江蘇省邳州市鐵富高級中學(xué)（221300） 孟凡光

摭談數(shù)學(xué)思想與方法在解答地理選擇題時(shí)的應(yīng)用

江蘇省邳州市鐵富高級中學(xué)（221300） 孟凡光

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門實(shí)用性很強(qiáng)的工具性學(xué)科，它的一些重要的數(shù)學(xué)思想（如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程思想與分類討論思想等）及具體的解題方法，既可有效地解答各類數(shù)學(xué)問題，也可以用于解決其它學(xué)科的疑難問題。結(jié)合具體實(shí)例，本文著重探討數(shù)學(xué)思想與方法在地理選擇題解答過程中的應(yīng)用，籍此提高地理習(xí)題課的教學(xué)效率，拓寬學(xué)生的思維，同時(shí)也可加深學(xué)生對某些數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的理解。

一、賦值法：

是指給定的關(guān)于某些變量的一般關(guān)系式，賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式后，通過運(yùn)算推理，最后得出結(jié)論的一種解題方法。

例題（2010高考江蘇卷）圖2為6月22日與12月22日地球表面四地正午太陽高度。讀圖回答3～4題。

3．四地按地球自轉(zhuǎn)線速度由大到小排列，依次是

A．甲、乙、丙、丁 B．乙、丙、丁、甲

C．丙、丁、甲、乙 D．丁、甲、乙、丙

4．四地自北向南排列，依次是

A．甲、乙、丙、丁 B．甲、丙、丁、乙

C．丁、乙、丙、甲 D．甲、丙、乙、丁

解析本題組解答的關(guān)鍵在于判斷出甲、乙、丙、丁四地的緯度。雖然通過定性分析，我們可以解出正確答案，但容易產(chǎn)生誤判。除丙地6月22日的正午太陽高度可明確判斷為90°外，由圖我們只能判斷出其它三地冬、夏至兩天與甲地12月22日的正午太陽高度取值區(qū)間。如果通過合理的賦值，可以求出甲、乙、丁三地的大致緯度。根據(jù)甲、乙、丁三地正午太陽高度取值區(qū)間，我們可對6月22日這天三地正午太陽高度進(jìn)行賦值分別為：55．5°、50．5°、20．5°；同時(shí)由12月22日這一天的正午太陽高度大小，我們大致可判斷出甲、丙兩地同在北半球，而乙、丁兩地則同在南半球。所以經(jīng)過簡單計(jì)算,我們可求出甲、乙、丙、丁四地的緯度分別為：48°N、16°S、23．5°N、46°S。

點(diǎn)評賦值法的優(yōu)勢：一是變定性分析為定量計(jì)算，提高了了問題解答的準(zhǔn)確性；二是減少了定性分析時(shí)可能產(chǎn)生的判斷失誤。但需注意的是所賦的數(shù)值必須先要滿足題干給出的條件。

二、代入法

亦稱代入消元法，是將方程組中的一個(gè)方程的未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入到另一個(gè)方程中去，這就消去了一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)解。除了求解各種函數(shù)方程外，這種方法在解答選擇題時(shí)也有獨(dú)特的作用，特別是在題干給出的條件無法直接求出所需解答的問題時(shí)，可將選擇題各備選項(xiàng)中的答案作為解答問題的一個(gè)條件，而將題干中的某一條件作為問題的答案加以驗(yàn)證。

例題（2009屆高三徐州六縣聯(lián)考）圖2所示區(qū)域位于南半球，弧線M為緯線， N為晨昏線，陰影為黑夜；甲乙兩地所在經(jīng)線的經(jīng)度為100°E；甲地此日正午太陽高度為30°，讀圖2回答5～7題。

5．此時(shí)太陽直射點(diǎn)的地理坐標(biāo)是

A．100oE,15oS B．80°W,15oS

C．100oE,23o26′S D．80oW,23o26′S

6．若圖中乙點(diǎn)此時(shí)的太陽高度是10o，則乙點(diǎn)的地理緯度和正午太陽高度分別為

A．76o34′S, 36o52′ B．85oS, 10o

C．76o34′S, 20o D．85oS, 20o

7．一架飛機(jī)自①地起飛，沿圖中直線行駛至②地，其飛行方向是

A．自西向東 B．自東向西

C．先東南后東北 D．先東北后東南

解析本題組的5、6兩小題為條件相關(guān)題，只有正確解答出第5小題，才能找出解答第6小題的條件。第5小題，可根據(jù)條件先求太陽直射點(diǎn)的經(jīng)度。由圖可知，甲、乙兩點(diǎn)所在的經(jīng)線平分認(rèn)夜半球，其地方時(shí)為0：00，故此時(shí)太陽直射點(diǎn)不在該經(jīng)線上，而只能在80°W經(jīng)線上。在求太陽直射點(diǎn)緯度時(shí)，我們將面臨這樣一個(gè)困境：因?yàn)楸绢}只能根據(jù)正午太陽高度的計(jì)算來求太陽直射點(diǎn)的緯度，而要求太陽直射點(diǎn)的緯度，就必須先已知一個(gè)地點(diǎn)的緯度和該地的正午太陽高度。如果學(xué)生對于與晨昏線相切緯線的緯度和太陽直射點(diǎn)的緯度這二者的關(guān)系不甚了解的話，僅根據(jù)甲地的正午太陽高度無法求出此時(shí)太陽直射點(diǎn)的緯度。

由于該題的四個(gè)備選項(xiàng)中關(guān)于太陽直射點(diǎn)的緯度只有兩種情況，所以這時(shí)采用代入法解題就顯得格外的簡便。先選擇23o26′S作為正確答案代入到題目條件中，我們知道當(dāng)太陽直射南回歸線時(shí)，晨昏線與南極圈相切，南極圈內(nèi)出現(xiàn)極晝現(xiàn)象。由圖2看出，甲地位于與晨昏線相切的緯線上，且該緯線以南地區(qū)出現(xiàn)極晝現(xiàn)象，故可判斷甲地所在的緯線為南極圈。經(jīng)計(jì)算可知，此時(shí)南極圈上的正午太陽高度為46o52′，而這一結(jié)論與題設(shè)條件甲地正午太陽高度為30o相矛盾。因此這一答案錯(cuò)誤，需排除。所以只能選擇15oS，經(jīng)驗(yàn)證，該選擇為正確答案。

點(diǎn)評在解答條件不足的情況下，代入法為我們提供了一種較好解題思路。經(jīng)常運(yùn)用這種方法進(jìn)行解題，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力。

三、極值法

就是通過對研究對象或變化過程的分析，提出一種或多種極端情況的假設(shè)，并針對各極端情況進(jìn)行計(jì)算分析，從而確定極值區(qū)間，最終依據(jù)該區(qū)間做出判斷的方法。

例題 （2009年高考江蘇卷）圖2所示為以38°N、0°為極點(diǎn)的陸地相對集中的“陸半球”(另一半球?yàn)椤八肭颉?。讀圖回答3～4題。

3．“水半球”的極點(diǎn)位于

A．北半球、東半球

B．北半球、西半球

C．南半球、東半球

D．南半球、西半球

4．當(dāng)夜半球與“陸半球”重疊最多時(shí)

A．非洲全部位于晝半球

B．北京市正值下班高峰

C．南極昆侖站處于極晝期

D．江蘇各地太陽高度達(dá)一年中最大值

解析解答本題組的第四小題，對于大部分學(xué)生來說都比較困難。由題干及四個(gè)備選項(xiàng)的內(nèi)容可以看出，本題是一個(gè)關(guān)于時(shí)間判讀的問題，其中A、B兩個(gè)選項(xiàng)需判斷地方時(shí)，C、D兩個(gè)選項(xiàng)需判斷具體季節(jié)。只有根據(jù)題設(shè)條件判斷出“當(dāng)夜半球與陸半球重疊最多時(shí)”某地是什么季節(jié)，地方時(shí)是什么時(shí)候，才能作出正確的解答。而要判斷這些時(shí)間，就必須先找出這時(shí)太陽直射點(diǎn)在什么位置。大部分學(xué)生無法直接根據(jù)所給的題設(shè)條件判斷出什么時(shí)候陸半球與夜半球重合最多，或者陸半球與夜半球重合最多時(shí)太陽直射點(diǎn)的位置在哪。由于陸半球與夜半球重合的范圍是在一個(gè)特定的區(qū)間不斷變化的，所以我們可以利用極值法來解答該題。假設(shè)當(dāng)陸半球與夜半球完全重合時(shí)，此時(shí)水半球與晝半球完全重合，即水半球的極點(diǎn)與晝半球的中心點(diǎn)——太陽直射點(diǎn)完全重合。因?yàn)殛懓肭蚺c水半球的極點(diǎn)為對趾點(diǎn)，所以此時(shí)太陽直射點(diǎn)的坐標(biāo)為180°，38°S。但實(shí)際上，太陽直射點(diǎn)只能在南、北回歸線之間往返移動，所以水半球與晝半球重疊最多時(shí)（亦即陸半球與夜半球重疊最多時(shí)），太陽直射點(diǎn)坐標(biāo)只能是180°，23°26′S。據(jù)此我們可以判斷出：此時(shí)節(jié)氣為冬至日，180°經(jīng)線的地方時(shí)為12：00。

點(diǎn)評 本題如果讓學(xué)生直接判斷何時(shí)陸半球與夜半球重疊最多，對于絕大多數(shù)學(xué)生來說恐怕比較困難，如果順著從陸半球與夜半球完全重疊到二者重疊最多這個(gè)思路進(jìn)行分析，問題就會迎刃而解。

四、數(shù)形結(jié)合思想與精確圖解法

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。而精確圖解則是用精確作圖來解答代數(shù)問題的一種方法。

例題（2008年南京市高三質(zhì)量檢測）下表為“某城市各類土地利用付租能力統(tǒng)計(jì)表”，據(jù)此回答19～20題。

19．該城市商業(yè)區(qū)外緣距離市中心的距離約為

A． 0．8千米 B． 1．33千米

C． 2．8千米 D．3千米

20．影響土地租金高低的主要因素是

①距離市中心的遠(yuǎn)近；②土地利用方式；③交通通達(dá)度；④企業(yè)的支付能力

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

解析本題至少有三種不同解答方法，其中精確圖解法是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。解答本題可用直尺作圖如上表右圖，找出商業(yè)付租能力與住宅付租能力兩條直線的交點(diǎn)，過該點(diǎn)作橫坐標(biāo)的垂線，則垂足到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離即為商業(yè)區(qū)外緣距離市中心的距離。而這個(gè)距離用直尺即可測量得出。

點(diǎn)評精確圖解法與普通圖解法不同的地方是：它作圖務(wù)求精確，一般要求用尺規(guī)進(jìn)行作圖；而普通圖解法，對圖的精確度要求較低，只需簡單示意，此類圖通常徒手即可完成。運(yùn)用這種方法通?？杀苊夥彪s的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程，節(jié)省解題時(shí)間。當(dāng)然，如果作圖精確度要求很高且十分復(fù)雜、費(fèi)時(shí)，精確作圖法就不再是最合適的解題方法了，此時(shí)應(yīng)另辟蹊徑，尋求更高效、更合理解決方法。

五、分類討論法

就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對研究對象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。

例題 （南通市2009屆高三調(diào)研測試）圖1為“巖石圈的物質(zhì)循環(huán)示意圖”，圖2為“五種外力作用相互聯(lián)系示意圖”，圖3為“四種陸地地貌圖”。讀圖完成1～2題。

1．在①②③④的成因中，與五種外力作用有直接關(guān)系的是

A．① B．② C．③ D．④

2．甲、乙、丙、丁四種地貌中，由①類巖石經(jīng)a、b作用形成的是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

解析本題主要考查地殼內(nèi)部的物質(zhì)循環(huán)，由圖可以判斷①②③④分別為三大巖石與巖漿。要正確解答出第1小題，就必須準(zhǔn)確判斷出四個(gè)數(shù)字代碼中誰表示沉積巖。但題中沒有任何條件可以讓我們直接判斷出哪一個(gè)是沉積巖。問題解答的突破口為：物質(zhì)之間的單、雙向轉(zhuǎn)化關(guān)系，即巖漿與巖漿巖之間的相互轉(zhuǎn)化、沉積巖與變質(zhì)巖之間的相互轉(zhuǎn)化。由于無法確定②、③具體表示的是哪兩類物質(zhì)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，所以我們只有通過分類討論的方法來分析、解答該題。

假設(shè)②、③反映的是巖漿與巖漿巖之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：

A、假設(shè)②是巖漿，則③是巖漿巖。由于圖1表示的是巖石圈的物質(zhì)循環(huán)，所以①②③④分別為三大巖石與巖漿，亦即不可能出現(xiàn)任意兩個(gè)數(shù)字代碼表示同一物質(zhì)的情況；且依據(jù)三大類巖石與巖漿之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系可知：只有巖漿能夠生成巖漿巖。但從圖中可以看出，除②外，①也可以生成③。故此假設(shè)錯(cuò)誤。

B、假設(shè)②是巖漿巖，則③是巖漿。因?yàn)棰倥c③均可生成②，所以本假設(shè)亦不成立。

由上述可知，②、③只能反映沉積巖與變質(zhì)巖之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。因?yàn)閹r漿只能生成巖漿巖，而巖漿巖可以轉(zhuǎn)化為沉積巖或變質(zhì)巖，所以①為巖漿巖，④為巖漿。依據(jù)巖漿的形成條件，沉積巖要形成巖漿，首先要經(jīng)過高溫融化；而各大類巖石在高溫高壓條件下通常會發(fā)生變質(zhì)作用，因此沉積巖通常是先形成變質(zhì)巖，爾后才能形成巖漿。至此可以判斷②為沉積巖、③為變質(zhì)巖。

點(diǎn)評當(dāng)問題中的條件、結(jié)論不明確或題意中含參數(shù)或圖形不確定時(shí)，就應(yīng)分類討論。一方面可將復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)簡單的問題，另一方面恰當(dāng)?shù)姆诸惪杀苊膺z漏，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)。

其實(shí)數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想不僅可以解答一些地理選擇題，它還可以解決一切包含有關(guān)數(shù)據(jù)處理的地理問題。當(dāng)前地理科學(xué)的發(fā)展一大趨勢就是計(jì)量化。因此，在高中地理教學(xué)過程中滲透一些數(shù)學(xué)方法與思想，不僅能夠提高學(xué)生解題能力，而且引導(dǎo)學(xué)生有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)手段去分析、解決一些地理實(shí)際問題，為地理科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展培養(yǎng)出大量的優(yōu)秀后備人才。