車林仙 何 兵 程志紅

1.中國礦業(yè)大學,徐州,221008 2.瀘州職業(yè)技術(shù)學院,瀘州,646005

0 引言

1965年,Stewart對Gough發(fā)明的用于輪胎檢測裝置的6-DOF并聯(lián)機構(gòu)進行了機構(gòu)學意義研究,并將其應用于飛行模擬器。這種最早出現(xiàn)的6-SPS平臺型并聯(lián)機構(gòu)被稱為Stewart機構(gòu)。1978年,Hunt[1]首次提出將Stewart機構(gòu)作為機器人操作手,由此產(chǎn)生了并聯(lián)機器人機構(gòu)學這一新分支。1995年,Faugere等[2]提出一類特殊的Stewart機構(gòu)。1998年,Dafaoui等[3]基于點面之間的距離約束,構(gòu)造了新型廣義Stewart機構(gòu)。金振林等[4-5]通過改變支鏈的布置方式,構(gòu)造了2-2-2型6-SPS和2-2-2型6-PSS正交廣義Stewart機構(gòu)。Gao等[6]提出由點、線、面三種幾何元素通過角度約束以及距離約束來構(gòu)造并聯(lián)機構(gòu)的新方法,并發(fā)明了許多新型廣義Stewart機構(gòu)。其后,甘東明等[7]、車林仙[8]也根據(jù)Gao的理論,先后提出了基于點線之間距離約束的6-CCS、6-CPS正交廣義Stewart機構(gòu)。本文借鑒已有研究成果,并結(jié)合單開鏈(single-opened-chain,SOC)理論[9],提出一種新型6-CRS廣義Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu),給出其幾何模型。該機構(gòu)可用于并聯(lián)機床、并聯(lián)微動機器人、六維力/力矩傳感器等領(lǐng)域。本文的研究可為6-CRS廣義Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu)的進一步研究和實用化提供理論基礎(chǔ)。

1 6-CRS并聯(lián)機器人機構(gòu)結(jié)構(gòu)分析

1.1 機構(gòu)模型

圖1所示為新型6-CRS并聯(lián)機器人機構(gòu)的運動簡圖,該機構(gòu)由動平臺P-E1E2E3、機座A1-A2-A3和6條支鏈BiCiD i(i=1,2,…,6)組成。其中,每條支鏈由圓柱副(C)、轉(zhuǎn)動副(R)和球鉸(S)組成,C副與R副的軸線互相平行。因此,支鏈結(jié)構(gòu)為SOC{-C∥R-S-}。6條支鏈的結(jié)構(gòu)和尺寸完全相同,連桿B iCi和CiD i的長度分別為l1和 l2。6條支鏈分為3對,而3對支鏈與動平臺相連的3對S副分別分布在邊長為2a的立方體(圖1中簡化為正三棱錐)的3個互相垂直的表面上,且各對S副中心連線在空間兩兩互相垂直;各對S副中心的距離為2b。每對支鏈的兩個C副共軸線,3對C副的軸線分別位于基礎(chǔ)六面體的3個互相垂直的表面內(nèi),且3條軸線互相垂直。

3對支鏈具有相同姿態(tài),且動平臺立方體與基礎(chǔ)平臺立方體的對應面分別平行時為機構(gòu)初始位姿,如圖1a所示。建立與動平臺固結(jié)的坐標系σ：Pxyz,原點P位于動平臺的幾何中心,3個坐標軸分別平行于動平臺立方體的3個互相垂直的棱邊;建立與基座固結(jié)的坐標系∑：OXYZ,且初始位姿時,定系 ∑與動系σ重合。其余未加說明的符號及其意義見圖1。

圖1 新型6-CRS并聯(lián)機器人機構(gòu)簡圖

1.2 自由度分析

圖2 6-CRS并聯(lián)機器人機構(gòu)的支鏈坐標系

當 δi1=δi2或 δi1=δi2-180°時 ,第 i支鏈中BiCi與CiD i共線,運動螺旋系的秩為5,此時該支鏈處于奇異位形(當對該支鏈的C副施加轉(zhuǎn)動主驅(qū)動時,動平臺可連續(xù)運動,此位置為該支鏈的切換點;當對該支鏈的C副施加移動主驅(qū)動時,對動平臺增加意外約束,對該支鏈的控制將失效。)。

運動螺旋描述的是剛體的瞬時運動,因此還需判斷機構(gòu)自由度的連續(xù)性。在第i支鏈中,動平臺發(fā)生連續(xù)運動后,C副的軸線始終為X i軸,R副的軸線始終平行于X i軸。因此,第i支鏈運動螺旋系始終為式(1)的形式,在非奇異位形下,始終不存在反螺旋,所以,在機構(gòu)的任一非奇異位形處,6條支鏈始終不約束動平臺的自由度,即機構(gòu)具有6個連續(xù)自由度。

應用黃真等[10]提出的修正 Grübler-Kutzbach公式求得機構(gòu)自由度M=6,即該機構(gòu)具有3個移動自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度。

1.3 輸入選取

設(shè)剛化輸入(即固定驅(qū)動)后第i支鏈運動螺旋系的反螺旋為

1.3.1 轉(zhuǎn)動輸入為主驅(qū)動

若選取各支鏈與定平臺相連的6個C副中的轉(zhuǎn)動輸入(即剛化運動副＄i1)為主驅(qū)動,則由反螺旋定義[10]可得

式(3)的秩為5,其基礎(chǔ)解系為

1.3.2 移動輸入為主驅(qū)動

若選取各支鏈與定平臺相連的6個C副中的移動輸入(即剛化運動副＄i2)為主驅(qū)動,則由反螺旋定義[10]可得

(1)δi1=δi2 或 δi1=δi2-180°的情形 。當δi1=δi2 或 δi1=δi2-180°時,連桿 BiCi與CiD i的中心線共線,式(5)的秩為4,其基礎(chǔ)解系為

(2)δi1≠δi2且 δi1≠δi2-180°的情形 。當δi1 ≠δi2且 δi1 ≠δi2-180°時 ,式(5)的秩為 5,其基礎(chǔ)解系為作用線過點D i且與連桿BiCi、CiD i所確定的平面垂直。剛化輸入后,各支鏈均有1個反螺旋(亦即分別增加1個反螺旋),故支鏈內(nèi)輸入選擇合理。根據(jù)機構(gòu)結(jié)構(gòu)特點,增加的6個反螺旋力線矢可分為 3對

2 6-CRS并聯(lián)機器人機構(gòu)位置分析

由圖1可知,點Aj(j=1,2,3)在定系 ∑中的坐標矢量為

點B2j-1、B2j在定系∑中的坐標矢量為

式中,e1、e2、e3分別為沿Y 、Z、X 軸方向的單位矢量;d2j-1、d2j分別為Aj到B2j-1、B2j的距離(取代數(shù)量,與坐標軸正向同向時為正,反之為負)。

為防止支鏈B 2j-1 C2j-1與B2jC 2j的圓柱副發(fā)生干涉,圓柱副參考點B2j-1與B2j間具有距離約束

式中,Δd為根據(jù)圓柱副結(jié)構(gòu)設(shè)定的距離閾值。

參考點P在定系∑中的坐標矢量為

點Di在動系σ中的坐標矢量為

式中,a為機構(gòu)立方體動平臺邊長的1/2;b為機構(gòu)立方體動平臺同一表面上兩球鉸中心距的1/2。

當用Z-Y-Z型歐拉角(α,β,γ)描述動平臺的旋轉(zhuǎn)運動時,其姿態(tài)矩陣為

其中,Sα=sinα,Cα=cosα,其余類似。

點D i在定系∑中的坐標矢量為

2.1 轉(zhuǎn)動輸入為主驅(qū)動時的位置分析

已知6個C副的轉(zhuǎn)動驅(qū)動角θi,求動平臺參考點P 的坐標(XP,YP,ZP)及歐拉角(α,β,γ)即為位置正解。

點Ci在定系∑中的坐標矢量為

根據(jù)桿長約束條件有

將式(13)、式(15)代入式(16),并注意到式(14),得

式(17)～式(19)即為轉(zhuǎn)動輸入為主驅(qū)動時的位置正解方程組。因該組方程為強耦合非線性方程組,故其求解較困難,本文應用自適應逃逸差分進化算法求解。待求出位置正解后,將之代入式(13),并結(jié)合式(14),可求出6個C副的直線位移d i。

已知動平臺參考點P的坐標(XP,YP,ZP)及歐拉角(α,β,γ),求 6個 C 副轉(zhuǎn)動驅(qū)動角 θi即為并聯(lián)機構(gòu)的位置反解。將式(17)～式(19)整理為

式中,Ui、Vi、Wi可由機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和動平臺位姿參數(shù)表示出(限于篇幅,此處略去其詳細表達式)。

由式(20)解得

式(21)即為機構(gòu)的位置反解,共有 64組反解。

2.2 移動輸入為主驅(qū)動時的位置分析

已知6個C副的直線驅(qū)動位移d i,求動平臺參考點 P 的坐標(XP,YP,ZP)及歐拉角(α,β,γ)即為位置正解。

聯(lián)立式(13)、式(14),得

將式(22)整理為

其中,0＜ d/(2b)≤τj≤1,j=1,2,3。

(1)τ2=1的情形。若 τ2=1,則 β =0,動平臺的姿態(tài)角為繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角,即為α+γ(此時必須有τ1=τ3,否則無解)。可由式(23)解得 α+γ=arccosτ1。

(2)τ2≠1的情形。由式(23)解得

將式(24)代入式(22),很容易求得動平臺參考點P的坐標(XP,YP,ZP)。

已知動平臺參考點P的坐標(XP,YP,ZP)及歐拉角(α,β,γ)時,由式(22)求出6個C副移動驅(qū)動位移di即為位置反解。以移動輸入為主驅(qū)動時,該機構(gòu)僅有1組位置反解。

3 轉(zhuǎn)動輸入為主驅(qū)動時位置正解的自適應逃逸差分進化算法

差分進化算法(differential evolution,DE)是Storn等[11]于1995年提出的一種新型進化算法,作為一種性能卓越的優(yōu)化工具,已被應用于機構(gòu)優(yōu)化綜合[12]及并聯(lián)機構(gòu)位置正解的求解[13]等領(lǐng)域,取得了較好結(jié)果。為改進基本 DE(simple DE,SDE)的尋優(yōu)效率,提出一種基于混沌的自適應逃逸差分進化算法(adaptive escape differential evolution,AEDE)。

3.1 AEDE算法

不失一般性,本文僅考慮全局最小化問題

其中,Φ(x)為目標函數(shù),Ω為解空間(約束域),x=(x1,x2,…,xK)T∈ Ω為優(yōu)化變量,K為優(yōu)化變量的維數(shù)。優(yōu)化變量x的上、下界約束向量分別

DE的控制參數(shù)為種群規(guī)模N pop、縮放因子F及交叉因子 Pcro。記進化至第 t代的種群為對應于式(25)的優(yōu)化變量,以目標函數(shù)Φ(x)作為適應度函數(shù);直至第t代的全局最優(yōu)個體為不同SDE的區(qū)別在于采取不同的差分策略實現(xiàn)變異操作,常見策略有[11]：DE/rand/1/bin 、DE/rand-to-best/1/bin 、DE/best/2/bin(依次簡記為 DER1、DERB1、DEB2)。對于并聯(lián)機構(gòu)位置正解問題,采用DEB2策略的SDE性能最好,因此本文的AEDE按DEB2策略進行變異。首先給出種群陷入局部最優(yōu)區(qū)域的判據(jù),再描述AEDE的基本步驟。

大量實驗表明,當x best連續(xù)Δt代未更新(通常取Δt=15～20),種群多樣性迅速降低,個體明顯趨同。若仍按原來的策略進化,群體已很難逃離xbest的鄰域,出現(xiàn)早熟收斂。

定義2 當x best未達到預設(shè)精度且連續(xù)Δt代未更新,則認為種群陷入局部最優(yōu)區(qū)域。

AEDE的基本思想是：當種群陷入局部最優(yōu)區(qū)域時,用混沌方法生成若干新個體取代xbest鄰域內(nèi)的個體,并將{xbest,Φ(xbest)}的信息清空后再重置,使群體逃離局部最優(yōu)區(qū)域繼續(xù)尋找全局最優(yōu)解。為防止最優(yōu)信息丟失,另設(shè)記憶單元{mbest,Φ(mbest)}記錄目前搜索到的最優(yōu)個體。即每次更新x best后,都將 Φ(x best)與 Φ(m best)比較,若 Φ(xbest)更小,則用{xbest,Φ(xbest)}取代{mbest,Φ(m best)}。

由于Kent映射生成的混沌序列分布均勻,具有良好的遍歷性[14],因此本文將其引入群體逃逸操作。Kent映射的表達式為[14]

式中,常數(shù)μ∈(0,1),且μ≠0.5,本文取μ=0.4;

根據(jù)具體問題設(shè)置鄰域半徑σneigh,若

則用基于Kent映射式(26)的混沌算子生成新個體取代 xn′。

AEDE是將群體逃逸操作自適應嵌入SDE形成的一種混合算法,其基本流程如下。

(1)初始化。設(shè)置控制參數(shù) N pop、F、P cro、T(最大進化代數(shù))、Δt、εpop、σneigh、t=0;初始化種群并評價每個個體。其中,rand()為(0,1)范圍內(nèi)均勻分布的隨機數(shù)。

(3)終止檢驗。如果滿足終止準則,則輸出結(jié)果并停止;否則,執(zhí)行(4)。

(4)群體逃逸。若全局最優(yōu)個體xbest連續(xù)Δt代未更新,則在(0,1)范圍內(nèi)隨機生成K維初始向量,然后按式(26)迭代生成混沌向量序列(若干新個體),再依次用這些新個體取代x best鄰域內(nèi)的個體。并將 xbest及其適應度等信息清空后再重置。

3.2 基于AEDE的機構(gòu)位置正解

求解時,對尋優(yōu)變量進行歸一化處理,使所有變量均在[0,1]范圍內(nèi)尋優(yōu),即將尋優(yōu)變量 xi按下式映射至實際取值區(qū)間,再應用式(28)計算個體的適應度：

4 6-CRS并聯(lián)機器人機構(gòu)位置正解實例

已知機構(gòu)尺度參數(shù)：l1=80mm,l2=120mm,a=35mm,b=25mm,c=190mm,Δd=30mm。以6個C副中的轉(zhuǎn)動輸入為主驅(qū)動,各驅(qū)動角求機構(gòu)位置正解 。

應用AEDE求機構(gòu)位置正解的控制參數(shù)：N pop=30,T=500,F=0.5,P cro=0.9,Δt=時,本文認為xbest在第t+1代未更新。設(shè)置待求變量的實際取值范圍：XP,YP,ZP∈[-2c,2c],α,β,γ∈ [-π,π],可接受誤差εaccept=10-10。獨立運行AEDE 200次(全部收斂),得到16組不同位置正解(表1),達到可接受誤差的平均進化代數(shù)為199.2代。

文獻[13]應用DER1求Stewart機構(gòu)位置正解的控制參數(shù)為：N pop=200,T=1 500,εaccept=10-4,達到可接受誤差的平均進化代數(shù)為548.4代。與文獻[13]相比,本文方法計算量更小、速度更快、精度更高。

表1 實例的16組實數(shù)位置正解

由式(9)可知,第10～16組解的支鏈間會發(fā)生圓柱副干涉(表1粗體數(shù)據(jù)),應舍棄;其余各組解支鏈間不發(fā)生干涉,但由初始位姿只能到達第1～3組解確定的位姿。

對所有正解進行驗證,即應用式(21)求反解。反解結(jié)果中正好有1組與驅(qū)動輸入吻合,表明本文方法是正確的。

為了評價AEDE在并聯(lián)機構(gòu)位置正解中的計算性能,將該算法與 3種 SDE(分別采用DER1、DERB1、DEB2 變異策略)、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)進行了對比測試。實驗環(huán)境：Intel CoreTM2-1.66GHz CPU,2GB RAM,WinXP OS,MATLAB6.5編程。5種算法的可接受誤差均為 εaccept=10-10。SDE中,除 DETR1的 Pcro=0.6外,其余參數(shù)與AEDE相同;PSO與DE類似,仍在[0,1]范圍內(nèi)尋優(yōu),N pop=30,T=500,慣性權(quán)重w線性遞減,w max=1.2,w min=0.1,粒子最大飛行速度v max=0.3,加速度常數(shù)C1=C2=1.8。5種算法的種群規(guī)模、最大進化代數(shù)均相同,因此適應度函數(shù)的評價次數(shù)相同,耗時基本相當。表2給出了5種算法對于位置正解問題50次隨機獨立計算的統(tǒng)計結(jié)果,最優(yōu)指標加粗顯示。5種算法50次隨機獨立計算的最優(yōu)目標函數(shù)平均值進化曲線如圖3所示。

表2 位置正解中5種算法的統(tǒng)計結(jié)果比較

圖3 位置正解中5種算法的進化曲線比較

從上面的計算結(jié)果可以看出,AEDE除最優(yōu)目標值與DEB2同為最好、平均耗時略長外,其余指標均優(yōu)于其他4種算法。筆者還測試了其他驅(qū)動角條件下的位置正解問題,統(tǒng)計結(jié)果與表2接近。由此可知,AEDE在克服早熟收斂、計算精度和魯棒性等方面均具有明顯優(yōu)勢。

5 結(jié)論

(1)提出了一種新型6-CRS廣義Stewart并聯(lián)機器人機構(gòu),并應用螺旋理論分別分析了以C副中的轉(zhuǎn)動和線性移動作為主動輸入的合理性。分別建立了以轉(zhuǎn)動和移動輸入為主驅(qū)動時的機構(gòu)位置正解非線性方程組,并推導了以移動輸入為主驅(qū)動時的位置正解封閉表達式。

(2)將混沌逃逸算子融入SDE形成混合差分進化算法——AEDE,并應用該混合算法求以轉(zhuǎn)動輸入為主驅(qū)動時的機構(gòu)位置正解非線性方程組。測試結(jié)果表明AEDE在成功率、計算精度等方面均明顯高于PSO、SDE算法。

(3)利用數(shù)值方法對機構(gòu)的位置正反解進行了驗證：根據(jù)已知轉(zhuǎn)動輸入求出機構(gòu)的所有位置正解;再分別以每組位置正解作為已知動平臺位姿,反解出相應的轉(zhuǎn)動輸入,其中一組位置反解與已知轉(zhuǎn)動輸入相同。證明該正解的求解過程是正確的。

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