臧獻(xiàn)國(guó) 于德介 姚凌云

湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

0 引言

結(jié)構(gòu)在外界激勵(lì)下會(huì)產(chǎn)生振動(dòng),不必要的振動(dòng)會(huì)降低結(jié)構(gòu)的性能和使用壽命,通過(guò)結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化能有效減小結(jié)構(gòu)振動(dòng)。結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)建立在最優(yōu)理論和有限元分析的基礎(chǔ)上,它是根據(jù)給定的設(shè)計(jì)約束條件,求解滿(mǎn)足約束要求且某種結(jié)構(gòu)性能達(dá)到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形狀。結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化通過(guò)改變結(jié)構(gòu)的形狀來(lái)改善結(jié)構(gòu)性能和減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量[1],在工程應(yīng)用領(lǐng)域中占有非常重要的地位。

近來(lái)來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者已在結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化方面作了大量研究。文獻(xiàn)[2]選擇二維結(jié)構(gòu)邊界的一組關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建B樣條函數(shù),結(jié)構(gòu)邊界上的其他節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)B樣條函數(shù)插值獲取,以應(yīng)力為設(shè)計(jì)約束,以質(zhì)量為設(shè)計(jì)目標(biāo),結(jié)合二次規(guī)劃優(yōu)化方法和有限元算法對(duì)平面結(jié)構(gòu)進(jìn)行形狀優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]針對(duì)薄壁梁結(jié)構(gòu)有限元模型,以梁截面關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)建立了梁截面形狀與截面慣性矩的關(guān)系,優(yōu)化了梁截面慣性矩參數(shù)。文獻(xiàn)[4]利用NURBS曲線(xiàn)定義結(jié)構(gòu)形狀,提出了邊界曲線(xiàn)的變形能模型,以結(jié)構(gòu)應(yīng)力為設(shè)計(jì)約束,通過(guò)優(yōu)化降低了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。文獻(xiàn)[5]提出基于結(jié)構(gòu)邊界關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的形狀參數(shù)化方法,結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)通過(guò)等參形函數(shù)插值獲取,能有效優(yōu)化二維平面結(jié)構(gòu)應(yīng)力。文獻(xiàn)[6]提出了一種等幾何結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化方法,通過(guò)非均勻有理B樣條曲線(xiàn)控制結(jié)構(gòu)形狀,將控制點(diǎn)坐標(biāo)作為設(shè)計(jì)變量,實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)邊界光滑。文獻(xiàn)[7]通過(guò)對(duì)二維結(jié)構(gòu)邊界逐步尋優(yōu),結(jié)合模擬退火方法優(yōu)化二維結(jié)構(gòu)的應(yīng)力,得到了光滑的邊界和全局最優(yōu)解。

在現(xiàn)有的研究工作中,結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化主要集中在結(jié)構(gòu)靜力分析領(lǐng)域,以結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)和約束的結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化并不多見(jiàn)。結(jié)構(gòu)形狀描述方法則廣泛基于B樣條曲線(xiàn)或曲面,用多項(xiàng)式插值函數(shù)描述結(jié)構(gòu)邊界,以控制點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量,這對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō),會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)變量過(guò)大或難以對(duì)幾何形狀參數(shù)化。針對(duì)上述問(wèn)題,本文建立了基于有限元網(wǎng)格的參數(shù)化形狀優(yōu)化模型,提出一種基于振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)的結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化方法以控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)。基于振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)建立結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型,可減少網(wǎng)格變形失真,形狀變化不需要指定擾動(dòng)方向,能實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)形狀自動(dòng)尋優(yōu)。研究了外部激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題,以分析頻率帶內(nèi)的最大振動(dòng)位移為設(shè)計(jì)目標(biāo),將有限元結(jié)構(gòu)坐標(biāo)的最大變動(dòng)值及一階模態(tài)頻率作為設(shè)計(jì)約束,利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。數(shù)值算例表明該方法能有效降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移幅值,改善結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性。

1 結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的有限元計(jì)算

結(jié)構(gòu)有限元的單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為

式中,ρ為材料密度;N為單元形函數(shù);D為材料參數(shù)本構(gòu)矩陣;B為應(yīng)變矩陣。

d V和應(yīng)變矩陣B與結(jié)構(gòu)幾何形狀相關(guān)。

以等厚的線(xiàn)性四邊形殼單元為例,通過(guò)坐標(biāo)映射,等參單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可簡(jiǎn)化為

其中,t0為單元的厚度,雅可比矩陣的行列式|J|與結(jié)構(gòu)幾何形狀相關(guān),單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣采用高斯積分計(jì)算。

單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣裝配后,在外部穩(wěn)態(tài)激勵(lì)力作用下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程為

式中,M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;u為位移響應(yīng)向量;f(t)為外力向量。

采用比例阻尼假定,結(jié)構(gòu)阻尼矩陣可表示為

式中,α、β為比例系數(shù)。

對(duì)式(5)兩邊作傅里葉變換,得

式中,ω為圓頻率;U為位移響應(yīng)向量u的傅里葉變換;F0為外力向量f(t)的傅里葉變換。

從式(6)可求得結(jié)構(gòu)在外力作用下的頻域響應(yīng)。修改結(jié)構(gòu)的幾何形狀可改變單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,從而改變整個(gè)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,進(jìn)而改變結(jié)構(gòu)在外力作用下的頻域響應(yīng),因此可通過(guò)優(yōu)化結(jié)構(gòu)形狀來(lái)改善結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性。

2 基于振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)的形狀參數(shù)化模型

結(jié)構(gòu)有限元模型形狀由各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)決定,為了便于描述有限元的形狀參數(shù)化,用一個(gè) N維列向量X定義節(jié)點(diǎn)的位置,向量包含每個(gè)節(jié)點(diǎn)的x、y、z方向坐標(biāo)值,則第i個(gè)節(jié)點(diǎn)x、y、z方向的坐標(biāo)值分別對(duì)應(yīng)列向量X第3i-2、3i-1、3i元素的值,用一個(gè)n維列向量b定義設(shè)計(jì)變量,則向量X描述了結(jié)構(gòu)的形狀,結(jié)構(gòu)形狀可通過(guò)一組向量場(chǎng)的線(xiàn)性組合定義,結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型可表示為

式中,X0為結(jié)構(gòu)初始形狀;bi為設(shè)計(jì)變量為向量場(chǎng)。

若直接以結(jié)構(gòu)修改區(qū)域內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)作為設(shè)計(jì)變量,雖然可以建立形狀參數(shù)化模型,但由于參數(shù)設(shè)計(jì)變量龐大而無(wú)法應(yīng)用于工程問(wèn)題,而且會(huì)導(dǎo)致有限元網(wǎng)格嚴(yán)重變形而使計(jì)算結(jié)果失真,故必須尋求一種形狀映射函數(shù),以盡可能少的設(shè)計(jì)變量來(lái)描述各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),建立有效的結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型。

結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)是在外部激勵(lì)下的振動(dòng)分布,根據(jù)振動(dòng)響應(yīng)的類(lèi)型可分為位移場(chǎng)、速度場(chǎng)和加速度場(chǎng)?？紤]結(jié)構(gòu)在外部寬頻動(dòng)載荷激勵(lì)下產(chǎn)生頻域響應(yīng)U0,U0是頻率的函數(shù),每一頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng),振動(dòng)位移響應(yīng)場(chǎng)向量包含了每個(gè)節(jié)點(diǎn)的x、y、z方向的振動(dòng)響應(yīng)位移幅值,因此振動(dòng)位移響應(yīng)場(chǎng)與結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型中的向量場(chǎng)具有相同維數(shù),可用振動(dòng)位移響應(yīng)場(chǎng)作為結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型的向量場(chǎng)。我們采用一組振動(dòng)位移響應(yīng)場(chǎng)作為結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型的一組向量場(chǎng),以振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)的系數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量,不同的設(shè)計(jì)變量可以映射出不同的結(jié)構(gòu)形狀。通過(guò)對(duì)初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,得到結(jié)構(gòu)頻域響應(yīng)U0,在分析頻帶內(nèi)選擇若干個(gè)與振動(dòng)峰值對(duì)應(yīng)的位移振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)作為形狀參數(shù)化模型的向量場(chǎng),不同的激勵(lì)特性可得到不同的向量場(chǎng)。由于位移振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)是連續(xù)變化的,故采用位移振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)可減少形狀優(yōu)化過(guò)程中的網(wǎng)格失真變形。

為了便于描述形狀改變后幾何坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)新的坐標(biāo)值,將振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)進(jìn)行歸一化,歸一化后的振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)最大振幅為1。給定一組振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)的系數(shù),則對(duì)應(yīng)一種唯一結(jié)構(gòu)形狀。每一結(jié)構(gòu)形狀下的各節(jié)點(diǎn)通過(guò)三個(gè)方向的坐標(biāo)描述。以x0和x1表示初始形狀和新形狀下所有節(jié)點(diǎn)在x方向的坐標(biāo)值、y0和y1表示初始形狀和新形狀下所有節(jié)點(diǎn)在y方向的坐標(biāo)值、z0和z1表示初始形狀和新形狀下所有節(jié)點(diǎn)在z方向的坐標(biāo)值,則結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為

式中,bi(i=1,2,…,n)為選取的第i個(gè)振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)的系數(shù),即將此系數(shù)作為設(shè)計(jì)變量,取值范圍與結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)波動(dòng)限值相關(guān)分別為選取的第i個(gè)振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)x、y、z方向的振動(dòng)位移幅值。

結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)在x、y、z方向的波動(dòng)值可以表示為

3 結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化

在所分析的頻帶內(nèi),振動(dòng)響應(yīng)是頻率的函數(shù)。以單一固定頻率處響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)無(wú)法控制整個(gè)頻帶內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng),甚至可能導(dǎo)致頻帶內(nèi)的最大振動(dòng)峰值增大,而以整個(gè)分析頻帶內(nèi)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)最大響應(yīng)值為優(yōu)化目標(biāo)則可控制整個(gè)頻帶內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)。為了能獲取整個(gè)分析頻率帶內(nèi)的所有振動(dòng)峰值,取分析頻率步長(zhǎng)為1Hz,計(jì)算振動(dòng)響應(yīng),識(shí)別出分析頻帶內(nèi)的最大響應(yīng)值,則目標(biāo)函數(shù)可表示為

式中,fmin、fmax分別為分析頻帶的下限頻率和上限頻率;resp為振動(dòng)響應(yīng)(如振動(dòng)位移、速度或加速度響應(yīng));F為目標(biāo)函數(shù),是設(shè)計(jì)變量 b1、b2、b3、…、bn的函數(shù)。

以最小化振動(dòng)響應(yīng)為目標(biāo),結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)形狀優(yōu)化模型可表示為

式中,biL、biU分別為設(shè)計(jì)變量的下限和上限。

遺傳算法能在較大的設(shè)計(jì)變量空間內(nèi)迅速尋優(yōu),有較強(qiáng)的全局優(yōu)化性能[8],本文采用遺傳算法對(duì)結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行全局優(yōu)化。取設(shè)計(jì)變量bi為遺傳算法的群體,目標(biāo)函數(shù)F為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù),選擇遺傳算法的交叉概率為0.5,變異概率為0.01。

本文方法的流程如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化流程圖

4 數(shù)值算例

四邊簡(jiǎn)支矩形平板,長(zhǎng)寬分別為 0.8m和0.4m,板厚為1mm。結(jié)構(gòu)材料性能參數(shù)為：彈性模量210GPa,泊松比0.3,密度7800kg/m3。由于在形狀優(yōu)化過(guò)程中,結(jié)構(gòu)會(huì)變化成空間殼結(jié)構(gòu),故結(jié)構(gòu)采用四節(jié)點(diǎn)四邊形殼單元進(jìn)行計(jì)算,共有200個(gè)單元,231個(gè)節(jié)點(diǎn)。板在節(jié)點(diǎn)(0.48,0.28,0)(m)位置處作用一個(gè)1N的豎向簡(jiǎn)諧激振力,計(jì)算結(jié)構(gòu)激勵(lì)點(diǎn)的位移響應(yīng)函數(shù),分析頻率為15～300Hz,步長(zhǎng)為1Hz,平板的初始形狀有限元模型如圖2所示。

圖2 矩形平板初始形狀有限元模型

由于平板橫向振動(dòng)主要由板的面外彎曲振動(dòng)引起,結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)在面內(nèi) x坐標(biāo)和y坐標(biāo)的變化對(duì)橫向振動(dòng)影響很小,故不考慮。則節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)x、y在迭代過(guò)程中保持不變,只考慮由節(jié)點(diǎn)z坐標(biāo)引起的結(jié)構(gòu)形狀變化,結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可以簡(jiǎn)化為

本文以分析頻帶內(nèi)加載點(diǎn)最大振動(dòng)位移響應(yīng)值作為目標(biāo)函數(shù),為了提高結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率應(yīng)高于結(jié)構(gòu)初始形狀一階模態(tài)頻率值,為了保證結(jié)構(gòu)網(wǎng)格單元的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的可加工性,節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)波動(dòng)值不宜過(guò)大,取最大波動(dòng)值Δz max=10mm,則設(shè)計(jì)變量范圍為0～10即可滿(mǎn)足節(jié)點(diǎn)波動(dòng)值要求,該算例的具體優(yōu)化模型如下：

先用有限元計(jì)算初始結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)函數(shù),激勵(lì)點(diǎn)的位移頻率響應(yīng)函數(shù)如圖3所示,位移頻率響應(yīng)曲線(xiàn)的前5個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的頻率分別為19Hz、30Hz、49Hz、65Hz、76Hz,選取這 5 個(gè)頻率處的結(jié)構(gòu)位移振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)作為形狀參數(shù)化模型的一組向量場(chǎng)。

圖3 矩形平板初始形狀激勵(lì)點(diǎn)位移頻率響應(yīng)曲線(xiàn)

圖4 平板優(yōu)化后形狀有限元模型

表1 優(yōu)化前后各參數(shù)結(jié)果對(duì)比

圖5 優(yōu)化前后振動(dòng)位移對(duì)比

5 結(jié)論

結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種有效改善結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的方法,本文將形狀參數(shù)化模型、有限元分析和遺傳算法相結(jié)合,提出一種基于振動(dòng)響應(yīng)場(chǎng)的結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化方法。與B樣條曲線(xiàn)、Bezier曲面和多項(xiàng)式插值參數(shù)化形狀優(yōu)化方法相比,本文方法具有如下特點(diǎn)：能減少有限元網(wǎng)格變形失真;可用更少的設(shè)計(jì)變量映射結(jié)構(gòu)形狀;形狀的變化不通過(guò)幾何控制點(diǎn)移動(dòng)實(shí)現(xiàn),而是通過(guò)向量場(chǎng)的系數(shù)變化實(shí)現(xiàn);不需要指定擾動(dòng)方向;優(yōu)化設(shè)計(jì)變量與結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)場(chǎng)的選取個(gè)數(shù)有關(guān),與結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度無(wú)關(guān)等。數(shù)值算例表明采用一組結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移響應(yīng)場(chǎng)作為結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)化模型的向量場(chǎng)是可行的;用本文方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)能有效改變結(jié)構(gòu)形狀,降低結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移幅值,改善結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

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