胡甚林 陳辛波

同濟(jì)大學(xué),上海,201804

0 引言

單斜臂式懸架又稱斜置單臂式獨(dú)立懸架(semi-trailing arm suspension),是介于單橫臂式懸架和單縱臂式懸架之間的一種懸架結(jié)構(gòu)形式,單斜臂式懸架中車輪與制動(dòng)器總成和斜臂固連在一起,因此適用于非轉(zhuǎn)向輪橋或后輪驅(qū)動(dòng)汽車的后橋上。單斜臂懸架的斜臂圍繞一根與汽車縱軸成一定夾角的空間軸線擺動(dòng),通過(guò)適當(dāng)?shù)夭贾眯北坌D(zhuǎn)軸線的空間位置,可以對(duì)車輪上下彈跳時(shí)輪距、車輪外傾角、車輪前束角這些參數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行調(diào)節(jié)以獲取滿意的車輛操控性能。在20世紀(jì)80年代一些歐洲汽車制造商就已經(jīng)將這種懸架形式用在后輪驅(qū)動(dòng)轎車后橋上,并廣泛出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)型轎車的設(shè)計(jì)中。此種懸架是一種經(jīng)典的轎車后懸架結(jié)構(gòu)形式[1]。由于單斜臂式懸架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊,并且彈簧和減振器布置空間上的自由度較大,使用在輪轂電機(jī)驅(qū)動(dòng)的微型電動(dòng)車上可以避免彈性元件與體積較大的輪邊電機(jī)或減速器發(fā)生干涉所帶來(lái)的布置上的難題。

一般懸架設(shè)計(jì)中常將懸架機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析與剛度阻尼計(jì)算,這種方法存在不夠精確、無(wú)法準(zhǔn)確揭示懸架等效剛度及阻尼系數(shù)在車輪彈跳過(guò)程中的變化規(guī)律的問(wèn)題。本文將采用空間機(jī)構(gòu)的理論對(duì)單斜臂式懸架的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo),在此基礎(chǔ)上進(jìn)行受力分析,得到懸架等效剛度和阻尼系數(shù)與懸架彈性元件和減振器之間的精確關(guān)系,并據(jù)此編寫懸架設(shè)計(jì)計(jì)算程序,可以高效應(yīng)用于單斜臂式懸架的實(shí)際設(shè)計(jì)過(guò)程中。

1 單斜臂式懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

單斜臂式懸架結(jié)構(gòu)以斜臂作為導(dǎo)向元件,通常圍繞一根空間軸線運(yùn)動(dòng),如圖1所示。懸架斜臂繞空間軸線AB轉(zhuǎn)動(dòng),A、B為斜臂與車架之間的鉸接點(diǎn),車輪只有繞車輪軸線旋轉(zhuǎn)的一個(gè)自由度,因此可以將其與斜臂視為一個(gè)剛體?？臻g軸線AB的定位關(guān)系由斜臂與車身鉸接點(diǎn)A在車輛坐標(biāo)系內(nèi)位置以及AB軸線在左視圖及俯視圖上投影與坐標(biāo)軸之間的夾角來(lái)確定。圖1中懸架機(jī)構(gòu)在以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸方向與車輛坐標(biāo)系相同且固定在車身上的坐標(biāo)系 Axyz中定位,則軸線AB在yz平面內(nèi)投影與y軸的夾角為α,在xy平面內(nèi)的投影與y軸夾角為β。顯然由這兩個(gè)角度便可以確定AB軸在空間內(nèi)的位置,而軸線AB在xz平面內(nèi)投影與x軸夾角為

圖1 單斜臂懸架機(jī)構(gòu)圖

P點(diǎn)為車輪接地點(diǎn),由圖1所示位置關(guān)系,靜載平衡時(shí)P點(diǎn)在Axyz坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為(-a,b,-c-r),r是車輪半徑;O為車輪中心點(diǎn),坐標(biāo)為(-a,b,-c)。螺旋彈簧和減振器安裝位置K、J和Q、R的坐標(biāo)分別由減振器和螺旋彈簧的空間布置所決定,其中K、Q為車身上的鉸接點(diǎn),J、R為懸架斜臂上的鉸接點(diǎn)。

為了確定懸架斜臂上的點(diǎn)在懸架運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的空間位置,引入坐標(biāo)系變換方法。

懸架上下跳動(dòng)時(shí)P點(diǎn)在固定的坐標(biāo)系A(chǔ)xyz里的位置將發(fā)生改變,這與斜臂轉(zhuǎn)動(dòng)的角度有關(guān)。彈性元件和減振器與懸架鉸接點(diǎn)J、R在Axyz坐標(biāo)系里的位置也將發(fā)生改變,螺旋彈簧和減振器作用力方向亦會(huì)產(chǎn)生變化。懸架剛體及車身上任意一點(diǎn)在坐標(biāo)系 Axyz內(nèi)的位置矢量可用向量r=(x,y,z)T表示。

如圖1中懸架結(jié)構(gòu)俯視圖所示,將Axyz坐標(biāo)系繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一角度(90°-β)得到以A為坐標(biāo)原點(diǎn)的另一固定于車身上的坐標(biāo)系A(chǔ)x i y i z i,則同一點(diǎn)的坐標(biāo)在 Axyz坐標(biāo)系與Ax i y i z i坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系為

因此可以得到從 Axyz到 Axiyizi的坐標(biāo)變換矩陣：

若已知點(diǎn)在 Axyz坐標(biāo)系內(nèi)的位置矢量,則可求得其在Ax i y i z i坐標(biāo)系內(nèi)的位置矢量：

即已知點(diǎn)在Ax i y i z i坐標(biāo)系內(nèi)的位置矢量,通過(guò)逆變換矩陣C-1i可以得到 Axyz坐標(biāo)系內(nèi)相應(yīng)位置矢量。

將Axiyizi坐標(biāo)系繞xi軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)θ角度后得到一個(gè)新的固連于車身的坐標(biāo)系A(chǔ)x j y j z j,并且使yj軸與斜臂軸線AB重合。由圖2的空間位置關(guān)系可以得到坐標(biāo)系A(chǔ)x i y i z i轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ可表示為

因而可得由Ax i y i z i到Ax j y j z j的坐標(biāo)變換矩陣C ij：

圖2 斜臂軸在車身坐標(biāo)系各坐標(biāo)平面上的投影

經(jīng)過(guò)兩次坐標(biāo)變換后任意一點(diǎn)在Ax j y j z j坐標(biāo)系中位置矢量r j為

車輪上下跳動(dòng)時(shí)斜臂繞AB軸線轉(zhuǎn)動(dòng),因此建立一個(gè)與斜臂固連的坐標(biāo)系A(chǔ)x k y k z k。當(dāng)懸架處在靜載平衡位置時(shí),固定在斜臂上的坐標(biāo)系 Ax k y k z k和Ax j y j z j重合,當(dāng)車輪上下跳動(dòng),斜臂繞 AB軸轉(zhuǎn)動(dòng),Ax k y k z k相對(duì) Ax j y j z j坐標(biāo)系會(huì)有一個(gè)轉(zhuǎn)角φ(圖3),相當(dāng)于將 Ax j y j z j坐標(biāo)系沿y j軸轉(zhuǎn)動(dòng) φ角度得到Ax k y k z k坐標(biāo)系,可得坐標(biāo)系變換矩陣：

圖3 Axj yj zj坐標(biāo)系變換為Ax k y k z k坐標(biāo)系

當(dāng)系統(tǒng)處于平衡位置時(shí),φ=0,因此有

這樣可以得到車身上某一點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)xkykzk內(nèi)的位置矢量：

而斜臂上一點(diǎn)在Ax k y k z k內(nèi)的位置矢量不會(huì)隨坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生變化：

通過(guò)以上坐標(biāo)變換的方式可得出,當(dāng)斜臂轉(zhuǎn)動(dòng)φ角度時(shí),斜臂上任一點(diǎn)在固定于車身上的坐標(biāo)系A(chǔ)xjyjzj、Axiyizi、Axyz中的位置矢量分別為

2 懸架等效剛度計(jì)算

懸架的等效剛度和簧載質(zhì)量一起決定了懸架的偏頻 f,f是影響汽車行駛平順性、操縱穩(wěn)定性以及靜載時(shí)底盤離地高度的重要參數(shù)。懸架等效剛度的定義為車輪接地點(diǎn)受到的地面垂直作用力隨車輪垂向位移的變化率。在使用螺旋彈簧作為彈性元件的單斜臂式懸架中,懸架等效剛度會(huì)隨車輪垂向位移發(fā)生改變,呈現(xiàn)出非線性的特點(diǎn),會(huì)對(duì)車輛的各種行駛性能產(chǎn)生影響,在懸架的設(shè)計(jì)中必須考慮到這一因素。下面將對(duì)單斜臂式懸架中彈簧剛度和懸架等效剛度之間的換算關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。

2.1 車輪垂直位移

由懸架幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)得到的車輪接地點(diǎn)P在Axyz坐標(biāo)系內(nèi)的位置矢量r P=(-a,b,-cr)T,由式(8)、式(11)得到P點(diǎn)在固定于斜臂上的坐標(biāo)系A(chǔ)x k y k z k的位置矢量：

由式(12)得到斜臂繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)φ角度時(shí)P點(diǎn)在Axyz坐標(biāo)系中的位置為

據(jù)此便可求出車輪接地點(diǎn)的垂向位移為z′P(φ)。

2.2 懸架受力分析

在懸架受力分析中忽略懸架構(gòu)件運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的慣性力。

螺旋彈簧在斜臂上安裝點(diǎn)R在Axkykzk坐標(biāo)系中的位置為

由式(10)得到螺旋彈簧在車身上的安裝點(diǎn)Q在Ax k y k z k坐標(biāo)系中的位置為

在知道了彈簧安裝點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)后就可得到彈簧力在Ax k y k z k坐標(biāo)系內(nèi)的表達(dá)式：

式中,ks、l0分別為螺旋彈簧的剛度和初始長(zhǎng)度,是未知量為沿彈簧力作用方向的單位矢量彈簧受壓時(shí)方向?yàn)檎?/p>

彈簧力F k QR(φ)在斜臂上的作用點(diǎn)為R,對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)A進(jìn)行取矩,則力矩矢量為

因?yàn)樾北壑荒芾@AB軸轉(zhuǎn)動(dòng),斜臂受力平衡時(shí)車輪受到地面垂向載荷對(duì)AB軸之力矩和彈簧力對(duì)AB軸之力矩相等,所以只要知道彈簧力對(duì)AB軸的力矩大小MAB即可,而彈簧力FkQR(φ)對(duì)A點(diǎn)力矩在y k軸方向的分量即為其對(duì)AB軸的力矩大小,因此MAB=MAy。

假設(shè)車輪只受地面垂向力的作用,車輪接地點(diǎn)P處受力為F z(φ),懸架在壓縮或者伸長(zhǎng)行程中地面垂向力大小發(fā)生變化(是斜臂擺角φ的函數(shù));當(dāng)φ=0時(shí)懸架處于靜載平衡位置,F z(0)等于簧載質(zhì)量mg。由于Fz方向始終垂直于地面,因此Fz對(duì)AB軸的力矩就是Fz到Ayjzj平面的距離(即x′j P)乘上Fz在z j軸上投影長(zhǎng)度,方向沿y k軸的負(fù)方向。

由以上分析可列出作用在斜臂上的外力對(duì)AB軸的力矩平衡方程：

2.3 等效剛度計(jì)算

由懸架等效剛度的定義,可得其表達(dá)式為

人體所習(xí)慣的垂直振動(dòng)頻率約為1～1.6Hz。車身振動(dòng)的固有頻率應(yīng)接近或處于人體適應(yīng)的頻率范圍,才能滿足舒適度要求[2],因此在懸架設(shè)計(jì)時(shí)要匹配簧載質(zhì)量和靜載平衡位置處的懸架等效剛度,以保證懸架振動(dòng)固有頻率在合適的范圍內(nèi)。

懸架偏頻 f的表達(dá)式為

由汽車平順性所要求的懸架偏頻及簧載質(zhì)量可以得到靜載平衡位置處懸架等效剛度為

根據(jù)受力平衡和等效剛度條件,由式(19)、式(20)可列出以下方程組：

求解式(23)可得彈簧剛度k s和彈簧初始長(zhǎng)度l0這兩個(gè)參數(shù),然后將其代入式(19),可得車輪接地點(diǎn)P處受到的地面垂直作用力Fz與斜臂轉(zhuǎn)動(dòng)角度φ的關(guān)系。

取一系列斜臂轉(zhuǎn)動(dòng)角度φ計(jì)算出相應(yīng)的F z以及z′P(φ)的值,作垂直反力Fz關(guān)于車輪接地點(diǎn)垂直位移z′P的曲線,由曲線的斜率可以得到懸架等效剛度kP關(guān)于車輪垂直位移的變化曲線。

3 懸架阻尼系數(shù)計(jì)算

在懸架性能參數(shù)中與汽車行駛平順性有關(guān)的另一參數(shù)為懸架阻尼系數(shù)。下面對(duì)懸架阻尼系數(shù)和減振器阻尼系數(shù)之間的換算關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。

由減振器在車身上的安裝位置K在Axyz坐標(biāo)系中位置rK=(xK,yK,zK)T可以得到K點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)x k y k z k的位置矢量：

減振器的另一安裝位置J固連于斜臂上,因此J點(diǎn)在Ax k y k z k坐標(biāo)系內(nèi)的位置為

因此減振器長(zhǎng)度為

按功能原理,可寫出懸架垂向阻尼系數(shù)δP與減振器阻尼系數(shù)δr的關(guān)系[3]：

靜載平衡位置處的懸架阻尼系數(shù)由下式計(jì)算可得：

式中,δ0為相對(duì)阻尼系數(shù),懸架設(shè)計(jì)中一般取為0.25～0.5。

得到減振器阻尼系數(shù)δr為

因此,懸架垂向阻尼系數(shù)δP關(guān)于斜臂轉(zhuǎn)角φ的函數(shù)為

與懸架的等效剛度變化曲線類似,可作出懸架阻尼系數(shù)δP關(guān)于車輪接地點(diǎn)垂直位移z P的變化曲線,供進(jìn)一步分析懸架性能使用。

4 計(jì)算程序設(shè)計(jì)

借助于MATLAB軟件強(qiáng)大的矩陣和符號(hào)計(jì)算能力,可以使上述大量空間坐標(biāo)系變換運(yùn)算的工作量大為減少,提高設(shè)計(jì)效率,使得懸架設(shè)計(jì)中的反復(fù)優(yōu)化成為可能。筆者在以上的推導(dǎo)結(jié)果基礎(chǔ)上編寫了懸架設(shè)計(jì)計(jì)算程序,現(xiàn)簡(jiǎn)要介紹使用此程序進(jìn)行懸架設(shè)計(jì)計(jì)算的步驟。

4.1 參數(shù)輸入

(1)整車性能參數(shù)：簧載質(zhì)量m,懸架偏頻f,相對(duì)阻尼系數(shù)δ0(靜載平衡位置)。

(2)由整車布置與懸架性能要求確定的懸架幾何結(jié)構(gòu)參數(shù) a、b、c、r、α、β,彈簧與減振器安裝位置K 、J、Q、R 的坐標(biāo)值(圖1)。

4.2 懸架彈性元件與減振器參數(shù)計(jì)算

(1)根據(jù)式(14)～式(16)求得P、Q、R點(diǎn)分別在Axyz、Ax k y k z k坐標(biāo)系中位置矢量的符號(hào)表達(dá)式。

(2)由平衡位置處的垂向載荷以及懸架偏頻設(shè)計(jì)要求求解式(23),得到彈簧剛度k s和彈簧初始長(zhǎng)度l0。

(3)由式(24)、式(25)確定 K、J點(diǎn)在Ax k y k z k坐標(biāo)系中位置矢量的符號(hào)表達(dá)式,并得到減振器長(zhǎng)度lKJ的表達(dá)式。

根據(jù)式(29),由平衡位置處懸架阻尼系數(shù)確定減振器阻尼系數(shù)δr,并由式(30)求得懸架阻尼系數(shù)δP的表達(dá)式。

4.3 懸架特性仿真輸出

根據(jù)計(jì)算結(jié)果,按設(shè)定的步長(zhǎng)取一系列斜臂轉(zhuǎn)動(dòng)角度 φ,計(jì)算出相應(yīng)的Fz、δP以及z′P的值,分別作垂直反力Fz與懸架阻尼系數(shù)δP關(guān)于車輪接地點(diǎn)垂直位移z′P的變化曲線,并計(jì)算Fz-z′P曲線斜率,得到懸架等效剛度kP-z′P變化曲線。

5 懸架虛擬樣機(jī)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證計(jì)算程序的正確性,在ADAMS軟件中建立了同樣參數(shù)的單斜臂懸架模型,通過(guò)對(duì)車輪接地點(diǎn)處施加一個(gè)垂直位移運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真,分別得到地面垂直反力Fz、懸架等效剛度kP、懸架阻尼系數(shù)δP關(guān)于車輪接地點(diǎn)垂直位移的變化曲線,并在ADAMS仿真結(jié)果之上疊加計(jì)算程序的輸出數(shù)據(jù)。

5.1 地面垂直反力Fz

圖4為地面垂向載荷大小與車輪垂向位移的關(guān)系。由于仿真時(shí)車輪上跳的速度會(huì)產(chǎn)生阻尼力,因此仿真過(guò)程中將模型中減振器的阻尼系數(shù)設(shè)為零。

圖4 地面垂向載荷大小與車輪垂向位移的關(guān)系

5.2 懸架等效剛度kP

對(duì)圖4中的曲線求斜率,可以獲得圖5所示的懸架等效剛度變化曲線。

從圖5中可以看出,懸架在壓縮和伸長(zhǎng)行程中剛度會(huì)發(fā)生明顯的變化,即懸架剛度具有非線性特性。

圖5 等效剛度kP隨位移車輪垂向位移的變化

5.3 阻尼系數(shù)δP

為了測(cè)出懸架的等效阻尼系數(shù)大小,把彈簧剛度設(shè)為零,并對(duì)車輪施加一個(gè)單位速度的垂向運(yùn)動(dòng),測(cè)出加載此運(yùn)動(dòng)所需要力的大小就是懸架的等效阻尼系數(shù)δP。圖6示出了阻尼系數(shù)δP隨車輪垂向位移的變化。

圖6 阻尼系數(shù)δP隨車輪垂向位移的變化

從以上仿真結(jié)果可以看出ADAMS軟件與MATLAB軟件測(cè)出的阻尼系數(shù)變化曲線完全吻合,證明了懸架設(shè)計(jì)計(jì)算程序輸出結(jié)果的正確性。

6 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)單斜臂式懸架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了建模,運(yùn)用空間坐標(biāo)系變換的手段分析了懸架的運(yùn)動(dòng),對(duì)單斜臂式懸架剛度和阻尼系數(shù)特性進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo),在此基礎(chǔ)上使用MATLAB編寫了用來(lái)計(jì)算懸架彈性元件剛度與減振器阻尼系數(shù)以及懸架特性仿真的程序,并在ADAMS環(huán)境中建立了單斜臂式懸架模型,對(duì)MATLAB程序計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。本文的工作為此種懸架的實(shí)際設(shè)計(jì)提供了實(shí)用的結(jié)論與工具。

[1] 野崎博路.サスチューニングの理論と実際[M].東京都文京區(qū)：山海堂,2000.

[2] 劉惟信.汽車設(shè)計(jì)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2001.

[3] 馮春晟,陳辛波.雙橫臂-螺旋彈簧懸架受力及剛度阻尼特性非線性分析[J].汽車技術(shù),2007(9)：7-11.