和Davis[11]根據(jù)Coulomb定律，指出τult可由下式確定：

τult=c+σm×tanφ

(2)

式中，c為樁土界面黏結(jié)強度，σm為有效約束應(yīng)力，φ為樁土之間的摩擦角。

1.2 修正雙曲線模型

羅斌[12]、辛公鋒[4]等人在現(xiàn)場試驗、室內(nèi)常規(guī)試驗與離心模型試驗的基礎(chǔ)上對上述雙曲線模型進行修正和擴充，分別提出了能夠考慮側(cè)阻軟化的修正雙曲線模型和既能考慮側(cè)阻軟化又能考慮側(cè)阻硬化的廣義雙曲線模型，其函數(shù)表達式分別為式(3)和式(4)：

(3)

(4)

式中，a,b,c均為雙曲線模型參數(shù)?？紤]側(cè)阻軟化的雙曲線模型適用于深厚軟土中的大直徑超長樁；而考慮側(cè)阻硬化的雙曲線模型適用于加工硬化型土中的樁土相互作用分析。

1.3 統(tǒng)一三折線模型

張忠苗課題組[7]在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上提出了可考慮樁周土軟化和硬化的樁側(cè)傳遞函數(shù)統(tǒng)一三折線模型，如圖1(b, c, d)所示。樁側(cè)土的荷載傳遞函數(shù)可統(tǒng)一表達為：

(5)

式中，τs為樁側(cè)摩阻力(Pa)；s為樁身相鄰的土結(jié)點位移(m)；λ1，λ2為樁側(cè)土彈性階段和塑性階段(硬化或軟化)的剪切剛度系數(shù)(Pa/m)；su1為彈性階段和塑性階段的界限位移(m)；su2為塑性階段和滑移階段的界限位移(m)；β為強度系數(shù)。

上述模型中，λ2>0,λ3≥0且β>1時表示側(cè)阻硬化(如圖1(b)所示)；λ2<0,λ3=0且0<β<1時表示側(cè)阻軟化(如圖1(c)所示)；當λ1>0,λ2=λ3=0且β=1時，su2=su1，此時表示的是理想彈塑性模型(如圖1(d)所示)。該三折線模型可統(tǒng)一表示樁側(cè)土的三種計算模型。

圖1 傳統(tǒng)荷載傳遞模型

2 FLAC3D中樁土界面模型

FLAC3D中樁土相互作用的實現(xiàn)過程與荷載傳遞法很相似，即在FLAC3D中，樁單元與土的相互作用是通過剪切和法向的耦合彈簧實現(xiàn)的。這些耦合彈簧是非線性結(jié)點，它使得樁單元結(jié)點與土體之間進行了力和運動的傳遞，法向耦合彈簧用來模擬樁土界面法向上的相互作用，如樁周土對樁的擠壓效果等，且能考慮樁土之間的分離狀況；切向耦合彈簧用來模擬樁土接觸面的切向上的相互作用，這些非線性彈簧的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系即表示樁側(cè)摩阻力τ(或樁端抗力σ)與剪切位移Δ之間的關(guān)系。

2.1 法向耦合彈簧的力學特性

樁和網(wǎng)格接觸面的法向特性就是自然的粘結(jié)特性和摩擦作用，其力學特性由法向耦合彈簧剛度kn、粘結(jié)強度cn、摩擦角φn、外圈周長P、裂縫標志及有效約束應(yīng)力σm共同決定(圖2)。

圖2 法向耦合彈簧力學特性

2.2 剪切耦合彈簧的力學特性

樁和網(wǎng)格接觸面的剪切特性與法向特性類似，也是自然的粘結(jié)特性和摩擦作用，其力學特性由剪切剛度ks、粘結(jié)強度cs、摩擦角φs、外圈周長P及有效約束應(yīng)力σm共同決定(圖3)。

圖3 剪切耦合彈簧力學特性

這一處理方法其實就是類似于荷載傳遞法中的理想彈塑性模型，只是荷載傳遞法中沒有考慮樁土的分離，而FLAC3D中考慮了樁土的分離。在該模型中，當樁土相對位移較小時，剪應(yīng)力與相對位移成線性關(guān)系，即剪切剛度ks保持不變，剪應(yīng)力隨相對位移增加而線性增加；當樁土相對位移增加到極限相對位移Δcr以后，剪應(yīng)力為恒定值，等于界面的剪切強度，此后不再隨樁土相對位移的增加而增加。

這樣的處理方式比較簡單，在數(shù)值模擬中需要輸入的參數(shù)較少，應(yīng)用起來比較方便，但缺點是忽略了樁土界面的非線性特性，從而導致模擬精度降低。Desai[13], Uesugi[14], Yin[15]等人所做的SSI(Soil Structure Interface)試驗及大量的工程測量數(shù)據(jù)[7]表明，雙曲線模型能夠更好地反映樁土界面剪切性狀的非線性特性，基于這一考慮，本文利用FLAC3D內(nèi)嵌的FISH匯編語言通過自編的程序用雙曲線模型代替FLAC3D內(nèi)嵌的理想彈塑性模型，對比分析兩種情況下樁土相互作用的不同結(jié)果。

3 改進樁土界面模型及數(shù)值實現(xiàn)

3.1 改進樁土界面模型

對于如何確定FLAC3D中樁土界面初始剛度值的問題，目前還沒有一個合理的取值依據(jù)和方法。Wong和Teh等人[10]建議采用Randolph和Wroth[16]提出的經(jīng)驗公式ksi=2πGiL/ln(rm/r0)，式中Gi為第i層土的土體剪切模量，L為樁長，r0為樁半徑，rm為樁的影響半徑，rm=2.5Lρ(1-υs)，ρ為樁中點處的土體剪切模量與樁端底處的土體剪切模量的比值，υs為土體泊松比。這為樁土界面剛度值的確定方法提供了一定的參考，但這其中存在一個明顯的理論缺陷，即該方法是基于剪切位移法提出的，剪切位移法中樁土位移是協(xié)調(diào)的，不考慮樁土之間的滑動，而FLAC3D中是考慮了樁土滑動的，因此直接用該方法并不妥當。

在荷載傳遞法中，樁土位移也是協(xié)調(diào)的，沒有考慮樁在土中的滑動；而FLAC3D中考慮了樁土之間的相對滑動。因此從理論上講，不能將荷載傳遞法中的雙曲線模型直接應(yīng)用到FLAC3D中。為了解決兩者之間的不兼容問題，可采用Alonso[8]提出的方法來確定FLAC3D中的樁土界面初始剛度，即按照極限剪應(yīng)力和極限相對位移的比值來確定，它能考慮樁土之間的滑移，且如此處理后就可將雙曲線模型直接應(yīng)用到FLAC3D中去了。

如圖4所示，取樁土界面的τ～Δ雙曲線的初始切線與τ=τult線的交點對應(yīng)的樁土相對位移為表觀極限相對位移Δau，即Δau=τult/ks。當取破壞比Rf=1.0時，Δau=τf/ks，為了將Δau與Δu建立聯(lián)系，引入一個參數(shù)χ=Δu/Δau，通過調(diào)節(jié)χ使雙曲線模型在樁土相對位移等于Δu時的剪應(yīng)力τ(Δu)盡量接近極限剪應(yīng)力τult。這樣一來，樁土界面的初始剪切剛度ks與極限剪應(yīng)力之間的關(guān)系就建立起來了，極限剪應(yīng)力越大，ks越大。陳仁朋等[17]建議，為了避免ks過大，一般取χ=4可滿足要求。

該方法還能夠考慮土的深度效應(yīng)對ks和kn的影響。一般而言，土體越深處約束應(yīng)力σm越大，樁土界面的極限剪應(yīng)力τult越大，故而耦合彈簧剛度值也越大。此外，該方法也能考慮到樁側(cè)土的土類和土性的影響。根據(jù)工程經(jīng)驗，對于黏性土，發(fā)揮極限側(cè)阻所需位移約為6～12 mm，對于砂類土約為8～15 mm[7]。

圖4 樁土界面剪應(yīng)力與相對位移的關(guān)系曲線

3.2 改進樁土界面模型的實現(xiàn)過程

在FLAC3D內(nèi)嵌的理想彈塑性模型中，樁土界面耦合彈簧的剛度是一個不變的定值，在計算之前輸入軟件即可。而在雙曲線模型或側(cè)阻軟化硬化模型等非線性模型中，耦合彈簧的剛度與樁土相對位移相關(guān)，當樁在荷載作用下逐漸產(chǎn)生位移時，樁土相對位移不斷變化，耦合彈簧的剛度也就跟著不斷地變化。且由于土體的深度效應(yīng)，耦合彈簧的剛度應(yīng)當是從上到下逐漸增大的。由于FLAC3D是基于增量法求解的軟件，因此應(yīng)當采用對這些非線性函數(shù)求導的方法來計算隨樁土相對位移不斷變化的耦合彈簧的剛度。

式(1)為剪應(yīng)力τ與樁土相對位移Δ之間的關(guān)系，在該雙曲線上任何一點的切線的斜率就是此狀態(tài)下耦合彈簧的剛度，對式(1)求導可得：

(6)

ks,j即表示在樁土相對位移為Δj時所對應(yīng)的耦合彈簧剛度；Δj為第j個耦合彈簧的變形(即樁單元第j個節(jié)點處樁土相對位移)；kini,j為第j個耦合彈簧的初始剛度；τult,j為第j個耦合彈簧的極限剪應(yīng)力，由式(2)確定。

在FLAC3D的FISH語言中，用sp_rconf函數(shù)可提取出每個樁節(jié)點處的有效約束應(yīng)力σm，將σm代入式(2)即可確定出τult,j；用sp_rdisp函數(shù)可提取即時的樁土相對位移Δj。將kini,j,Δj和τult,j一起代入式(6)即可確定出與樁土相對位移所對應(yīng)的耦合彈簧剛度ks,j，最后，通過sp_cssk函數(shù)把ks,j的值賦予第j個耦合剪切彈簧。每進行20個計算步就計算一次最新的ks,j并將其值賦給彈簧剛度，這樣一來即完成了用雙曲線模型代替理想彈塑性模型的過程。事實上，對于任何非線性或線性的樁土界面模型，只要能給出相應(yīng)的模型的函數(shù)，都可用該方法將其應(yīng)用到樁土共同作用的分析中。

值得注意的是，為避免耦合彈簧由于突然受力而發(fā)生劇烈震蕩，建議在樁土分析中采用在樁頂處施加均勻的速度的方法來施加荷載，如果要直接施加力的話，最好能夠分很多步逐漸地加載。還有就是通過sel set damp combined語句為模型設(shè)置結(jié)合式阻尼，以進一步減小耦合彈簧的震蕩。

4 實例驗證

為了驗證用FLAC3D進行樁土分析時雙曲線模型比理想彈塑性模型具有更好的模擬效果，本文引用了Guo和Randolph[9]所做的一個樁土分析的例子，并分別采用FLAC3D內(nèi)嵌的理想彈塑性形式的界面荷載傳遞函數(shù)和雙曲線形式的界面荷載傳遞函數(shù)對其進行模擬，然后將模擬結(jié)果與Guo和Randolph所做的結(jié)果進行對比。

在該例中，一根長30 m，直徑0.75 m的樁位于50 m厚的勻質(zhì)土中。土體楊氏模量為E=1056 MPa，泊松比υ=0.49；樁體的楊氏模量為E=30 GPa，樁頂受一豎向荷載。在本例的FLAC3D所建模型(見圖5)中，模型為100 m長，100 m寬，50 m高，共10000個單元體，11466個節(jié)點；頂面為自由面，在x=50 m和x=-50 m的面只約束x方向位移；在y=50 m和y=-50 m的面只約束y方向位移，在模型底面只約束z方向位移。

圖5 FLAC模型(半模型)

對于樁土界面初始剛度的確定，采用Alonso提出的方法，本例的計算中取Δu=12 mm。雙曲線模型和理想彈塑性模型除耦合彈簧剛度不同之外，其他參數(shù)均一樣。

分別采用理想彈塑性模型和雙曲線模型所計算出的樁頂處的荷載-沉降(P-S)曲線與Guo和Randolph[9]結(jié)果的對比如圖6所示。

圖6 樁頂荷載-沉降曲線

由圖6可看出，當采用相同的初始剛度時，在相同的荷載作用下，理想彈塑性模型計算的沉降值比Randolph解計算的沉降值偏小，而雙曲線模型計算的沉降值則與Randolph解的結(jié)果非常吻合。

由此可見，本文所編的FISH程序成功地實現(xiàn)了用雙曲線模型替換內(nèi)嵌的理想彈塑性模型，前者更好地反映了樁土界面的非線性特性，提高了計算的準確性。采用雙曲線形式的荷載傳遞函數(shù)比采用理想彈塑性形式的荷載傳遞函數(shù)能更好地模擬樁土相互作用。此外，將Alonso所提出的確定樁土界面的初始剪切剛度的方法應(yīng)用到FLAC3D中是可行的，該方法不僅為確定樁土界面的初始剪切剛度提供了合理的參考，而且能夠考慮土的深度效應(yīng)對樁土界面剛度的影響。

5 結(jié) 語

本文以有限差分軟件FLAC3D為平臺，提出可考慮樁土相對滑移和土體深度效應(yīng)的改進雙曲線模型，并利用FLAC3D內(nèi)嵌的FISH匯編語言編程，將改進雙曲線模型應(yīng)用到FLAC3D的樁土相互作用的分析中。最后，將本文方法的計算值、FLAC3D內(nèi)嵌理想彈塑性模型的計算值與實例進行對比。結(jié)果表明：本文提出的改進雙曲線模型能夠較好地應(yīng)用到數(shù)值模擬中，它能夠更為合理準確地模擬樁土共同作用。

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