張林泉 佟松林

(廣東女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 511450)

分形理論視角下的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐探索

張林泉 佟松林

(廣東女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 511450)

在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中，分析涉及分形背景的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用實(shí)例，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和直觀教學(xué)，重視數(shù)學(xué)建模,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，對(duì)轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)方式進(jìn)行有益的探討。

分形理論；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)；教學(xué)方法

在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)要與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用實(shí)例密切結(jié)合，理論的學(xué)習(xí)盡可能以其專業(yè)相關(guān)實(shí)際背景作鋪墊，同時(shí)從問題情景出發(fā)，注重多學(xué)科交叉融合，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)和直觀教學(xué)，重視數(shù)學(xué)建模以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高其學(xué)習(xí)的自主性，提高在經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)的專業(yè)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，符合培養(yǎng)高素質(zhì)應(yīng)用型人才的需要。

一 分形內(nèi)涵

分形理論是一門橫斷學(xué)科，從數(shù)學(xué)、振動(dòng)力學(xué)到流體力學(xué)、天文學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，從經(jīng)濟(jì)學(xué)到語言學(xué)、社會(huì)學(xué)，從分子生物學(xué)到生理學(xué)、生物形態(tài)學(xué)，從材料科學(xué)到地球科學(xué)、地理科學(xué)，等領(lǐng)域已廣泛應(yīng)用。分形理論對(duì)方法論和自然觀產(chǎn)生重要影響，用分形的觀點(diǎn)看世界，這個(gè)世界實(shí)際上是以分形的方式存在和演化著的世界。

（一）分形定義、分類與分形維數(shù)

1.分形定義。通常將具有某種方式的自相似性的圖像或集合稱為分形。所謂自相似性，就是指局部與整體相似。這類某種形式的自相似性，不只限于嚴(yán)格的幾何自相似性，也可能是通過大量的統(tǒng)計(jì)而呈現(xiàn)出來的不很嚴(yán)格的自相似性。由于局部中又有其局部，而它們都是自相似的，這樣整體與局部都具有無窮盡的自相似的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，且在每一小局部中所包含的細(xì)節(jié)并不比整體所包含的少，所以分形是有無窮自相似嵌套性的圖形或集合。

2.分形分類。分形一般分成兩大類，確定性分形和隨機(jī)性分形。如果算法的多次重復(fù)仍然產(chǎn)生同一個(gè)分形圖，這種分形稱之為確定性分形。確定性分形具有可重復(fù)性，即使在生成過程中可能引入了一些隨機(jī)性，但最終的圖形還是確定的。隨機(jī)分形指的是盡管產(chǎn)生分形的規(guī)則是確定的，但受隨機(jī)因素的影響，雖然可以使每次生成過程產(chǎn)生的分形具有一樣的復(fù)雜度，但是形態(tài)卻會(huì)有所不同。隨機(jī)分形雖然也有一套規(guī)則，但是在生成過程中對(duì)隨機(jī)性的引入，將使得最終的圖形是不可預(yù)知的。即不同時(shí)間的兩次操作產(chǎn)生的圖形，可以具有相同的分維數(shù)，但形狀可能不同，隨機(jī)分形不具有可重復(fù)性。

3.分形維數(shù)。曼德爾布羅特引進(jìn)了分?jǐn)?shù)維，給出了一個(gè)分形集充滿空間的復(fù)雜程度的描述。每個(gè)分形集都對(duì)應(yīng)一個(gè)以某種方式定義的分形維數(shù)，這個(gè)維數(shù)值一般是分?jǐn)?shù)的，但也有整數(shù)維的分形集。分形維數(shù)的定義有多種方法，常用的分形維數(shù)概念有三種:豪斯道夫維數(shù)、自相似維數(shù)以及盒維數(shù)[1]。

分形維數(shù)是分形理論中核心的概念與內(nèi)容，它是由曼德爾布羅特為表征曲線的復(fù)雜性和處處不可微性而提出的，是刻畫分形體復(fù)雜結(jié)構(gòu)的主要工具，引入分形維數(shù)正是分形理論的新穎之處。應(yīng)用分形理論研究自然現(xiàn)象最重要的問題是如何解釋分形維數(shù)的意義，分形維數(shù)的意義應(yīng)包括分形維數(shù)本身的幾何意義和研究對(duì)象參量及其尺度變化的意義兩方面，兩者結(jié)合才是特定分形維數(shù)的含義[2]。

（二）分形的特征

肯尼思·法爾科內(nèi)(1990)認(rèn)為分形集F具有以下特征[3]:(1)F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。(2)F具有不規(guī)則性，使得它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。(3)F一般具有某種自相似性，可能是近似的或統(tǒng)計(jì)意義下的。(4)通常F的分形維數(shù)(以某種方式定義)大于它的拓?fù)渚S數(shù)。(5)在大多數(shù)令人感興趣的情形下，F(xiàn)可以通過遞歸、迭代等簡(jiǎn)單的方式產(chǎn)生。(6)其大小不能用通常的測(cè)度(例如面積、長(zhǎng)度、體積等)來度量。

（三）分形的基本性質(zhì)

分形具有兩個(gè)基本性質(zhì):自相似性和標(biāo)度不變性。自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度來看都是相似的，或者某種系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體相似，另外在整體與整體之間或部分與部分之間，也會(huì)存在自相似性；所謂標(biāo)度不變性，是指在分形上任選一局域，對(duì)它進(jìn)行放大，得到的圖形會(huì)顯示出原圖形的形態(tài)特征[4，5]。

二 分形知識(shí)在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐

我們認(rèn)為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力放在首位，在課堂教學(xué)中借鑒分形理論理念，探討新的教學(xué)方法，及時(shí)將新觀點(diǎn)融入課堂，結(jié)合典型案例將知識(shí)傳授與能力培養(yǎng)相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在案例教學(xué)中能夠獨(dú)立分析問題、解決問題，使學(xué)生在解決實(shí)際問題過程中既體會(huì)到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性又獲得成功的體驗(yàn)，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣及動(dòng)力，有助于提高經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)效性。

（一）注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和直觀教學(xué)，體會(huì)形與數(shù)的統(tǒng)一

教師鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生利用各種信息網(wǎng)絡(luò)環(huán)境資源查看分形圖，挖掘分形圖蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的理性精神，欣賞數(shù)學(xué)的魅力，使學(xué)生從一個(gè)新的視角認(rèn)識(shí)傳統(tǒng)圖形。培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生自主學(xué)習(xí)策略方法，提供自主學(xué)習(xí)的空間，以滿足不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)的需要。啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分形圖形所具有對(duì)稱、節(jié)奏和韻律、平衡、自相似性、嵌套以及分叉、纏繞、和豐富的變換等特點(diǎn)，體會(huì)分形圖形的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、奇異美與和諧美，利用數(shù)學(xué)的美使學(xué)生心智得到陶冶。

分形圖形在空間結(jié)構(gòu)上體現(xiàn)傳統(tǒng)藝術(shù)形態(tài)中的對(duì)稱形式，分形圖形具有一種局部和更大的局部、或者是局部和整體的對(duì)稱，具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)層次，在自相似的遞歸結(jié)構(gòu)中，無論是在哪一個(gè)層次的局部都保持整體的基本形態(tài)，獲得整個(gè)圖形的和諧、秩序與均衡。分形樹、謝爾賓斯基三角形和經(jīng)典的曼德爾布羅特集等就是具有自相似特性的典型分形圖形。這種自相似性也可以從復(fù)映射 z → z2+c的經(jīng)典M集的逐步放大得到，啟發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地去體驗(yàn)探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，利用Matlab等軟件，改變常數(shù)c的取值，可以得到各式各樣的Julia集。通過實(shí)驗(yàn)增強(qiáng)了學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力，調(diào)動(dòng)了學(xué)生全身心地投入到思考、討論、探究、解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，提高了學(xué)習(xí)效率。

（二）注重?cái)?shù)學(xué)建模，運(yùn)用案例教學(xué)法培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力

在教學(xué)活動(dòng)中創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，引入涉及有實(shí)際背景、理論背景及意義的分形數(shù)學(xué)模型，結(jié)合實(shí)例充分考慮教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容及其內(nèi)在特點(diǎn)，適度運(yùn)用案例、啟發(fā)、探討式的教學(xué)，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到分形的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在教師指導(dǎo)下學(xué)生自己動(dòng)手，查找資料，分析歸納，得出結(jié)論，促使學(xué)生在教師指導(dǎo)下的自主學(xué)習(xí)過程中體會(huì)數(shù)學(xué)思維。

國(guó)內(nèi)外研究成果表明，城鎮(zhèn)體系的人口及經(jīng)濟(jì)規(guī)模的等級(jí)分布符合一些數(shù)學(xué)模型，如 Pareto分布模型及 G.K.Zipf的等級(jí)規(guī)模分布模型等，這些數(shù)學(xué)模型為城鎮(zhèn)體系的分析與規(guī)劃提供了科學(xué)依據(jù)。Zipf(1949)把自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)用于城市人口、企業(yè)收入等現(xiàn)象，研究這些數(shù)量跟等級(jí)的關(guān)系。在其出版的《人類行為與最小努力原則-人類生態(tài)學(xué)引論》中，他進(jìn)一步擴(kuò)展了視野，討論了人類社會(huì)的眾多社會(huì)、文化現(xiàn)象及自然現(xiàn)象。根據(jù)前人的研究成果提出了一個(gè)通用的城市規(guī)模分布法則(Zipf法則)[6]，與豪斯道夫維數(shù)公式進(jìn)行類比可知，Zipf法則服從冪定律，為一分形模型，參數(shù)Zipf指數(shù)具有分維性質(zhì)，它是分維的倒數(shù)。通過作對(duì)數(shù)變換，由于冪函數(shù)關(guān)系等價(jià)于對(duì)數(shù)線性關(guān)系，所以，只要雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的位序-規(guī)模數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線關(guān)系成立或者部分成立，即可判定分形的存在，直線上點(diǎn)的范圍即為無特征尺度的區(qū)域，做出散點(diǎn)圖，進(jìn)行線性回歸擬合可求出其城鎮(zhèn)體系規(guī)模結(jié)構(gòu)的分維數(shù)。

我們從不同的角度去引進(jìn)新的方法和新的思維以推動(dòng)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)教學(xué)的實(shí)用性，而分形理論提供了一種全新的教學(xué)理念、教學(xué)形態(tài)和教學(xué)追求。

結(jié) 語

綜上所述，分形是結(jié)構(gòu)的深化，正是分形理論的提出和應(yīng)用使人們以比從前更深刻更準(zhǔn)確的方式方法去認(rèn)知世界，為人們認(rèn)識(shí)世界提供了新視角和新思路。教師應(yīng)不斷吸納新的教學(xué)理念和方法，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中有機(jī)地把數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用和現(xiàn)代教育技術(shù)結(jié)合起來，注重?cái)?shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，著重引進(jìn)應(yīng)用型實(shí)例，啟發(fā)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主地去思考、探索、解決問題的能力，以利于促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

[1]楊展如,郝柏林.分形物理學(xué)[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?1996.

[2]謝和平,薛秀謙.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[3]肯尼恩·法爾科內(nèi)(曾文曲,劉世耀譯).分形幾何-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].沈陽:東北大學(xué)出版社,1991.

[4]孫霞,吳自勤,黃畇.分形原理及應(yīng)用[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2003.

[5]張濟(jì)忠.分形[M].北京:清華大學(xué)出版社,1995.

[6]Zipf,G.K.Human Behavior and the Principle of Least Effort:An Introduction to Human Ecology [M].Cambridge, Mass: Addison-Wesley Press, INC,1949.

（責(zé)任編校：燕廉奚）

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1673-2219（2010）08-0003-02

2010－03－10

張林泉(1965－)，男，廣東化州人，廣東女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。佟松林（1969－），男，遼寧朝陽人，廣東女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，美國(guó)奧斯特大學(xué)MBA碩士，研究方向?yàn)殡娮由虅?wù)與網(wǎng)絡(luò)金融理論。