王 慶，王東強(qiáng)

(蘇州職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 蘇州 215104)

1 問題提出

衛(wèi)星和飛船在國民經(jīng)濟(jì)和國防建設(shè)中有著重要的作用，對它們的發(fā)射和運(yùn)行過程進(jìn)行測控是航天系統(tǒng)的一個重要組成部分，理想的狀況是對衛(wèi)星和飛船(特別是載人飛船)進(jìn)行全程跟蹤測控。

測控設(shè)備只能觀測到所在點(diǎn)切平面以上的空域，且在與地平面夾角3度的范圍內(nèi)測控效果不好，實(shí)際上每個測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域。在一個衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運(yùn)行過程中，往往有多個測控站聯(lián)合完成測控任務(wù)，如神舟七號飛船發(fā)射和運(yùn)行過程中測控站的分布。

請利用模型分析衛(wèi)星或飛船的測控情況，具體問題如下:

(1)在所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下，至少應(yīng)該建立多少個測控站才能對其進(jìn)行全程跟蹤測控?

(2)如果一個衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為H的球面S上運(yùn)行。考慮到地球自轉(zhuǎn)時該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，問至少應(yīng)該建立多少個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測控的目的?

(3)收集我國一個衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時測控站點(diǎn)的分布信息，分析這些測控站點(diǎn)對該衛(wèi)星所能測控的范圍。

2 問題分析和模型假設(shè)

問題一，假設(shè)衛(wèi)星測控站分布在與衛(wèi)星軌道共面的地球表面，且衛(wèi)星的運(yùn)行軌道為圓。利用幾何關(guān)系給出全部覆蓋需要的測控站點(diǎn)數(shù)與衛(wèi)星高度的關(guān)系。當(dāng)衛(wèi)星的運(yùn)行軌道為橢圓，衛(wèi)星運(yùn)行軌道的一個焦點(diǎn)在地球中心，利用幾何關(guān)系給出每個測控站的覆蓋范圍。問題二，在地球自轉(zhuǎn)的影響下衛(wèi)星運(yùn)行過程中星下線的軌跡是地球表面的一些曲線，計(jì)算測控站的數(shù)量比較困難。一種粗略的估算方法是設(shè)置許多測控站，使得其能覆蓋衛(wèi)星飛過的所有空域。計(jì)算這個涵蓋赤道的球面的立體角，再用一個觀測站所能覆蓋的立體角去除得到要覆蓋這個區(qū)域至少需要的觀測站。問題三，收集衛(wèi)星或飛船的發(fā)射或運(yùn)行數(shù)據(jù):軌道傾角、高度等;收集該衛(wèi)星發(fā)射和運(yùn)行過程中觀測站的數(shù)據(jù):數(shù)量、位置等;給出衛(wèi)星運(yùn)行軌道、衛(wèi)星運(yùn)行過程中的軌跡方程、每個站的測控范圍、衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行到某一圈時可測控的范圍，最好能給出一段最長的觀測時間。

3 模型的建立和求解

3.1 問題一

在此問題中(見圖1)，我們假設(shè)衛(wèi)星測控站分布在與衛(wèi)星軌道共面的地球表面。

圖1 衛(wèi)星的運(yùn)行軌道為圓

首先考慮簡單情形，衛(wèi)星的運(yùn)行軌道為圓。

設(shè)衛(wèi)星或飛船飛行對地高度為H，地球半徑為R，衛(wèi)星的飛行軌道是以地心為圓心R+H為半徑的圓。在A處設(shè)有一測控站，測控范圍邊線與地平面的夾角為θ，為確定測控站數(shù)應(yīng)先計(jì)算出觀測區(qū)域在地球表面上投影所對應(yīng)的圓心角2α。根據(jù)圖1，在ΔABO中，由從而 2α=故所需的測控站個數(shù)n(θ，H)為:

由于在實(shí)際中衛(wèi)星或飛船繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道是橢圓形的。(見圖2)

我們?nèi)E圓軌道上距地心最近的距離為H0，以地心O為圓心，R+H0為半徑作圓(圖中虛線圓)。由于虛線圓包含在橢圓區(qū)域內(nèi)，若能監(jiān)控到圓周及其以外空域，則一定能監(jiān)控到橢圓及以外空域。因此我們只要在地球上均勻建站監(jiān)控整個虛線圓周。根據(jù)上述方法所需的測控站個數(shù)為n(θ，H0)。

圖2 衛(wèi)星或飛船繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)軌道是橢圓形

3.2 問題二

由于衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，而且地球自轉(zhuǎn)時該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異。因此，在地球自轉(zhuǎn)的影響下衛(wèi)星或飛船運(yùn)行過程中星下線的軌跡是地球表面的一些曲線。(見圖3)

圖3 星下線的軌跡是地球表面的一些曲線

由圖3觀察和分析可以得出:星下點(diǎn)軌跡均勻地分布在赤道的兩邊，即南緯與北緯之間。因此，只需測控南緯與北緯之間的帶狀區(qū)域內(nèi)，就可以實(shí)現(xiàn)對該衛(wèi)星的全程測控。

某一觀測站的觀測區(qū)域在以地心為球心，半徑為R+H的球面上，其在地球表面的投影為一球冠(見圖4)，面積為S=2πR(R－Rcosα)。衛(wèi)星或飛船運(yùn)行軌道在地球表面投影的帶狀區(qū)域面積為 S^=4πR2sinλ。若要測控帶形區(qū)域內(nèi)所有的范圍，需測控站的最少個數(shù)為帶形區(qū)域與球冠面積之比，即

其中，2α表示觀測站在距離為H的高空觀測區(qū)域所對應(yīng)的圓心角，λ為衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面的夾角。神七軌道平面與地球赤道平面的夾角是42.2度，距地面343km，覆蓋這個區(qū)域至少需要55個觀測站。

3.3 問題三

根據(jù)世界地圖及神舟七號測控通信系統(tǒng)分布圖，我們對其中的測控站進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)所成圖形近似正弦函數(shù)的曲線。對此，我們試作以下分析，飛船的運(yùn)行軌道在地球表面上的投影應(yīng)大致服從正弦曲線分布。測控站的作用是為了能夠更清晰更準(zhǔn)確地了解飛船運(yùn)行的具體情況，故測控站應(yīng)分布在飛船的運(yùn)行軌道在地球表面上的投影曲線上。通過查資料獲得神州七號飛船與赤道的夾角為42.2°，高度為343km，周期為90min，小于地球同步軌道運(yùn)行的高度。由于測控站對飛船的測控范圍彼此會有重復(fù)，所以很難計(jì)算出測控站點(diǎn)對飛船所能測控的范圍，由于每一個測控站點(diǎn)在地球上的經(jīng)、緯度已知，所以我們將由地球經(jīng)緯網(wǎng)展開成的平面圖近似看成是網(wǎng)格圖，從而將空間測控范圍投影在地球經(jīng)緯網(wǎng)格圖上(見圖4)。我們可以通過計(jì)算各測控站點(diǎn)測控范圍的投影圓能覆蓋飛船矩形飛行區(qū)域(圖4南北緯42.2°之間)的最小覆蓋數(shù)，求得測控站點(diǎn)對神舟七號飛船所能測控的范圍。

我們把飛船矩形飛行區(qū)域長k1等分，寬k2等分(不足部分往外延伸)，則整個矩形區(qū)域被劃分成k1×k2個小正方形區(qū)域。經(jīng)計(jì)算

圖4 空間測控范圍投影在地球經(jīng)緯網(wǎng)格圖

4 結(jié)語

對于問題一，我們通過計(jì)算觀測區(qū)域的張角，得到了衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道為圓形的情況下，對其進(jìn)行全程跟蹤測控的測控站數(shù)的計(jì)算方法。進(jìn)一步，把圓形軌道推廣到橢圓形軌道。問題二，論證了在地球自轉(zhuǎn)情況下，衛(wèi)星在地球表面投影為帶狀區(qū)域及觀測區(qū)域在地球表面的投影為球冠這一事實(shí)，并給出了最少測控站點(diǎn)數(shù)的計(jì)算方法。在問題3中，通過計(jì)算各測控站點(diǎn)測控范圍的投影圓能覆蓋飛船矩形飛行區(qū)域的最小覆蓋數(shù)，求得測控站點(diǎn)對神舟七號飛船所能測控的范圍。

［1］中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽［EB/OL］.www.mcm.edu.cn，2009.

［2］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003.

［3］柳仲貴.衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)的動態(tài)范圍［J］.飛行器測控學(xué)報(bào)，2003，22(1):3.

［4］韓中庚.數(shù)學(xué)建模競賽——獲獎?wù)撐木x與點(diǎn)評［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.