楊先勇 周曉軍 沈 路 林 勇

浙江大學浙江省先進制造技術重點研究實驗室,杭州,310027

0 引言

滾動軸承是故障常發(fā)部件之一,其常見的故障形式是局部損傷。當局部損傷通過軸承載荷區(qū)時會產(chǎn)生沖擊,從而使振動信號具有非平穩(wěn)性,如何從信號中提取有效的特征信息是實現(xiàn)故障診斷的關鍵。針對故障軸承的非平穩(wěn)性,已經(jīng)提出了多種故障診斷方法,如時頻分析[1]、小波分析[2]、EMD(empirical modedecomposition)[3]、形態(tài)學分析[4]等。文獻[5]提出了利用連續(xù)小波變換(CWT)系數(shù)的“灰度矩”作為特征量對轉子故障進行識別;針對不同故障的灰度矩分布可能出現(xiàn)交疊這一問題,文獻[6]提出了用灰度矩向量來描述信號特征,取得了明顯效果。由于現(xiàn)場信號中包含了強大的背景噪聲,尤其是在故障初期,微弱的故障特征信息常淹沒其中,需要先分離噪聲并強化沖擊成分。文獻[7]采用極大形態(tài)算子和提升方法構造的極大提升形態(tài)小波(max-lifting morphological wavelet,MLMW),兼有形態(tài)學的非線性濾波與小波的多分辨率特性,具有良好的保留信號局部極大值和分離噪聲性能,相對于傳統(tǒng)小波能更有效地從噪聲中提取、強化沖擊故障特征。MLMW降噪、特征強化后的灰度矩向量對故障特征具有更清晰的描述能力。支持向量機(support vector machines,SVM)是一種新型的機器學習方法,它克服了神經(jīng)網(wǎng)絡結構復雜、易陷于局部極值和泛化能力不足等問題,具有出色的學習和推廣能力。最小二乘支持向量機(least square support vector machine,LSSVM)[8]是SVM在二次損失函數(shù)下的一種形式,由于簡化了計算的復雜性,從而得到廣泛應用[9-10]。

本文提出了基于MLMW降噪的CWT灰度矩向量-LSSVM的軸承故障診斷方法,先利用MLMW對信號進行降噪處理,再將降噪信號的CWT灰度圖劃分為若干區(qū)域,計算各分區(qū)的灰度矩組成灰度矩向量,將其作為LSSVM分類器的輸入進行故障分類。通過軸承故障診斷的實例,說明了該方法的實用性。

1 連續(xù)小波變換與灰度矩向量

函數(shù)f(t)的CWT定義為

式中,a、b分別為尺度因子和平移量;Ψa,b(x)為小波函數(shù)。

Ψa,b(x)的傅里葉變換滿足容許條件為

對于長度為n的時間序列 f(t),若尺度因子有m個取值,經(jīng)CWT后可得到m×n的系數(shù)矩陣Cm×n。小波系數(shù)矩陣往往以灰度圖的形式表達出來,為了對各種故障的差異進行定量描述,文獻[5]提出了CWT灰度矩的定義。Cm×n的k階灰度矩為

由于小波系數(shù)反映了信號局部時頻能量的強弱,而灰度矩Gk不僅考慮了能量的強度,還考慮了能量隨時間b和尺度a的分布情況,可有效刻畫信號能量的分布特征。

文獻[5]的研究表明,灰度矩階次對故障的區(qū)分度影響不大,一般采用一階灰度矩以減小計算量?？紤]到不同故障的一階灰度矩分布可能出現(xiàn)交疊,文獻[6]提出對灰度圖進行區(qū)域劃分,計算各分區(qū)的一階灰度矩組成灰度矩向量以提高對故障的區(qū)分能力。一階灰度矩向量的計算步驟如下：

(1)對采集的信號{x 1,x2,…,x n}進行m尺度的連續(xù)小波變換,得m×n的系數(shù)矩陣C m×n,取絕對值。

(2)將系數(shù)矩陣沿尺度方向劃分為p個區(qū)域,按式(3)計算p個區(qū)域的一階灰度矩,組成灰度矩特征向量G1=(g1,g2,…,gp)。

文獻[5]的研究表明,Morlet小波對周期沖擊性故障具有較好的表征能力,本文選擇Morlet小波作為母小波。

2 形態(tài)小波降噪

Heijmans等[7]提出了形態(tài)小波,將線性小波和非線性小波統(tǒng)一起來,形成了多分辨分析的統(tǒng)一框架。形態(tài)小波變換是線性小波在數(shù)學形態(tài)學上進行非線性擴展的一種變換方法。與線性小波相比,形態(tài)小波計算簡單,在去噪的同時可更好地保留信號邊緣[11]。

2.1 形態(tài)小波理論

數(shù)學形態(tài)學是一種非線性濾波方法,最基本的操作有形態(tài)腐蝕和膨脹。形態(tài)小波是將線性小波中的濾波器用非線性形態(tài)濾波器代替,可分為對偶小波和非對偶小波[7]。線性小波變換是非對偶小波的特例。

滿足上述條件的即為對偶小波。

則稱 ψ↓j、ω↓j分別為信號合成和細節(jié)合成算子。完備重構條件為

滿足以上條件的信號分解為非對偶小波。

2.2 極大提升形態(tài)小波(MLMW)降噪

提升方法通過修改分解與合成算子以達到更佳的性能,提供了一種通用的、靈活的非線性小波構造方法。MLMW[7]的預測和更新算子是基于極大值(膨脹)形態(tài)算子來構造的,原理如下：

(1)分解。利用懶小波將j尺度上信號sj分解為偶序列ej+1,n=sj(2n)和奇序列oj+1,n=sj(2n+1)。

(2)預測。定義預測算子 P(ej,n)=ej,n∨ej,n+1,用偶序列預測奇序列,誤差為j+1尺度上的細節(jié)信號

(3)更新。定義更新算子U(d j,n)=-(0∨d j,n-1∨d j,n),用細節(jié)信號 d j+1,n修正ej+1,n,得到j+1尺度上的尺度信號

重構公式為

對于oj+1,n,預測算子選擇為它的兩個鄰近元素ej,n和ej,n+1的較大值,上述更新算子可以使信號sj的局部極大值映射到sj+1上,且不會產(chǎn)生新的極值點。

MLMW分解尺度信號上保留了信號的局部極值特征,細節(jié)信號上包含各種噪聲,因此實現(xiàn)了信號形態(tài)特征和噪聲的分離。基于MLMW 的降噪方法如下：

(1)利用MLMW將信號分解到不同的形態(tài)尺度上,對各尺度上細節(jié)信號進行軟閾值降噪處理,保留包含局部極大形態(tài)特征的尺度信號。

(2)利用形態(tài)合成算子將處理后的信號進行重構,得到MLMW降噪、故障形態(tài)特征強化后的信號。

3 最小二乘支持向量機

SVM建立在結構風險最小化原理的基礎上,具有良好的泛化性能,且能保證所得極值解就是全局最優(yōu)解。其主要思想是建立一個超平面作為決策曲面,使得各類別之間的分離邊緣最大化。最小二乘支持向量機(LSSVM)[8]則是SVM在二次損失函數(shù)下的一種形式,它將二次規(guī)劃問題轉變成線性方程組的求解,降低了計算復雜性。

設有n個樣本數(shù)據(jù)(x i,y i),i=1,2,…,n,其中xi為輸入,y i為輸出。LSSVM可描述為如下優(yōu)化問題：

式中,w為權向量;b為偏置;ξ為松弛變量,用來度量數(shù)據(jù)點對模式可分理想條件下的偏離程度;c為平衡分類誤差和算法復雜度的懲罰因子;φ(xi)為將樣本 xi從原空間映射到更高維特征空間中的非線性映射。

該優(yōu)化問題對應的Lagrange方程為

式中,αi為Lagrange乘子。

根據(jù)優(yōu)化條件：?L/?‖w‖ =0,?L/?b=0,?L/?ξi=0,?L/?αi=0,消去w 和ξ可得以下線性方程組：

式中,I為單位矩陣;K為定義的核函數(shù),其元素Kij=K(xi,xj)=〈φ(xi),φ(xj)〉。

由式(12)可解得b和α,則分類決策函數(shù)為

處理多分類問題,需要將其轉化為兩分類問題,采用最小輸出編碼(MOC),設n c為輸入樣本總類數(shù),MOC所需分類器個數(shù)為

本文有7類模式(用1,2,…,7表示)需要分類,采用MOC作為編碼方案需要m=3個分類器,編碼為

其中列分別對應分類模式1～7。

4 實驗研究

為了驗證本文方法的實用性與有效性,對滾動軸承故障進行實驗分析。本文研究中的實驗數(shù)據(jù)來自美國Case Western Reserve University電氣工程實驗室[12]。

軸承型號為6205-2RS,采用電火花技術分別在軸承的滾動體、內(nèi)圈和外圈上加工凹坑模擬各種故障。采集了正常、外圈輕故障/重故障、內(nèi)圈輕故障/重故障、滾動體輕故障/重故障7種狀態(tài)(分別用 NM 、OL、OH 、IL、IH 、BL 、BH 表示)下的軸承振動信號,后6種狀態(tài)對應的故障大小(直徑 ×深度,mm×mm)分別為 φ0.18×0.28、φ0.53×1.27、φ0.18 ×0.28、φ0.71 ×1.27、φ0.18×0.28、φ0.71 ×3.81。實驗轉速為 1730r/min,外圈、內(nèi)圈、滾動體故障特征頻率分別為 103Hz、156Hz、68Hz,每種狀態(tài)分別采集了60個數(shù)據(jù)樣本,采樣頻率12 000Hz,樣本長度為2048。

4.1 故障特征的提取

在強背景噪聲中或故障初期階段,由于故障信號幾乎在每個頻段都被噪聲淹沒,需先進行降噪處理。為了說明MLMW的降噪效果,以軸承外圈局部故障為例,圖1所示為軸承外圈故障信號及降噪后的頻譜。由軸承故障信號圖1a的頻譜圖1b可知,信號能量主要集中于高頻段,譜圖上沒有明顯的故障特征成分。 圖1c為采用經(jīng)典sym8小波對圖1a信號進行sure軟閾值[13]降噪處理后的頻譜,可以看出,相對于圖1b,高頻噪聲得到有效抑制,譜圖上有微弱的故障特征頻率(102Hz、205Hz)成分,但其分布特征不夠清晰。圖1d為采用MLMW對圖1a信號進行sure軟閾值[13]降噪后的頻譜。對比圖 1b、圖 1c可知,104Hz的故障特征成分及其倍頻207Hz成為主要的分布,而高頻噪聲和背景信號得到明顯抑制,可見MLMW在降噪的同時,顯著強化了故障特征,相對于傳統(tǒng)小波具有更優(yōu)的降噪效果。

圖1 軸承典型故障信號及降噪后的頻譜

圖2 所示為軸承典型故障信號及MLMW降噪后的256尺度灰度圖。由各故障原始信號的CWT灰度圖即圖2a、圖 2c、圖 2e可知,由于噪聲映射到各尺度上,各故障的CWT灰度圖上沒有明顯的沖擊故障特征,分布模糊,難以區(qū)分。圖2b、圖2d、圖2f分別為各故障信號經(jīng) MLMW 降噪后的CWT灰度圖,由其可知：軸承外圈故障在尺度96附近沖擊特征清晰,軸承內(nèi)圈故障在尺度64附近沖擊特征清晰,軸承滾動體故障在尺度128～160間沖擊特征清晰?？梢?相對于各類型故障原始信號的CWT灰度圖,經(jīng)MLMW 降噪后的CWT灰度圖故障特征突出、區(qū)分顯著。

將數(shù)據(jù)樣本經(jīng)MLMW降噪后,采用本文所述方法計算7種狀態(tài)下各樣本一階灰度矩向量作為特征向量,如表1所示,其中,母小波采用Morlet小波,尺度為1∶256,分區(qū)數(shù)為 p=8。從表1可以看出,不同狀態(tài)下信號的灰度矩向量差異明顯：正常狀態(tài)下第4、8分區(qū)的灰度矩較大,外圈輕故障第7、8分區(qū)的灰度矩較大,外圈重故障第4、8分區(qū)的灰度矩較大,內(nèi)圈輕故障第3、6分區(qū)的灰度矩較大,內(nèi)圈重故障第3、8分區(qū)的灰度矩較大,滾動體輕、重故障第6～8分區(qū)的灰度矩較大,且后者明顯大于前者?？梢娀叶染叵蛄磕鼙碚鬏S承的故障類型和嚴重程度。

表1 各種狀態(tài)下軸承一階灰度矩向量

圖2 軸承典型故障CWT灰度圖

4.2 診斷結果分析

從軸承7種狀態(tài)灰度矩特征向量各60個數(shù)據(jù)樣本中各隨機抽取5個數(shù)據(jù)樣本作為訓練樣本集,各類另外各55個數(shù)據(jù)樣本作為測試樣本集。定義軸承的7種狀態(tài)向量y=(1,2,…,7),根據(jù)式(14)進行編碼。采用RBF核函數(shù)構建LSSVM分類器進行學習訓練和分類,并用“留一法”計算誤分類率作為代價函數(shù)對懲罰因子和核參數(shù)進行優(yōu)化。

表2所示反映了灰度矩向量分區(qū)數(shù)p對診斷結果的影響。由表 2可知,隨著分區(qū)數(shù)p增大,診斷準確率由p=1時的58.96%增大到p=8時的100%,繼續(xù)增大p,診斷準確率保持100%不變。分區(qū)數(shù)過小時,不同故障的灰度矩向量分布出現(xiàn)交疊,不足以將全部故障狀態(tài)區(qū)分開。結果表明,用CWT灰度矩向量作為特征向量進行故障診斷時,診斷準確率隨分區(qū)數(shù)增加而升高,一方面,分區(qū)數(shù)不能選擇太小;另一方面,過大的分區(qū)數(shù)會導致LSSVM的輸入向量維過高,導致計算開銷的增加。對于本文,p=8是一個既符合準確率要求,又符合較低計算開銷的選擇。

表2 分區(qū)數(shù)p對診斷結果的影響

為研究本文方法的性能,將本文方法與原始灰度矩向量-LSSVM方法和小波降噪的灰度矩向量-LSSVM方法進行了對比,CWT母小波均采用Morlet小波,尺度同前為1∶256,分區(qū)數(shù)p=8。從軸承7種狀態(tài)灰度矩特征向量的訓練樣本集中分別各取2個、5個訓練樣本作為LSSVM的輸入向量進行學習訓練,各類另外各55個數(shù)據(jù)樣本作為測試樣本,表3所示為3種方法診斷結果的比較。由表3可知,基于MLMW降噪的灰度矩向量-LSSVM診斷方法在各類僅2個訓練樣本的情況下,準確率高達100%,表明MLMW降噪的灰度矩向量能十分有效地描述軸承的運動狀態(tài),對不同故障類型和嚴重程度具有足夠的區(qū)分度,可作為軸承故障診斷的特征量。訓練樣本數(shù)為2時,原始灰度矩向量-LSSVM 方法、小波降噪的灰度矩向量-LSSVM方法和本文方法的診斷準確率分別為85.71%、91.17%和100%;訓練樣本數(shù)為5時,3種方法診斷準確率分別為89.61%、98.18%和100%,可見本文方法性能優(yōu)于另外兩種方法,尤其是在訓練樣本較少時,這種優(yōu)勢更加明顯。

表3 三種方法診斷結果的比較

5 結論

(1)相對于原始信號的CWT灰度圖,MLMW降噪后信號的CWT灰度圖特征突出、區(qū)分顯著,表明MLMW 既抑制了噪聲,又顯著強化了故障特征。

(2)MLMW降噪后的CWT灰度矩向量可有效刻畫灰度圖的局部信息,反映軸承狀態(tài)變化,對不同故障類型具有良好的區(qū)分度。

(3)提出了基于MLMW降噪的CWT灰度矩向量-LSSVM的軸承故障特征診斷方法。診斷準確率隨灰度矩向量分區(qū)數(shù)增加而升高,分區(qū)數(shù)過少將導致故障信息的丟失;相對于原始CWT灰度矩向量-LSSVM和小波降噪的CWT灰度矩向量-LSSVM方法,本文方法有更優(yōu)的學習和泛化性能,所需訓練樣本少、診斷準確率高,可準確識別軸承故障類型及嚴重程度。

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