鄭 昊,古娟妮,王 娜

(1.廣東工業(yè)大學(xué),廣東 廣州 510090;2.廣東省城市建設(shè)高級(jí)技工學(xué)校,廣東 廣州 510650;3.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院,廣東 廣州 510640)

膜結(jié)構(gòu)是一種非傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式,其造型優(yōu)美,極富現(xiàn)代氣息;結(jié)構(gòu)輕巧,有極強(qiáng)的空間跨越能力;易于建造搬遷,有明顯的經(jīng)濟(jì)效益。因此膜結(jié)構(gòu)建筑成為近幾十年蓬勃發(fā)展的一種新型的大跨度空間形式。

膜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)也迥異于傳統(tǒng)的剛性結(jié)構(gòu)。由于膜材的柔性特征,其本身沒有抗壓剛度和抗彎剛度,需賦予一定的預(yù)拉力才能形成確定的空間曲面形狀和抵抗外荷載的能力,成為真正的結(jié)構(gòu)。這種在一定預(yù)應(yīng)力作用下,找出的一個(gè)既符合建筑美觀,又滿足邊界條件和力學(xué)平衡的過程就是找形分析過程。

1 膜結(jié)構(gòu)的非線性有限元法找形

1.1 非線性有限元法簡(jiǎn)介

1970年,E·Haug和 G·H·Powell提出了一種基于Newton-Raphson非線性迭代的索膜結(jié)構(gòu)找形方法。它是針對(duì)索膜結(jié)構(gòu)具有強(qiáng)烈的幾何非線性的特點(diǎn),在小應(yīng)變、大位移的情況下,首先將膜結(jié)構(gòu)離散成由節(jié)點(diǎn)和三角形單元構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu),設(shè)定一初始應(yīng)力分布,采用拉格朗日法建立非線性方程組,結(jié)合邊界條件迭代求解。由于是非線性求解,無法避免收斂問題,往往可以通過分段提升的方法來保證收斂性。現(xiàn)有的一些通用有限元軟件,如 ANSYS,SAP2000,ADIANA等都有用這種方法來進(jìn)行膜結(jié)構(gòu)的找形。

1.2 非線性有限元法找形的基本原理

非線性有限元法找形的基本思路是先將索膜結(jié)構(gòu)離散成若干單元,然后針對(duì)索膜結(jié)構(gòu)的小應(yīng)變、大位移特點(diǎn),應(yīng)用幾何非線性理論,建立以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的非線性有限元方程組,最后用迭代計(jì)算方法并結(jié)合邊界條件求解。由于初始平衡狀態(tài)是純力學(xué)平衡問題,與所采用的材料無關(guān),故在計(jì)算過程中采用小彈性模量法,以便使結(jié)構(gòu)自由變形,達(dá)到平衡。

1.3 非線性有限元法的基本公式

膜單元采用三節(jié)點(diǎn)九自由度的三角形平面單元,索單元采用二節(jié)點(diǎn)六自由度的只拉不壓空間直桿單元。忽略材料非線性,考慮幾何非線性,有:

2 ANSYS找形及算例分析

2.1 ANSYS找形分析原理

ANSYS是一種基于非線性有限元思想的通用有限元軟件,可用于索膜結(jié)構(gòu)的找形分形。其基本分析原理是:先用小彈性模量技術(shù),將目標(biāo)節(jié)點(diǎn)提升到指定高度,用支座移動(dòng)法進(jìn)行初步找形,目標(biāo)點(diǎn)固定,其它點(diǎn)連動(dòng),得到結(jié)構(gòu)的近似平衡形狀。在此幾何位形基礎(chǔ)上更新節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),釋放預(yù)應(yīng)力,重新設(shè)定索膜結(jié)構(gòu)的真實(shí)材料參數(shù)和預(yù)應(yīng)力,進(jìn)行自平衡迭代求解。循環(huán)若干次,釋放掉不平衡力,直至應(yīng)力分布均勻度達(dá)到要求[3]、[4]。

由于索膜結(jié)構(gòu)中索單元和膜單元均只能承受拉力,故在單元選取時(shí)分別采用 Link 10和Shell41單元來模擬索單元和膜單元。在 ANSYS中不能直接輸入初始應(yīng)力,采用施加初始應(yīng)變和降溫的方法分別給索、膜施加初始預(yù)應(yīng)力。

索單元的初始張力的施加:

式中:T為索的預(yù)張力;Ec取一個(gè)很小的彈性模量,一般取真實(shí)模量的 1/1000～1/5000;A為索的截面面積。

膜面預(yù)應(yīng)力的施加:

先將膜面的參考溫度設(shè)為 0°,則施加壓力的溫度荷載可用下式計(jì)算:

式中:σ為膜面預(yù)張力,Ec取一個(gè)很小的彈性模量,一般取膜材真實(shí)模量的 1/1000～1/1500,αm為熱膨脹系數(shù)(可人為設(shè)定,一般設(shè)為α=1);h為膜材厚度。

根據(jù)上面所述,應(yīng)用有限元軟件ANSYS進(jìn)行索膜結(jié)構(gòu)找形的流程為:

(1)選擇單元類型,一般索采用Link10,膜采用 Shell41,設(shè)定索和膜的虛擬彈性模量和實(shí)常數(shù)值;

(2)建立初始的平面幾何模型,進(jìn)行單元網(wǎng)格劃分,通過初應(yīng)變法及降溫法為索膜單元施加初始預(yù)應(yīng)力;

(3)為各固定點(diǎn)施加位移約束,將控制點(diǎn)一次性提高到目標(biāo)高度,打開大變形和應(yīng)力剛化開關(guān),用幾何非線性法求解,得到初步找形結(jié)果;

(4)更新節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),固定支座控制點(diǎn),恢復(fù)真實(shí)材料常數(shù),重新設(shè)定索膜的預(yù)應(yīng)力狀態(tài),關(guān)掉大變形開關(guān),求解;

(5)循環(huán)若干次,觀察應(yīng)力分布云圖,直至應(yīng)力分布均勻度達(dá)到要求。

2.2 找形算例分析

為了驗(yàn)證 ANSYS找形方法的準(zhǔn)確性,對(duì)兩個(gè)基本曲面-懸鏈面和馬鞍面進(jìn)行了分析。

2.2.1 懸鏈面

根據(jù)上述原理與步驟,用 ANSYS軟件對(duì)懸鏈面進(jìn)行找形。

取內(nèi)圓半徑 10m,外圓半徑 50m,厚度為 1mm的圓環(huán)膜面張拉成高度 h=22.943懸鏈面。取 1/4結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,內(nèi)外圓周固定,內(nèi)圓周提升到指定高度。膜材的彈性模量取2.55E8,找形時(shí)取虛擬彈模為真實(shí)值的 1/1000。

網(wǎng)格劃分與找形后形狀如圖 1a、1b所示。

圖1 懸鏈面的 ANSYS找形

圖2 Von Mises應(yīng)力云圖

從 ANSYS輸出的等效 Von Mises應(yīng)力云圖(圖 2)可見,最小應(yīng)力 1.88 kN,最大應(yīng)力為 2.03 kN,大部分區(qū)域?yàn)?2.0 kN。同樣取其中一條半徑上的非約束節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析,將ANSYS輸出的結(jié)果與解析解比較,列于表 1。

?

從表 1中可見,找形誤差均在 7%以內(nèi),基本滿足精度要求。分析原因,由式(1)可知,在 ANSYS非線性有限元法找形過程中,由于采用降溫法來給膜面施加預(yù)應(yīng)力,導(dǎo)致了小彈性模量的存在,約束了膜面的完全自由變形,所以不可能找出完全的等應(yīng)力曲面,這就造成了與解析解間的誤差比較大。由結(jié)果可見,ANSYS找形結(jié)果網(wǎng)格分布比較均勻。

2.2.2 固定邊界的雙曲拋物面

取標(biāo)準(zhǔn)馬鞍面的方程為 z=2+(x2-y2)/25,邊長(zhǎng)為 10 m,高低點(diǎn)高差為 4m。找形中膜面初始預(yù)張力為2 kN,膜材厚為 1mm。用 ANSYS進(jìn)行找形分析,四條邊固定,膜材的彈性模量取 2.55E8,找形時(shí)取虛擬彈模為真實(shí)值的 1/1000。

圖3 馬鞍面的 ANSYS找形

網(wǎng)格劃分及找形結(jié)果如圖 3a、3b所示。經(jīng)過幾次不平衡力釋放后,最小應(yīng)力為 1.99 kN,最大應(yīng)力為 2.0 kN,等效Von Mises應(yīng)力云圖如 4所示。在此例中,因膜面比較平緩,曲率變化不大,故雖有彈性模量的存在,應(yīng)力的分布還是基本均勻的。

同樣,取兩高點(diǎn) 1、11連成的對(duì)角線上的所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析,與解析解的比較如表 2所示。從表中可見,兩者的誤差是很小的。

圖4 Von Mises應(yīng)力云圖

?

由以上兩個(gè)算例可以得出結(jié)論,ANSYS找形方法對(duì)于曲率變化較小的情況(標(biāo)準(zhǔn)拋物面)有較高的計(jì)算精度,而對(duì)于曲率變化較大的情況(懸鏈面),計(jì)算精度較低。且由于在ANSYS找形中,首次計(jì)算采用是大位移小彈模計(jì)算,二次以后的平衡迭代采用真實(shí)彈模小位移計(jì)算,彈性模量的存在在一定程度上約束了單元的自由變形,所以找形后的網(wǎng)格較為均勻,但應(yīng)力情況出現(xiàn)了不均勻分布,實(shí)際情況應(yīng)力分布不可能是完全均勻的?？梢?上述用ANSYS軟件找形的思路與步驟是正確的,可用于進(jìn)一步的工程算例分析。曲率變化較小的情況(標(biāo)準(zhǔn)拋物面)有較高的計(jì)算精度,而對(duì)于曲率變化較大的情況(懸鏈面),計(jì)算精度較低。分析原因,在ANSYS找形過程中,由于采用降溫法來給膜面施加預(yù)應(yīng)力,引入了小彈性模量,約束了膜面的完全自由變形,所以不可能找出完全的等應(yīng)力曲面,這就造成了與解析解間的誤差比較大。

3 結(jié)束語

本文介紹了索膜結(jié)構(gòu)找形分析的有限元法,針對(duì)索膜結(jié)構(gòu)極強(qiáng)的幾何非線性特點(diǎn),介紹了非線性有限元的基本思想。另外,介紹了利用通用有限元軟件ANSYS進(jìn)行找形的方法。用懸鏈面及雙曲拋物面這兩個(gè)算例進(jìn)行了驗(yàn)證,證明ANSYS找形也是實(shí)用可行的。并發(fā)現(xiàn) ANSYS找形方法對(duì)于

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