鄧超公，趙燕冰

(張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北張家口 075000)

數(shù)學(xué)哲學(xué)中的直覺(jué)主義學(xué)派高度重視直覺(jué)和個(gè)人的創(chuàng)造性思維在科學(xué)實(shí)踐中的作用，這具有積極意義。直覺(jué)主義的思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，古代的數(shù)學(xué)家較之現(xiàn)代人更多更頻繁地訴諸直覺(jué)，他們側(cè)重直觀的圖形分析和計(jì)算，而較少用純邏輯的演繹推理。即使是被譽(yù)為公理化楷模的歐幾里德的《幾何原本》，其基本概念和大部分公理、公設(shè)也具有直觀的自明性。[1]

我們?cè)诟呗氃盒Ｖv授高等數(shù)學(xué)課面臨的首要問(wèn)題，是學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的厭倦情緒和畏難情緒。如何使對(duì)數(shù)學(xué)方法的探究與實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)更為緊密地聯(lián)系起來(lái)，克服學(xué)生的不良學(xué)習(xí)情緒，無(wú)疑是廣大數(shù)學(xué)教師特別關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題。數(shù)學(xué)方法對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的積極意義主要在于：以數(shù)學(xué)方法為指導(dǎo)去進(jìn)行具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)有助于我們將數(shù)學(xué)課“講活”、“講懂”和使學(xué)生“會(huì)用”，而對(duì)于高職院校“會(huì)用”是開(kāi)設(shè)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課的目的。

在高職院校所謂將高等數(shù)學(xué)課“講活”，是指教師應(yīng)通過(guò)自己的教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生展現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的“活生生的”研究性和實(shí)用性而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)；所謂將數(shù)學(xué)課“講懂”，則是指教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生直觀、形象地理解高等數(shù)學(xué)而不是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，更不能死記硬背；所謂“會(huì)用”是指教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅使學(xué)生能夠解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且也應(yīng)幫助學(xué)生領(lǐng)悟使用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的思想，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想解決本專業(yè)的實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想從而能夠解決實(shí)際問(wèn)題是每一個(gè)數(shù)學(xué)教師的中心任務(wù)。

在高職院校講授高等數(shù)學(xué)課時(shí)，教學(xué)中的重點(diǎn)應(yīng)放在努力培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的直覺(jué)能力上，盡量弱化邏輯推理。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的直覺(jué)能力應(yīng)該遵循以下的方法論原則：

1 掌握關(guān)鍵性原則，避免細(xì)而全原則

2 注重運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的一般化原則，避免特殊化原則

3 充分重視數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)稱性原則，避免知識(shí)單一化原則

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，知識(shí)的對(duì)稱性對(duì)于學(xué)生舉一反三，將知識(shí)推廣應(yīng)用有著不可替代的作用。單一化或簡(jiǎn)單化只能使學(xué)生讀死書(shū),掌握一些死的數(shù)學(xué)知識(shí)。

4 實(shí)行開(kāi)放性原則，避免封閉性原則

高職院校講授高等數(shù)學(xué)課的目的是為專業(yè)服務(wù)，使學(xué)生具備初步、必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。所以高職院校開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)課就要向?qū)I(yè)課開(kāi)放，向生產(chǎn)實(shí)際開(kāi)放，了解數(shù)學(xué)知識(shí)在專業(yè)課或生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用；避免將數(shù)學(xué)課封閉，只顧數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)，不管數(shù)學(xué)知識(shí)的去向，使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)無(wú)用的想法。

5 講授高等數(shù)學(xué)應(yīng)利用直觀性原則，避免抽象性原則

高職院校開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)課的基本目的是使學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識(shí)去解決專業(yè)問(wèn)題。所以學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)要充分利用圖像的直觀性來(lái)理解理論的抽象性。例如函數(shù)的連續(xù)性學(xué)生從課本給出的概念來(lái)理解是比較困難的，但從函數(shù)圖像上來(lái)理解實(shí)在是簡(jiǎn)單不過(guò)了。

6 講授高等數(shù)學(xué)應(yīng)始終貫穿夠用為度原則

高職院校高等數(shù)學(xué)課的服務(wù)性不容忽視，離開(kāi)其服務(wù)性去講高等數(shù)學(xué)只能將學(xué)生帶到云里霧里而不知所措。夠用為度就是指講高等數(shù)學(xué)課不要“深講、展開(kāi)講”，而是使學(xué)生能夠用它解決專業(yè)問(wèn)題即可。

例如函數(shù)極限概念的嚴(yán)格定義為：如果存在常數(shù)A，使得對(duì)于任意給定的小正數(shù)ε(無(wú)論它多么小)，總存在正數(shù)δ，只要f(x)的定義域中的點(diǎn)滿足不等式0<|x-x0|<ε，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)就能滿足|f(x)-A|<δ，那么常數(shù)A就稱作函數(shù)y=f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限。[2]對(duì)于基礎(chǔ)相對(duì)較差的高職學(xué)生，理解這樣的定義極其困難，也沒(méi)有必要，因?yàn)槎虝r(shí)間內(nèi)學(xué)生不會(huì)用它。而描述性定義：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的左右近旁有定義，若當(dāng)x無(wú)限趨近于x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x無(wú)限趨近于x0時(shí)的極限。后者就是函數(shù)極限的直觀性定義，學(xué)生在理解和使用上是較為容易的，用它解決專業(yè)問(wèn)題基本夠用。

此外，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)能力的重要性。

在高職院校努力培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的直覺(jué)能力，是指培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的直覺(jué)性及利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的直覺(jué)性。我國(guó)的數(shù)學(xué)教育往往偏重于邏輯方法、特別是演繹推理能力的培養(yǎng)，而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的直覺(jué)能力更加具有現(xiàn)實(shí)性和緊迫性。考慮到高職院校的學(xué)生特點(diǎn)和專業(yè)特性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的直覺(jué)能力也就顯得尤為重要。作為教師必須肯定直覺(jué)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和發(fā)展中的作用。事實(shí)上，任何邏輯方法的應(yīng)用都必須輔以直覺(jué)的判斷。例如在應(yīng)用類比法引出新的數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)，我們必然地用到了直覺(jué)判斷。如在由x2+y2≥2xy聯(lián)想x3+y3+z3≥3xyz時(shí)，其中3xyz的系數(shù)3的確定顯然就建立在直覺(jué)的判斷之上。[3]正如阿達(dá)瑪所指出的“幾乎不存在純粹邏輯的發(fā)現(xiàn)，某種源于無(wú)意識(shí)的直覺(jué)對(duì)于邏輯活動(dòng)來(lái)說(shuō)至少是一個(gè)必要的促進(jìn)?！?/p>

當(dāng)然我們也清楚地看到直覺(jué)對(duì)于邏輯的依賴性。彭加勒關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)明有一個(gè)“四階段說(shuō)”，按照彭加勒的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造歸結(jié)為如下四個(gè)階段：準(zhǔn)備——醞釀——明朗(頓悟)——檢驗(yàn)。[4]其中，檢驗(yàn)的階段屬于論證的范疇。高等數(shù)學(xué)的正確性已是經(jīng)前人論證過(guò)的，所以不需要學(xué)生再去論證或推導(dǎo)，只需要他們?nèi)?zhǔn)備和醞釀，然后通過(guò)教師的講解頓悟——頓悟高等數(shù)學(xué)知識(shí)有其實(shí)際背景而不是空中樓閣，頓悟高等數(shù)學(xué)知識(shí)的具體推廣應(yīng)用方法而不是抽象的數(shù)學(xué)游戲。

另一方面，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直覺(jué)感悟、弱化數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯抽象，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣從而掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)的有效途徑之一。

上面談到的兩個(gè)函數(shù)極限的定義，前者具有高度的邏輯抽象性；后者卻有著很強(qiáng)的直覺(jué)性，學(xué)生掌握起來(lái)很容易。從數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度講，直覺(jué)是人類認(rèn)識(shí)自然最原始的沖動(dòng)，在數(shù)學(xué)形成和發(fā)展的過(guò)程中，人們的直覺(jué)起過(guò)重要的作用?？茖W(xué)家們的研究表明：人類早在進(jìn)化的蒙昧?xí)r期，就已經(jīng)具有一種辨數(shù)的能力，可稱為原始直覺(jué)。邏輯主義注重對(duì)已有的數(shù)學(xué)成果作形式化處理，熱衷于對(duì)數(shù)學(xué)作“靜態(tài)的邏輯分析”。直覺(jué)主義則認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種自由的、生機(jī)勃勃的思維活動(dòng)，并高度重視直覺(jué)和個(gè)人的創(chuàng)造性思維在科學(xué)實(shí)踐中的作用，這正是邏輯主義所忽視的。可見(jiàn)直覺(jué)主義自有其合理之處。[1]

高職院校高等數(shù)學(xué)知識(shí)重在一個(gè)“用”字。學(xué)生是否會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決專業(yè)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題應(yīng)該是判斷學(xué)生是否學(xué)好數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，也是判斷教師是否教好這門(mén)課的標(biāo)準(zhǔn)。如何讓學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)進(jìn)而會(huì)應(yīng)用高等數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的直覺(jué)能力是教師教好高等數(shù)學(xué)的一條重要途徑。教師在講授知識(shí)的過(guò)程中要少問(wèn)學(xué)生“為什么”，多講用它“干什么”！直覺(jué)能力的培養(yǎng)要先從數(shù)學(xué)概念著手，教師在講授數(shù)學(xué)概念時(shí)首先要讓學(xué)生從漢語(yǔ)詞義去理解概念，先對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)概念有一個(gè)直覺(jué)的理解，然后再?gòu)臄?shù)學(xué)角度講解。對(duì)數(shù)學(xué)公式的記憶和掌握，要從公式的形式上先有直覺(jué)認(rèn)識(shí)，再?gòu)膽?yīng)用中增強(qiáng)理解；對(duì)數(shù)學(xué)公式直覺(jué)性的培養(yǎng)，就是要培養(yǎng)學(xué)生遇到問(wèn)題憑直覺(jué)就知道用哪個(gè)公式計(jì)算。對(duì)數(shù)學(xué)定理和命題的直覺(jué)性培養(yǎng)也應(yīng)針對(duì)應(yīng)用的直覺(jué)性，在理解上應(yīng)注重定理和命題的實(shí)際背景。高職院校高等數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性很強(qiáng)，這就為知識(shí)本身賦予了很強(qiáng)的直覺(jué)性和趣味性。人為地割裂知識(shí)，將高等數(shù)學(xué)課孤立化、理論化、抽象化是高職院校學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)之大忌！教師在教學(xué)過(guò)程中動(dòng)不動(dòng)就問(wèn)學(xué)生“為什么”而不管要“干什么”，更是高職院校講授高等數(shù)學(xué)知識(shí)之大忌！

參考文獻(xiàn)：

[1]馮棉.論數(shù)學(xué)哲學(xué)中的直覺(jué)主義思想[J].上海：華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版)，2002，34，(4)：30-36.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.微積分[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]盧正勇.數(shù)學(xué)解題思路[M].福建：福建教育出版社，1980.

[4]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論入門(mén)[M].杭州: 浙江教育出版社，2006.