袁新娣，黃賢通

（1. 贛南師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，贛州 341000；2. 贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，贛州 341000）

基于狀態(tài)空間法的復(fù)雜正弦穩(wěn)態(tài)電路相量計(jì)算

袁新娣1，黃賢通2

（1. 贛南師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，贛州 341000；2. 贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，贛州 341000）

0 引言

如圖1[1]所示的四網(wǎng)孔正弦電路是大型復(fù)雜電路系統(tǒng)的代表。該電路的特點(diǎn)是所含儲(chǔ)能元件多，電路階數(shù)高，電路結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，所以對(duì)該類電路的分析有較大的代表意義。為了全面地反映一個(gè)電路系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通常會(huì)通過(guò)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式數(shù)學(xué)模型，但在正弦電路的穩(wěn)態(tài)分析中，通常需要求出該穩(wěn)態(tài)輸出的相量表達(dá)式。本文應(yīng)用MATLAB軟件，通過(guò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式模型，計(jì)算獲取了系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)電流響應(yīng)的相量表達(dá)式，同時(shí)本文也應(yīng)用傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)電路相量分析法驗(yàn)證了該方法的正確性。

圖1 四網(wǎng)孔正弦電路

1 由狀態(tài)空間法獲取穩(wěn)態(tài)電流響應(yīng)相量

1.1 四網(wǎng)孔正弦電路的狀態(tài)空間表達(dá)

狀態(tài)空間法是建立在狀態(tài)變量描述基礎(chǔ)上，揭示控制系統(tǒng)內(nèi)在運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一種時(shí)域分析方法。用狀態(tài)空間法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型稱為狀態(tài)空間描述，用狀態(tài)空間表達(dá)式表征[3]，狀態(tài)空間表達(dá)式通常有兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成：

其中方程(1)是反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量X和輸入變量u間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常具有微分方程或差分方程的形式，稱為狀態(tài)方程；方程(2)是表征系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量X及輸入變量u和輸出變量y之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，具有代數(shù)方程的形式，稱為輸出方程。

根據(jù)電路的狀態(tài)空間理論[4]，對(duì)于圖1，應(yīng)選取電感電流i12,i13,i14及電容電壓uc2,uc3,uc4作為內(nèi)部狀態(tài)變量，兩電源u1與u2是電路的輸入變量，對(duì)圖1電路可以建立如下狀態(tài)方程：

再根據(jù)基爾霍夫電壓定理（KVL）和基爾霍夫電流定理（KCL）得到下面方程組：

利用該方程組消去狀態(tài)方程和輸出方程中的中間變量iR2,iR3,iR4后就可以得到圖1系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

1.2 MATLAB 軟件獲取穩(wěn)態(tài)電流響應(yīng)相量

在電路各元件的參數(shù)已知的情況下，可以根據(jù)表達(dá)式(3)應(yīng)用MATLAB軟件計(jì)算獲取電路的穩(wěn)態(tài)網(wǎng)孔電流相量?，F(xiàn)通過(guò)下述實(shí)例來(lái)說(shuō)明這點(diǎn)。

例1：在圖1表示的四網(wǎng)孔電路中，已知L2=L3=L4=0.0 0 3 H；C2=C3=C4=0.0 0 3 F，R1=R2=R3=R4=1Ω,激勵(lì)電源U1=cos(314t)，U2=1.2cos(314t)。即已知所有元件參數(shù)及輸入激勵(lì)，求網(wǎng)孔回路的穩(wěn)態(tài)電流相量。

把電路各元件參數(shù)代入狀態(tài)空間表達(dá)式(3)中的G、A、B、C、D得到狀態(tài)方程和輸出方程分別為：

利用MATLAB解狀態(tài)空間方程時(shí)，可以使用指令[I ,t]=lsim(ss1,[u1;u2],t)獲得電路在對(duì)應(yīng)激勵(lì)作用下的電流響應(yīng)波形，其中ss1是該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，u1,u2是輸入激勵(lì)，t是指定的仿真時(shí)間序列，I是返回的網(wǎng)孔回路電流響應(yīng)序列值。指令執(zhí)行結(jié)果如圖2所示。下面將分析如何從圖2所示輸入輸出波形中獲得穩(wěn)態(tài)網(wǎng)孔電流的相量表達(dá)式。

圖2 按例1所設(shè)計(jì)的參數(shù)情況下的輸入及各網(wǎng)孔電流輸出波形

因?yàn)楦骶W(wǎng)孔的穩(wěn)態(tài)電流是與激勵(lì)電源頻率相同、但幅值和相角可能不同的正弦信號(hào)，所以要獲得正弦電流穩(wěn)態(tài)表達(dá)式只需求出各網(wǎng)孔穩(wěn)態(tài)電流的幅值和初相角，而幅值就是各網(wǎng)孔電流的仿真序列的最大值，初相角是指網(wǎng)孔電流的相位與相應(yīng)激勵(lì)源的相位之差。所以應(yīng)用MATLAB編程獲取穩(wěn)態(tài)相量表達(dá)式時(shí)的具體做法是：

1）用max指令獲得各個(gè)網(wǎng)孔回路電流的最大值，也就是相量的幅值；

2）從各輸出波形圖中取某個(gè)穩(wěn)定時(shí)刻的電流值和同一時(shí)刻的激勵(lì)輸入電源值，利用acos指令獲得該時(shí)刻電流的相位和電源的相位。注意：因acos函數(shù)返回值的范圍是[00,1800],且在取值范圍內(nèi)該函數(shù)是降函數(shù)，該例中的電源初相角又是零，所以這個(gè)穩(wěn)定的時(shí)刻不是隨便取，在該時(shí)刻，網(wǎng)孔電流應(yīng)當(dāng)已經(jīng)達(dá)到了穩(wěn)定，且電源與網(wǎng)孔電流的波形都同為下降。本文選擇了第64個(gè)仿真時(shí)刻來(lái)計(jì)算網(wǎng)孔回路電流初相角；

3)把上述獲得的網(wǎng)孔電流的相位與電源的相位相減，這樣就獲得了相應(yīng)網(wǎng)孔回路電流相量的初相角。

根據(jù)上述論述，設(shè)計(jì)的M A T L A B程序如example1.m[5]。

從運(yùn)行結(jié)果可知，按例1所提出的參數(shù)計(jì)算出的四個(gè)網(wǎng)孔的回路電流相量為:

2 用相量分析法獲取電路的回路電流相量

為了驗(yàn)證上述應(yīng)用狀態(tài)空間表達(dá)式結(jié)合MATLAB進(jìn)行的穩(wěn)態(tài)電路相量分析的正確性，下面對(duì)例1應(yīng)用傳統(tǒng)的相量分析法分析計(jì)算回路電流相量。

相量法就是用一個(gè)復(fù)數(shù)(X)來(lái)表示一個(gè)正弦量，復(fù)數(shù)的模是正弦量的有效值或幅值（本文采用幅值），復(fù)數(shù)的相角是正弦量的初相角。相量分析法的原理見參考文獻(xiàn)[4]。圖1所示的電路在正弦信號(hào)作用下，可以根據(jù)相量分析法的回路電流法建立相量方程(4)[4]：

對(duì)比前述的狀態(tài)空間分析法分析得到的結(jié)果，相差不到2%，而這個(gè)誤差大小是工程上認(rèn)可的，從而說(shuō)明了本文采取的狀態(tài)空間表達(dá)式結(jié)合MATLAB軟件分析復(fù)雜電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相量的方法是正確的。

3 結(jié)論

本文研究了狀態(tài)空間表達(dá)式結(jié)合MATLAB分析計(jì)算復(fù)雜電路——四網(wǎng)孔正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)孔回路電流相量響應(yīng)，同時(shí)，為了說(shuō)明該方法的正確性，對(duì)同一實(shí)例的同一問(wèn)題也應(yīng)用了傳統(tǒng)的相量分析法分析計(jì)算，兩次計(jì)算結(jié)果的一致性說(shuō)明了本文提出的計(jì)算方法是有效的、可靠的。

[1]Liu Jian-sheng.The Application of Matrix Theory in Second Order Electrical Circuits Designing. Proceedings of the Eighth International Conference on Matrix Theory and Its Applications in China, Advances in matrix theory and its applications[C],series B(2008):202-205.

[2]陳建業(yè).電力電子電路的計(jì)算機(jī)仿真[M].北京:清華大學(xué)出版社,2003.

[3]胡壽松.自動(dòng)控制原理(第四版)[M].北京:科學(xué)出版社,2000.

[4]邱關(guān)源.電路(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[5]張志涌.MATLAB教程[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2002.

Phasor-analysis about complex circuit base on state-space

YUAN Xin-di1, HUANG Xian-tong2

四網(wǎng)孔正弦電路是大型復(fù)雜電路系統(tǒng)的代表，其穩(wěn)態(tài)電流相量的分析計(jì)算是性能分析的的重要方面。本文研究了一種新的方法，即利用能夠描述系統(tǒng)內(nèi)部特性的狀態(tài)空間方程，同時(shí)結(jié)合MATLAB軟件對(duì)電路的穩(wěn)態(tài)電流相量進(jìn)行分析計(jì)算。為了驗(yàn)證該方法的正確性，本文也應(yīng)用傳統(tǒng)的相量分析法對(duì)同一實(shí)例的相同輸出進(jìn)行了求解。兩次求解結(jié)果的一致性，說(shuō)明了本文研究的方法在求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量上是有效的、可靠的。

四網(wǎng)孔正弦穩(wěn)態(tài)電路；分析；相量；狀態(tài)空間法

袁新娣（1974－），女，江西瑞金人，碩士，主要從事電子信息方面教學(xué)與研究工作。

TP391

B

1009-0134(2010)06-0091-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.06.31

2009-11-30