王麗英

(張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北張家口 075000)

導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問(wèn)題等等的有力工具，它的引入為解決最值問(wèn)題提供了新的視角。本文在求最值問(wèn)題方面，談一點(diǎn)個(gè)人的感悟和體會(huì)。

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極(最)值這類問(wèn)題的方法是：(1)用求導(dǎo)法則求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)。(2)令導(dǎo)數(shù)等于0，得出駐點(diǎn)及其不可導(dǎo)點(diǎn)。(3)用這些點(diǎn)把區(qū)間分成幾個(gè)部分，然后討論函數(shù)的單調(diào)性。(4)求出極值點(diǎn)及其極值。(5)求出區(qū)間端點(diǎn)值與極值進(jìn)行比較，得到最值。

例1：在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子(圖1)。箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？

變式：從一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來(lái)，做成一個(gè)無(wú)蓋的箱子(圖2)，箱子的高是這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的幾分之幾時(shí)，箱子容積最大？

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間。這個(gè)問(wèn)題，是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，在實(shí)際生活中，這樣的例子比較常見(jiàn)，需要建立函數(shù)關(guān)系式，一般沒(méi)有簡(jiǎn)單有效的方法；即使能求解，也要涉及到較高的技能技巧。恰好用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，來(lái)求函數(shù)的最值就比較方便。對(duì)于這一類型的優(yōu)化問(wèn)題，如果所建立的函數(shù)次數(shù)較高，或是由它們經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算得到初等函數(shù)以及它們的復(fù)合函數(shù)等等，都可以比較方便地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求問(wèn)題的最值。

Θ|MA|與|MA|2同時(shí)取到極值。

由f'(x)=(x-2)(x2+2x+6)=0得x=2是唯一的駐點(diǎn)。

當(dāng)x→-∞或x→+∞時(shí)，|MA|→+∞,f(x)→+∞,x=2是f(x)的最小值點(diǎn)，此時(shí)

例3：有甲、乙兩個(gè)城市。甲城市在一直線高速路A處，乙城市與甲城市在高速路的同側(cè)；乙城市位于離高速路40公里的B處，它到高速路的垂足D與A相距50公里；兩城市要在此路邊共建一個(gè)加油站C，從加油站到甲城市和乙城市的費(fèi)用分別為每公里3a元和5a元。問(wèn)加油站C建在路邊何處，才能使費(fèi)用最省?

∴AC=50-40cotθ

設(shè)總的水管費(fèi)用為f(θ)，依題意，有

∴AC=50-40cotθ=20公里，即加油站建在A、D之間距城市甲20公里處，可使費(fèi)用最省。

例4：設(shè)計(jì)一間房子，形狀如下：它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐(如圖3所示)。試問(wèn)當(dāng)房子的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時(shí)，房子的體積最大?

解：設(shè)OO1為xm，則1

故底面正六邊形的面積為：

房子的體積為：

令V'(x)=0，解得x=-2(不合題意，舍去)，x=2。

當(dāng)l0,V(x)為增函數(shù)；

當(dāng)2

∴當(dāng)x=2時(shí)，V(x)最大。

本文主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

根據(jù)題中所給的已知條件，作出合理的幾何圖形，并分析各已知條件之間的關(guān)系，根據(jù)圖形，選定問(wèn)題的變化范圍，建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)關(guān)系，是這種問(wèn)題解決的主要手段。

解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)。把實(shí)際問(wèn)題翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的關(guān)鍵，根據(jù)題中所給條件之間的相互關(guān)系，把問(wèn)題化為常規(guī)問(wèn)題。通過(guò)把主要關(guān)系近似化，形式化，拋開(kāi)實(shí)際意義，抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)意識(shí)以及建立數(shù)學(xué)思想，提高解題的能力。

導(dǎo)數(shù)工具為研究函數(shù)性質(zhì)提供了簡(jiǎn)單化、程序化的數(shù)學(xué)方法，是一種普遍、實(shí)用和可操作的方法。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為解決此類問(wèn)題開(kāi)辟了新的路徑，使過(guò)去證明不等式的方法從繁瑣變?yōu)楹?jiǎn)潔，從特殊技巧變?yōu)橥ㄓ玫姆椒ǎ@示了導(dǎo)數(shù)方法在實(shí)際中運(yùn)用的靈活性、普適性和廣泛性。極值(最值)證明在不等式中的應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化成不等式，轉(zhuǎn)化的方法是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，(建立函數(shù)的思想方法)然后求這個(gè)函數(shù)的極(最)值，應(yīng)用公式或恒等關(guān)系就可以證明。導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，為我們解決有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具，可以解決其中的最值問(wèn)題和不等式問(wèn)題，還可以解決物理和幾何問(wèn)題。因此，在教學(xué)中，要突出導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重要地位。