崔萬安，王先甲

(1.廣西民族大學(xué) 管理學(xué)院，廣西 南寧 530006；2.武漢大學(xué) 博士后流動站，湖北 武漢 430072)

一、引言

資源約束項(xiàng)目計(jì)劃考慮了稀缺資源的合理分配問題，更接近項(xiàng)目管理的實(shí)際情況，在實(shí)踐中得到比較廣泛的應(yīng)用。它通常以工期(或費(fèi)用、凈現(xiàn)值)為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)來尋找最優(yōu)的項(xiàng)目計(jì)劃，然而，活動工期的分布函數(shù)難以準(zhǔn)確地估計(jì)，資源的最大可獲得量通常也會發(fā)生變動，項(xiàng)目執(zhí)行過程中的不確定因素也不能窮盡，因此，資源約束項(xiàng)目計(jì)劃在執(zhí)行中不可避免地發(fā)生偏離甚至被破壞。對此，許多學(xué)者提出制定穩(wěn)健性的項(xiàng)目計(jì)劃[1-3]，項(xiàng)目計(jì)劃穩(wěn)健性的直觀含義是：一個(gè)計(jì)劃能夠承受由于不可控因素導(dǎo)致活動工期的“較小”的增加(即對項(xiàng)目工期產(chǎn)生有限的影響)，則稱該計(jì)劃具有穩(wěn)健性[1，2]。

Goldratt[4]提出在活動之后插入緩沖區(qū)，以增加項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性。在插入緩沖區(qū)之前，必須確定活動之間的資源依賴關(guān)系，識別出關(guān)鍵鏈(Wiest[5]稱之為關(guān)鍵序列)，否則無法確定緩沖區(qū)的插入將對其他活動產(chǎn)生哪些影響，而Goldratt[4]并未說明識別關(guān)鍵鏈的優(yōu)化方法。在此，關(guān)鍵鏈?zhǔn)侵赣苫顒又g的技術(shù)優(yōu)先關(guān)系和資源依賴關(guān)系以及總時(shí)差為零的活動組成的路徑。劉士新等[6]、趙道致等[7]、王淑云等[8]、王仁超等[9]均提出了各活動之后緩沖區(qū)的設(shè)定方法。

Van De Vonder等[2]研究了項(xiàng)目工期與穩(wěn)定性之間均衡問題，但沒有說明如何建立資源鏈接，如何確定最晚項(xiàng)目計(jì)劃(right-justified Schedule)，不能保證活動時(shí)差的正確性。

AI-Fawzan 與Haouari[3]以項(xiàng)目中所有活動的自由時(shí)差之和作為穩(wěn)健性的度量指標(biāo)，建立了以項(xiàng)目工期和穩(wěn)健性為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，Abbasi 等人[10]研究了它的有效求解算法。

Kobylański與 Kuchta[11]研究表明，AI-Fawzan 與Haouari[3]方法未必能達(dá)到制定穩(wěn)健性項(xiàng)目計(jì)劃的目的。因此，Kobylański與 Kuchta[11]提出用項(xiàng)目中活動自由時(shí)差與工期比例的最小值(或活動自由時(shí)差的最小值)作為度量穩(wěn)健性的指標(biāo)。在一個(gè)既定工期T的約束下，求解穩(wěn)健性最大的項(xiàng)目計(jì)劃。該度量方法在一定程度上達(dá)到了制定穩(wěn)健性項(xiàng)目計(jì)劃的目的，缺陷在于：T值如何確定尚無有效方法；該優(yōu)化模型為二次優(yōu)化的NP難問題，需要有效的求解算法；若T值等于資源約束項(xiàng)目計(jì)劃最短工期時(shí)，那么，制定的穩(wěn)健性項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性指標(biāo)值都為零，等價(jià)于資源約束項(xiàng)目計(jì)劃。

盡管前人提出制定穩(wěn)健的項(xiàng)目計(jì)劃[1-3]，但根據(jù)前人[1-3，10-12]對項(xiàng)目計(jì)劃穩(wěn)健性的研究來看，尚未發(fā)現(xiàn)對項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性進(jìn)行系統(tǒng)的分類和研究，難以把握項(xiàng)目計(jì)劃穩(wěn)健性的關(guān)鍵問題，因此出現(xiàn)了上述問題。

本文對項(xiàng)目計(jì)劃穩(wěn)健性進(jìn)行了系統(tǒng)的分類，并對其中的一個(gè)分類——內(nèi)在穩(wěn)健性的影響因素進(jìn)行分析。

二、穩(wěn)健性分類

根據(jù)項(xiàng)目工期計(jì)劃工期中是否包含緩沖區(qū)，把項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性(Intrinsic robustness)劃分為內(nèi)在穩(wěn)健性和外在穩(wěn)健性(Extrinsic robustness)。

內(nèi)在穩(wěn)健性：最早項(xiàng)目計(jì)劃的項(xiàng)目工期對活動工期變化的不敏感性，對這種不敏感性用某種度量指標(biāo)測度，作為內(nèi)在穩(wěn)健性的值。即：對活動工期變化Δdi(i∈A={1,2,…,n})，將使項(xiàng)目工期發(fā)生變化量ΔTe=Tet-Te的一個(gè)平均測度，Tet為活動工期變化后的項(xiàng)目工期。

其中，最早項(xiàng)目計(jì)劃(Left justtified schedule[8]，Minimum duration schedule[4])指：考慮資源約束和技術(shù)優(yōu)先關(guān)系的條件下，每個(gè)活動的開始時(shí)間不能再提前的項(xiàng)目計(jì)劃。即滿足：

di為活動i的工期；A為活動的集合；rit為活動i在t時(shí)刻所需的資源量；Rt為t時(shí)刻可以活動的最大資源量。

外在穩(wěn)健性：在內(nèi)在穩(wěn)健性確定的情況下，在最早項(xiàng)目計(jì)劃中的部分或全部活動之后增加緩沖區(qū)，因此使新的項(xiàng)目計(jì)劃工期對活動工期變化的不敏感性的增加稱為外在穩(wěn)健性。在此，緩沖區(qū)(buffer time)是指在活動i的自由時(shí)差之上增加的一段時(shí)間Δbi，活動推遲至此區(qū)間完成，不影響其后開始的活動，因此將這段時(shí)間稱為緩沖區(qū)。

也有學(xué)者提出把項(xiàng)目計(jì)劃穩(wěn)健性分為質(zhì)量穩(wěn)健性和解的穩(wěn)健性。

質(zhì)量穩(wěn)健性[4，13]：項(xiàng)目工期對活動破壞的敏感性。

解的穩(wěn)健性[4，13]：活動計(jì)劃開始時(shí)間對計(jì)劃破壞的不敏感性。

質(zhì)量穩(wěn)健性和解的穩(wěn)健性都是在活動之后設(shè)置緩沖區(qū)，因此本質(zhì)上都是外在穩(wěn)健性，可以看作是對外在穩(wěn)健性的一種分類。Goldratt[4]，文獻(xiàn)[10-13]，Herroelen 與Leus[1]，Van De Vonder等[4]學(xué)者研究了外在穩(wěn)健性的相關(guān)問題，如緩沖區(qū)的設(shè)置、質(zhì)量穩(wěn)健性和解的穩(wěn)健的均衡問題等。

前人對外在穩(wěn)健性進(jìn)行了較多的研究，而對內(nèi)在穩(wěn)健性的研究甚少，因此，本文重點(diǎn)探討內(nèi)在穩(wěn)健性的影響因素。

三、內(nèi)在穩(wěn)健性的影響因素分析

根據(jù)內(nèi)在穩(wěn)健性的影響因素是否可以改變，可以分為項(xiàng)目固有的影響因素和非項(xiàng)目固有的影響因素。

(一)項(xiàng)目固有的影響因素分析

項(xiàng)目固有的影響因素包括最大可獲得資源量，技術(shù)優(yōu)先關(guān)系及其決定的緊前緊后活動數(shù)量、無資源約束下關(guān)鍵路徑及其數(shù)量。固有的因素一般無法改變，但我們可以研究其與內(nèi)在穩(wěn)健性之間的數(shù)量關(guān)系。

最大可獲得資源量：若為恒定資源約束，則在不同時(shí)段，可以獲得的最大資源量都是相同的，都是固定不變的。若為可變資源約束，則在不同時(shí)段，可以獲得的最大資源量可能不同，最大可獲得資源量一般難以改變。最大可獲得資源量決定了項(xiàng)目受資源約束的強(qiáng)弱程度，最大可獲得資源量越大，則項(xiàng)目受資源約束就越弱，反之，則越強(qiáng)。

技術(shù)優(yōu)先關(guān)系及其決定的緊前緊后活動數(shù)量：技術(shù)優(yōu)先關(guān)系在一定程度上決定了活動在資源約束項(xiàng)目計(jì)劃中的相對位置，一個(gè)活動受到的技術(shù)優(yōu)先關(guān)系約束越多，則在制定資源約束項(xiàng)目計(jì)劃時(shí)，把它調(diào)度到其他活動之后的難度就越大，因此，就可能使資源約束項(xiàng)目計(jì)劃的工期越長。一個(gè)活動的緊前活動越多，則其計(jì)劃開始時(shí)間被延遲的概率可能就越大，一個(gè)活動的緊后活動越多，則該活動工期的執(zhí)行情況對整個(gè)項(xiàng)目能否按計(jì)劃工期完成的影響就越大，從而影響到項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性。

無資源約束下關(guān)鍵路徑及其數(shù)量：它是由技術(shù)優(yōu)先關(guān)系決定，關(guān)鍵路徑越多，意味著相應(yīng)的資源約束項(xiàng)目計(jì)劃的工期越長，活動工期延長對項(xiàng)目工期的影響就越大，從而影響到項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性。

(二)非項(xiàng)目固有的因素影響分析

非項(xiàng)目固有的影響因素包括制定項(xiàng)目計(jì)劃時(shí)決定活動獲取資源先后的優(yōu)先規(guī)則、項(xiàng)目(計(jì)劃)工期、活動之間的資源鏈接及其數(shù)量、關(guān)鍵序列及其數(shù)量、活動工期、活動資源需求量、活動總時(shí)差、活動自由時(shí)差、緊后活動數(shù)量等。對于非項(xiàng)目固有的因素，我們可以探索其與內(nèi)在穩(wěn)健性之間的關(guān)系，通過改變這些因素，提高項(xiàng)目計(jì)劃的內(nèi)在穩(wěn)健性。這是本文研究的重點(diǎn)。

活動獲取資源先后的優(yōu)先規(guī)則：它決定了資源約束下活動的最早開始(完成)時(shí)間和項(xiàng)目計(jì)劃工期。

項(xiàng)目(計(jì)劃)工期：項(xiàng)目(計(jì)劃)工期越短，則項(xiàng)目計(jì)劃按期完成的概率就可能越低，因而，項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性就越低。

活動之間的資源鏈接及其數(shù)量：活動之間的資源鏈接一旦建立，其對項(xiàng)目計(jì)劃的影響將與技術(shù)優(yōu)先關(guān)系相同。

關(guān)鍵序列及其數(shù)量：關(guān)鍵序列決定了項(xiàng)目管理的重點(diǎn)。其數(shù)量越多，則管理難度越大，項(xiàng)目計(jì)劃延期的概率就越大，項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性就越低。

活動工期：之所以把活動工期作為非項(xiàng)目固有的影響因素，考慮到每個(gè)活動可能有多種完成模式，如增加資源使用量，活動工期可以縮短；反之，則會延長?；顒庸て谑且粋€(gè)最早項(xiàng)目計(jì)劃的項(xiàng)目工期的決定因素，如果把活動工期作為制定項(xiàng)目計(jì)劃的優(yōu)先規(guī)則之一，那么活動工期也是決定該活動的最早開始(完成)時(shí)間、最晚開始(完成時(shí)間)、前項(xiàng)活動、后項(xiàng)活動的重要因素，因此，活動工期與項(xiàng)目計(jì)劃的穩(wěn)健性應(yīng)有密切的聯(lián)系。其中，前項(xiàng)活動、后項(xiàng)活動定義為：對于網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖中任意活動i或j，若存在從活動i到活動j之間有向弧[i,i1],[i1,i2],…,[im-1,im],[im,j]，則稱活動i1,i2,…,im-1,im,j為活動j的前項(xiàng)活動，活動i1,i2,…,im-1,im,j為活動i的后項(xiàng)活動，其中i,i1,…,im為活動編號，i≠i1≠i2≠…≠im-1≠im。

活動資源需求量：活動需要的資源越多，意味著項(xiàng)目受到資源的約束程度越強(qiáng)，也就意味著資源約束項(xiàng)目計(jì)劃工期比無資源約束下的長的更多，因此，資源需求量與項(xiàng)目計(jì)劃穩(wěn)健性之間應(yīng)有密切的聯(lián)系。

活動總時(shí)差：一個(gè)活動總時(shí)差越大，意味著在不影響項(xiàng)目計(jì)劃工期下該活動可延長的工期越長，因此應(yīng)是項(xiàng)目計(jì)劃穩(wěn)健性的決定因素之一。

活動自由時(shí)差：一個(gè)活動的自由時(shí)差越大，其工期延長對其后項(xiàng)活動產(chǎn)生影響的概率就越小，使項(xiàng)目工期延長的概率就越小?；顒拥淖杂蓵r(shí)差總是小于或等于活動的總時(shí)差，活動工期延長即便超過活動的自由時(shí)差，也未必導(dǎo)致項(xiàng)目工期的延長，活動自由時(shí)差與項(xiàng)目計(jì)劃穩(wěn)健性的聯(lián)系沒有總時(shí)差與之的聯(lián)系緊密。

活動的緊后活動的數(shù)量：一個(gè)活動若其緊后活動越多，則其工期變化越可能影響到其后開始的關(guān)鍵活動，也就越可能影響到項(xiàng)目工期，因此緊后活動的數(shù)量與項(xiàng)目穩(wěn)健性之間應(yīng)存在密切的關(guān)系。

活動的后項(xiàng)活動的數(shù)量：一個(gè)活動的后項(xiàng)活動越多，則其工期變化影響的活動就越多，也就越可能影響到項(xiàng)目工期，因此后項(xiàng)活動的數(shù)量與項(xiàng)目穩(wěn)健性之間應(yīng)存在密切的關(guān)系。

本文對內(nèi)在穩(wěn)健性的影響因素僅限于定性分析，各因素與穩(wěn)健性之間的數(shù)量關(guān)系對于項(xiàng)目計(jì)劃的制定、控制具有重要的意義。下一步，我們將通過仿真實(shí)驗(yàn)的方法，定量研究各種影響因素與內(nèi)在穩(wěn)健性之間的關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

[1] Willy Herroelen and Roel Leus. Robust and reactive project scheduling：a review and classification of procedures[J]. International Journal of Production Research，2004，42(8)：1599-1620.

[2] Stijn Van de Vonder，Erik Demeulemeester，Willy Herroelen and Roel Leus. The trade-off between stability and makespan in resource-constrained project scheduling[J]. International Journal of Production Research，2006，44(2)：215-236.

[3] M. A. Al-Fawzan and Mohamed Haouari. A bi-objective model for robust resource-constrained project scheduling[J]. International Journal of Production Economics，2005，96(2)：175-187.

[4] Goldratt E M，Critical Chain[M].Great Barrington：North River Press，1997.

[5] Wiest J. D. Some properties of schedules for large projects with limited resources[J]. Operations Research，1964，12(3)：395-418.

[6] 劉士新，宋健海，唐加福. 基于關(guān)鍵鏈的資源受限項(xiàng)目調(diào)度新方法[J]. 自動化學(xué)報(bào)，2006，32 (1)：60-66.

[7] 趙道致，廖 華，劉一騮.關(guān)鍵鏈法：一種新型的項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃方法[J]. 天津理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，21(2)：8-12.

[8] 王淑云，朱祥松，李 潔. 基于資源約束的擴(kuò)張關(guān)鍵路徑法研究[J]. 管理工程學(xué)報(bào)，2006，20(6)：109-111.

[9] 王仁超，歐陽斌，王 琳，等. 工程項(xiàng)目計(jì)劃“關(guān)鍵性”問題拓展研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2004，26(7)：914-917，923.

[10] Babak Abbasi，Shahram Shadrokh and Jamal Arkat. Bi-objective resource-constrained project scheduling with robustness and makespan criteria[J]. Applied Mathematics and Computation，2006，180(1)：146-152.

[11] Przemyslaw Kobylański，Dorota Kuchta，A note on the paper by M. A. Al-Fawzan and M. Haouari about a bi-objective problem for robust resource-constrained project scheduling[J]. International Journal of Production Economics，2007，107(2)：496-501.

[12] Hédi Chtourou，Mohamed Haouari A two-stage-priority-rule-based algorithm for robust resource-constrained project scheduling[J]. Computers & Industrial Engineering，2008，55(1)：183-194.

[13] Stijn Van de Vonder,Erik Demeulemeester,Willy Herroelen,Roel leus.The use of buffers in Project management:The trade-aff between stability and makespan[J].International Journal of Production Economics，2005，(97)：227-240.