陳 文

摘 要:將未確知有理數(shù)理論應(yīng)用于數(shù)據(jù)建模是常見(jiàn)的建模方法,為了使其更有效地應(yīng)用于軟件可靠性的建模,結(jié)合軟件失效數(shù)據(jù)的特點(diǎn),從樣點(diǎn)及樣點(diǎn)的可信度兩方面,研究未確知理論應(yīng)用于軟件可靠性模型的方法,提出對(duì)樣點(diǎn)補(bǔ)償?shù)挠^點(diǎn),并給出用補(bǔ)償后樣點(diǎn)計(jì)算可信度的計(jì)算方法。為未確知理論應(yīng)用于軟件可靠性的建模提供了新思路和新方法,并結(jié)合實(shí)例說(shuō)明這一方法的有效性。

關(guān)鍵詞:未確知有理數(shù);軟件可靠性;可靠性模型;可信度

中圖分類(lèi)號(hào):TP311文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2009)20-103-04

Sample Reliability of Software Reliability Modeling

CHEN Wen

(Fuzhou Polytechnic College,Fuzhou,350108,China)

Abstract:Using the theory based on unascertained ration number to study the modeling is a common method.In order to make the theory more effectively applied to the software reliability modeling,a study from samples and its reliability according to the failure data′s characteristic is given.In this paper,a new opinion that the sample should be compensated,and a method which is using compensated value to calculate samples′ reliability are put forward.New thinking and new method in software reliability modeling based on unascertained ration number theory are proposed.It shows the feasibility of new method.

Keywords:unascertained rational number;software reliability;reliability model;reliability

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60573088);河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(603407)

軟件可靠性模型的研究是利用已知失效數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)下一失效時(shí)刻,并建立軟件的可靠性模型。未確知理論給出一種從已知數(shù)據(jù),推測(cè)或估計(jì)未知數(shù)據(jù)的方法,將已知數(shù)據(jù)的全部或部分?jǐn)?shù)據(jù)作為樣點(diǎn),同時(shí),計(jì)算出各樣點(diǎn)的可信度,給合樣點(diǎn)及樣點(diǎn)的可信度,計(jì)算出未知數(shù)據(jù)。因此,可以將未確知理論的方法應(yīng)用于軟件可靠性模型的建立,然而,軟件的失效數(shù)據(jù)具有時(shí)序特性[1],直接將未確知理論應(yīng)用于軟件可靠性的建模是不妥的。在此根據(jù)軟件失效數(shù)據(jù)的特點(diǎn),提出先對(duì)樣點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)償,再用補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)計(jì)算其可信度的方法,擴(kuò)展了將未確知有數(shù)理論應(yīng)用于軟件可靠性模型的思路和方法。

1 未確知理論相關(guān)概念

未確知數(shù)學(xué)信息處理方法最大的特點(diǎn)是保留所有已知信息,直接參與定量運(yùn)算,可使積累誤差減到最小,而且除了原始數(shù)據(jù)外,沒(méi)有任何人為假定,可最大程度忠實(shí)于所給信息。未確知有理數(shù)是最簡(jiǎn)單、應(yīng)用最廣泛的表達(dá)未確知信息的方法,下面給出未確知有理數(shù)的數(shù)學(xué)定義[2]:

對(duì)任意閉區(qū)間[a,b],a=x1

φ(x)=αi, x=xi(i=1,2,…,n)

0,其他

且∑ni=1αi=α,0<α≤1,則稱(chēng)[a,b]和φ(x)構(gòu)成一個(gè)n階未確知有理數(shù),記作[[a,b],φ(x)],稱(chēng)α,[a,b]和φ(x)分別為該未確知有理數(shù)的總可信度,取值區(qū)間和可信度分布函數(shù)。

設(shè)A為式(1)表達(dá)的未確知有理數(shù),稱(chēng)一階未確知有理數(shù):

E(A)={[1α∑ki=1xiαi,1α∑ki=1xiαi],φ(x)}(1)

φ(x)=α,x=1α∑ki=1xiαi

0,其他

式中:E(A)為未確知有理數(shù)A的數(shù)學(xué)期望,也稱(chēng)為未確知期望,簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值。

2 基于未確知有理數(shù)的軟件可靠性模型(UM模型[3])

2.1 基本假設(shè)與數(shù)據(jù)要求

(1) 基本假設(shè):程序測(cè)試環(huán)境與預(yù)期使用環(huán)境相同。這是軟件可靠性建模中的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè),確保在某一特定環(huán)境下使用數(shù)據(jù)采集進(jìn)行模型評(píng)價(jià)的正確性。也就是說(shuō),該假設(shè)應(yīng)能保證數(shù)據(jù)采集得到的失效數(shù)據(jù)適用于軟件可靠性的度量。

(2) 實(shí)現(xiàn)此模型的數(shù)據(jù)需求:軟件失效間隔時(shí)間分別為:x1,x2,…,xn,失效時(shí)間分別為:t1,t2,…,tn,其中xi=ti-ti-1,i=1,2,…,n;t0=0。

2.2 基本公式

將第i-1次失效作為起點(diǎn)到第i次失效發(fā)生的時(shí)間是一個(gè)未確知有理數(shù),記為:

xi=[[xmin,xmax],φ(xi)]

式中:

xmin=min(xi-1,xi-2,…,xi-m)

xmax=max(xi-1,xi-2,…,xi-m)

式中:m為參與運(yùn)算的失效數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),一待定常數(shù),對(duì)確認(rèn)測(cè)試可取i-1;對(duì)可靠性測(cè)試,這里認(rèn)為早期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)未來(lái)行為作用很小,現(xiàn)時(shí)失效間隔數(shù)據(jù)比許久之前觀測(cè)的失效間隔數(shù)值更好地預(yù)測(cè)未來(lái),m一般取8~10。φ(xi)是xi的可信度密度分布函數(shù)。定義φ(xi),xj鄰域內(nèi)xk多,則認(rèn)為xi取值xj的可信度就大,反之取值xj的可信度就很小,其中j,k=i-m,…,i-1,且j≠k。具體定義為:

φ(xi)=ξj/ξ,xi=xj

0,其他(2)

式中:ξj表示xj鄰域xj-xk≤r中包含xk(j≠k)的個(gè)數(shù);ξ=∑i-1j=i-mξj,r為xj的鄰域半徑,可憑經(jīng)驗(yàn)由失效數(shù)據(jù)估得,應(yīng)注意在此過(guò)程中r是不斷調(diào)整的。

xi的數(shù)學(xué)期望E(xi)為時(shí)刻t的平均失效間隔時(shí)間[4]MTBF,其中t是第i-1次失效到第i次失效之間的任一時(shí)刻。在穩(wěn)定使用軟件、且不對(duì)軟件做任何修改的情況下,軟件的失效強(qiáng)度為一常數(shù),其值為1/MTBF。因此,在兩次失效間隔時(shí)間內(nèi)失效強(qiáng)度是常數(shù)λ,其值為1/E(xi),即:

λ=1/E(xi)(3)

式中:

E(xi)=∑i-1j=i-mxjξjξ, ξ=∑i-1j=i-mξj(4)

以第i-1次失效為起點(diǎn)的時(shí)間xi的密度函數(shù)為:

f(xi)=1E(xi)exp-1E(xi)xi(5)

其分布函數(shù)為:

F(xi)=1-exp-1E(xi)xi(6)

其可靠性函數(shù)為:

R(xi)=exp-1E(xi)xi(7)

式中:

E(xi)=∑i-1j=i-mxjξjξ , ξ=∑i-1j=i-mξj

3 樣點(diǎn)可信度分析

3.1 UM模型分析

UM模型將第i次失效間隔時(shí)間看作是一個(gè)未確知有理數(shù)xi,即時(shí)刻t的平均失效間隔時(shí)間為E(xi),其中t是第i-1次失效到第i次失效之間的任一時(shí)刻。由E(xi)=∑i-1j=i-mxjξjξ可知:

E(xi)≤∑i-1j=i-mxmaxξjξ=xmaxξ∑i-1j=i-mξj=xmax

這就說(shuō)明,利用UM模型預(yù)測(cè)的失效間隔總比先前的失效間隔的最大值小。然而,對(duì)于軟件可靠性而言,失效數(shù)據(jù)的逐漸增大恰恰說(shuō)明軟件可靠性呈增長(zhǎng)特性[5],是正常的、可信的。如圖1(a)所示,樣點(diǎn)5與周?chē)渌麡狱c(diǎn)的偏離較大,但認(rèn)定該樣點(diǎn)可信度較低是不合適的[6],那么,如何克服這種不合理性呢?在此提出一種補(bǔ)償樣點(diǎn)的方法,將原始的失效數(shù)據(jù)按照時(shí)間的推移作線(xiàn)性補(bǔ)償,用補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)代替原始數(shù)據(jù),如圖1(b)所示,這樣計(jì)算出來(lái)的樣點(diǎn)可信度就更合理。

圖1 可信度計(jì)算示意圖

3.2 補(bǔ)償直線(xiàn)的確定

失效數(shù)據(jù)的失效時(shí)刻與預(yù)測(cè)點(diǎn)的間隔越大,補(bǔ)償量也越大。補(bǔ)償直線(xiàn)設(shè)為:

y=xi+ati

式中:xi為原始失效數(shù)據(jù);ti為xi發(fā)生時(shí)刻與最后一個(gè)觀測(cè)樣點(diǎn)的時(shí)間間隔,xi,ti均為已知。當(dāng)系數(shù)a為0時(shí),帶補(bǔ)償?shù)腢M模型即為UM模型,因此,UM模型是帶補(bǔ)償?shù)腢M模型的特例。當(dāng)系數(shù)a>0時(shí),說(shuō)明軟件可靠性的增長(zhǎng)特性明顯;當(dāng)系數(shù)a<0時(shí),反映軟件系統(tǒng)是非可靠性增長(zhǎng)特征。引入補(bǔ)償系數(shù)后,上式中的E(xi)改為:

E(xi)=∑i-1j=i-m(xj+aptj)ξjξ

式中,a為待定系數(shù),ptj表示從tj到預(yù)測(cè)點(diǎn)的時(shí)間間隔,即:ptj=ti-1-tj,這樣,E(xi)可進(jìn)一步寫(xiě)成:

E(xi)=∑i-1j=i-m[xj+a(ti-1-tj)]ξjξ

可以用最小二乘法[7]推導(dǎo)比例系數(shù)a的求法,設(shè)UM模型的樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,失效數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為n。

首先,對(duì)x1,x2,…,xm樣點(diǎn),利用帶補(bǔ)償?shù)腢M模型,其表達(dá)式為:

E(xm+1)=∑mj=1(xjξjξ)+a∑mj=1(tm-tj)ξjξ

式中:a為待定系數(shù),進(jìn)一步改寫(xiě)為:E(xm+1)=p1+aq1,其中:

p1=∑mj=1xjξjξ,q1=∑mj=i(tm-tj)ξjξ

其次:對(duì)于x2,x3,…,xm+1樣點(diǎn),同樣可利用帶補(bǔ)償?shù)腢M模型得表達(dá):

E(xm+2)=∑m+1j=2(xjξjξ)+a∑m+1j=2(tm+1-tj)ξjξ

=p2+aq2

以此類(lèi)推,得到最后表達(dá)式:

E(xm+k)=pk+aqk(m+k=n,k=n-m)

上述k個(gè)表達(dá)式中:

pi=∑m+i-1j=ixjξjξ

qi=∑m+i-1j=i(tm+i-1-tj)ξjξ

于是,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:求a的值使上述k個(gè)值最接近實(shí)際值,即:使∑ki=1[xm+i-E(xm+i)]2達(dá)到最小,也就是使∑ki=1(xm+i-pi-aqi)2最小。對(duì)a求導(dǎo)并令其等于0便得:

∑ki=1(xm+i-pi-aqi)qi=0

解得:

a=∑ki=1(xm+i-pi)qi∑ki = 1q2i(8)

3.3 可信度計(jì)算

3.3.1 利用參考模型

可以先給出參考模型如JM模型[8],用參考模型代替圖1(b)中的直線(xiàn),計(jì)算實(shí)際失效數(shù)據(jù)與參考模型的誤差,利用誤差的大小計(jì)算可信度:

樣點(diǎn)數(shù)據(jù):x1,x2,…,xm

參考模型:x′1,x′,…,x′m

誤差量:d1,d2,…,dm

其中:

di=|xi-x′i|

E(xi)=∑i-1j=i-mxjξjξ

而式中,ξj表示dj鄰域|dj-dk|≤r中包含dk(j≠k)的個(gè)數(shù),ξ=∑i-1j=i-mξj。

可靠性函數(shù)為:

R(xi)=exp-1E(xi)xi

3.3.2 利用補(bǔ)償?shù)臉狱c(diǎn)值

通過(guò)補(bǔ)償系數(shù)a,可以得到補(bǔ)償后的樣點(diǎn)數(shù)據(jù)yi-m,yi-m+1,…,yi-1。利用補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)調(diào)整可信度,即:

φ(xi)=ξj/ξ,yi=yj

0,其他(9)

式中:ξj表示yj鄰域|yj-yk|≤r中包含yk(j≠k)的個(gè)數(shù);ξ=∑i-1j=i-mξj;r為xj的鄰域半徑,由于此時(shí)數(shù)據(jù)已經(jīng)經(jīng)過(guò)補(bǔ)償,r值可適當(dāng)加大。于是:

E(xi)=∑i-1j=i-myjξjξ(10)

其可靠性函數(shù)為:

R(xi)=exp-1E(xi)xi

3.4 領(lǐng)域半徑r的自適應(yīng)算法

尋找一種對(duì)任何軟件可靠性都適用的模型是不現(xiàn)實(shí)的[9]。不同的軟件具有不同的特征,對(duì)于某一特定的軟件系統(tǒng),究竟用哪一種樣點(diǎn)可信度的計(jì)算方法要根本軟件系統(tǒng)的失效數(shù)據(jù)特點(diǎn)來(lái)決定。對(duì)于失效數(shù)據(jù)量較多時(shí),可以通過(guò)對(duì)歷史失效數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果的均方差來(lái)確定。上述公式中r可以通過(guò)以下自適應(yīng)算法來(lái)調(diào)整。

將參與運(yùn)算的樣點(diǎn)的最大值記為max,最小值記為min,將r的取值范圍擴(kuò)大到[0.2(max-min),0.8(max-min)]區(qū)間,即r=Cr(max-min),Cr從0.2逐漸變化到0.8,步長(zhǎng)設(shè)為dCr。r的自適應(yīng)算法的偽碼[10]描述如下:

begin

i=0

For Cr=0.2 to 0.8 step=dCr

{ i=i+1

For預(yù)測(cè)點(diǎn)pm=m1 to m2

{ 計(jì)算樣點(diǎn)m1-m,m1-m+1,…,m1-1的最大值及最小值max,min

r=Cr*(max-min)

利用公式(8)及公式(10),計(jì)算出樣點(diǎn)pm的預(yù)測(cè)值

利用pm的預(yù)測(cè)值與實(shí)際失效值,計(jì)算出誤差值d[pm]

}

利用d[m1],d[m1+1],…,d[m2]計(jì)算出均方差dv[i]

}

計(jì)算dv[1],dv[2],…的最小值,不妨設(shè)為dv[k]

領(lǐng)域半徑r的系數(shù)Cr=0.2+(k-1)*dCr

end

通過(guò)上述算法求出Cr后,領(lǐng)域半徑r=Cr(max-min)。

4 實(shí)例分析

以下給出具體實(shí)例計(jì)算樣點(diǎn)的補(bǔ)償值,再利用補(bǔ)償后的樣點(diǎn)計(jì)算其可信度,從而求出下一失效的預(yù)測(cè)值。

表1是裝甲兵工程學(xué)院的某軟件測(cè)試?yán)?只取前16個(gè)數(shù)據(jù))。其中,xi=ti-ti-1, i=1,2,…,16。

表1 失效數(shù)據(jù)

i12345678

xi1115424614

ti123812364256

i910111213141516

xi33130221322777

ti8990120142155177254261

當(dāng)m取8,r取5,利用求補(bǔ)償系數(shù)式(8)可以得到:a=0.126 36,由a可以求出補(bǔ)償后的樣點(diǎn)值y9,y10,…,y16為:54.73,22.61,47.82,37.04,26.39,32.61,77.88,7.00。

代入式(10)便得到E(x17)(m仍取8, r取10):

E(x17)=∑16j=9yjξjξ=35.02

表2給出了各模型預(yù)測(cè)比較結(jié)果。

事實(shí)上,實(shí)測(cè)結(jié)果中第17個(gè)故障的出現(xiàn)時(shí)刻為300,可見(jiàn),樣點(diǎn)可信度的調(diào)整方法是可行的。

5 結(jié) 語(yǔ)

未確知理論為預(yù)測(cè)未知數(shù)據(jù)提供了新方法,但在實(shí)際應(yīng)用中還應(yīng)該結(jié)合具體應(yīng)用領(lǐng)域的數(shù)據(jù)特征,才能使該理論得到更好的應(yīng)用。本文用補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)計(jì)算可信度的方法,其目的就是使未確知理論更好地應(yīng)用于軟件可靠性的建模中,拓展了將未確知理論應(yīng)用于軟件可靠性建模的思路和方法。

表2 預(yù)測(cè)結(jié)果比較

評(píng)估模型平均故障間隔時(shí)間下一故障可能時(shí)間

指數(shù)模型74.309 8335.309 8

JM模型108.501 9369.501 9

GO模型63.474 2324.474 2

Moranda模型72.582 2333.582 2

UM模型26.75287.75

帶補(bǔ)償?shù)腢M模型35.02296.02

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