邱海燕，陳震霆

(空軍航空大學 數(shù)學教研室，吉林 長春 130022)

0 引言

紐結［1］(knot)是三維中的簡單閉曲線，即連通的(連成一體)、封閉的(沒有端點的)、不自交的(自己與自己不相交，即沒有粘連的)曲線。鏈環(huán)［2］可以在空間中自由地連續(xù)變形，但是不允許剪斷，不許粘合，而變成另一個鏈環(huán)，則這兩個鏈環(huán)是合痕的(isotopy)。

紐結理論中我們關心的問題是任意的兩個紐結或鏈環(huán)怎樣識別他們是否相同，怎樣判斷它們是否是非平凡的。又因為對于同一個紐結或鏈環(huán)的所有投影圖都是合痕的，因此紐結理論的基本問題就成為:任給兩個紐結或鏈環(huán)的投影圖，它們是否是合痕的，怎樣判斷它們是否等價于平凡紐結或鏈環(huán)的投影圖。我們可以利用合痕不變量來區(qū)分。文章主要介紹兩種合痕不變量——Alexander［3］多項式和HOMFLY［4］多項式的聯(lián)系。

1 Alexander多項式與HOMFLY多項式在分離鏈環(huán)上的應用

定理1:若L是有向分離鏈環(huán)，設可分離為兩個鏈環(huán)L1，L2，則

(1)Δ(L)=0，

(2)P(L)=P(L1∪L2)= － (l+l－1)m－1P(L1)P(L2)。

則 Δ(L+) －Δ(L－)+(t1/2－t－1/2)Δ(L0)=0。

又 Δ(L+)=Δ(L－)，故 Δ(L)=0。

(2)對L2的交叉指標C(L2)用數(shù)學歸納法。

①當C(L2)=0時，即L2為○，則P(L2)=1。

我們知:P(L1∪L2)= － (l+l－1)m－1P(L1)= － (l+l－1)m－1P(L1)P(L2)。

②假設C(L2)＜n時，命題成立。

由于HOMFLY多項式是合痕不變量，同一個鏈環(huán)對其任意投影圖計算得到的HOMFLY多項式都相同，故鏈環(huán)L2取其交叉點最少的投影圖沒有影響。

當C(L2)=n時，設L2的投影圖有n個交叉點，則選取某一個交叉點后構造L+，L－，L0(如圖1)，并且 L+即為 L1∪L2。

圖1 鏈環(huán)示意圖

2 Alexander多項式與HOMFLY多項式之間的聯(lián)系

Alexander多項式是最早被發(fā)現(xiàn)的多項式，它只有一個變量t，而HOMFLY多項式中包含兩個變量l和m，它們都是有向鏈環(huán)的多項式。下面的定理給出了兩者之間的聯(lián)系。

定理2 將鏈環(huán)L的HOMFLY多項式P(L)中的每個l用i取代，每個m用i(t1/2－t－1/2)取代，則得到該鏈環(huán)的Alexander多項式Δ(L)。

證明:由于HOMFLY多項式與Alexander多項式有類似的法則，只是系數(shù)不同，若對法則成立，則得證。

將 l=i，m=i(t1/2－t－1/2)代入得

故將鏈環(huán)L的HOMFLY多項式P(L)中的每個l用i取代，每個m用i(t1/2－t－1/2)取代，則得到該鏈環(huán)的Alexander多項Δ(L)。證畢。

HOMFLY多項式是二元多項式不變量，包含Alexander多項式為特殊情況，鑒別力比它更強，更具有普遍性。

3 結語

現(xiàn)在若要計算某個鏈環(huán)的HOMFLY多項式，已經(jīng)有人編寫了一個計算機程序，若利用本文的思想可以進一步簡化計算過程，提高運算速度。為了更好地研究紐結提供了有力的幫助。

［1］姜伯駒.繩圈的數(shù)學［M］.長沙:湖南教育出版社，1991.

［2］Rolfsen.Knots and links［M］.Berkeley:Pubilish or Perish Press，1976.

［3］Alexander.Topological invariants of knots and links［J］.Trans.Amer.Math.Soc.，1982，30:275 － 306.

［4］Kauffman.New invariants in the theory of knots［J］.Amer.Math.Monthly，1988，95(3):95 －142.

［5］韓友發(fā)，胡曉躍，常樂.紐結多項式的性質［J］.吉林師范大學學報:自然科學版，2008，29(2):1－4.