韓振來，孫書榮，張承慧

(1. 濟(jì)南大學(xué) 理學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250022；2. 山東大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 濟(jì)南250061)

關(guān)于時(shí)間尺度上時(shí)滯動(dòng)力方程解的振動(dòng)性研究目前已有一些研究成果[1-5]。然而，關(guān)于時(shí)間尺度上中立型時(shí)滯動(dòng)力方程解的振動(dòng)性研究剛開始，見文獻(xiàn)[6-10]。

考慮下列形式的時(shí)間尺度上二階中立型時(shí)滯動(dòng)力方程

[r(t)|xΔ(t)|γ-1xΔ(t)]Δ+

q1(t)|y(δ1(t))|α-1y(δ1(t))+

q2(t)|y(δ2(t))|β-1y(δ2(t))=0,

t∈[t0,∞)T

(1)

這里x(t)=y(t)+p(t)y(τ(t))，[t0,∞)T=[t0,∞)∩T是時(shí)間尺度區(qū)間。

在文獻(xiàn)[7-9]中，對(duì)函數(shù)f要求滿足條件|f(t,u)|≥q(t)|uγ|。很明顯，當(dāng)f(t,u)=|uγ-1|u時(shí)，是不滿足條件|f(t,u)|≥q(t)|uγ|的。因此，文獻(xiàn)[7-9]中的結(jié)論是不能應(yīng)用到方程(1)的。方程(1)包含了其他很多重要的方程，研究方程(1)是非常有意義的。

為敘述方便，假設(shè)下面的條件成立：

(A1)α，β和γ是正常數(shù)，且滿足0<α<γ<β；

(A3)p∈Crd([t0，∞)T，R)，0≤p(t)≤1；

(A4)τ，δ1，δ2∈Crd([t0，∞)T，T)，τ(t)≤t，δ1(t)≤t，δ2(t)≤t，t∈[t0,∞)T,且滿足

limt→∞τ(t)=∞，limt→∞δ1(t)=∞，limt→∞δ2(t)=∞；

1 基本引理

首先給出下面兩個(gè)引理，其證明方法參見文獻(xiàn)[6]。

引理1 若y(t)是方程(1)的一個(gè)最終正解，則存在t*∈[t0，∞)T，使得x(t)>0，xΔ(t)≥0，t∈[t*，∞)T，而且

[r(t)|xΔ(t)|γ-1xΔ(t)]Δ≤

-q1(t)((1-p(δ1(t)))x(δ1(t)))α-

q2(t)((1-p(δ2(t)))x(δ2(t)))β<0，

t∈[t*，∞)T

(2)

引理2 設(shè)

(3)

或

(4)

2 結(jié)果與證明

定理1 設(shè) (3)式或(4)式成立。若

(5)

成立，則方程(1)是振動(dòng)的。

r(t)(xΔ(t))γ-r(T)(xΔ(T))γ≤r(t)(xΔ(t))γ

x(t)≥txΔ(t)≥

這與條件(5)矛盾。證畢。

注1 很明顯，當(dāng)0<α≤γ≤β時(shí)，定理1的結(jié)論也是成立的。因此，定理1包含了Agarwal[1]中定理4.4的有關(guān)結(jié)果。

(6)

成立，則方程(1)是振動(dòng)的。這里(ρΔ(s))+=max{ρΔ(s),0}。

t∈[t*，∞)T

(7)

于是ω(t)>0。由微分法，可以得到

(8)

γ(x(t))γ-1xΔ(t)

考慮到(2)式，由(8)式得

(9)

即

ωΔ(t)≤-ρσ(t)[Q1(t)-ηΔ(t)]+

因此，

ωΔ(t)≤-ρσ(t)[Q1(t)-ηΔ(t)]+

由不等式λABλ-1-Aλ≤(λ-1)Bλ，λ≥1，A≥0,B≥0，得

ωΔ(t)≤-ρσ(t)[Q1(t)-ηΔ(t)]+ρΔ(t)η(t)+

對(duì)上式從t*到t積分，得

ω(t)-ω(t*)≤

因此,

ω(t*)-ω(t)≤ω(t*)

這與(6)式矛盾。證畢。

注2 當(dāng)0<α≤γ≤β時(shí)，定理2的結(jié)論也是成立的。只不過是我們可以約定，當(dāng)0<α=γ=β時(shí)，取η=2；當(dāng)0<α=γ≠β或0<α≠γ=β時(shí)，取η=1。在這種約定下，當(dāng)0<α≤γ≤β時(shí)，下面的定理都是成立的。

成立，則方程(1)是振動(dòng)的。這里(ρΔ(s))+=max{ρΔ(s),0}。

注3 由定理2和定理3得知，當(dāng)γ≥1或0<γ<1時(shí)，方程(1)的振動(dòng)條件是不同的。但是，當(dāng)時(shí)間尺度T=R時(shí)，相對(duì)應(yīng)的振動(dòng)條件卻是相同的。

3 例 子

考慮時(shí)間尺度上二階中立型時(shí)滯動(dòng)力方程

[|xΔ(t)|xΔ(t)]Δ+

q1(t)|y(δ1(t))|α-1y(δ1(t))+

q2(t)|y(δ2(t))|β-1y(δ2(t))=0,t∈[t0,∞)T

這里x(t)=y(t)+p(t)y(τ(t))，取0<α<γ=2<β，r(t)=1,0≤p(t)<1，a>0,

即(3)式成立。又

即(5)式成立。由定理1，得知該方程振動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] AGARWAL R P, BOHNER M, SAKER S H. Oscillation of second order delay dynamic equations [J]. Canadian Applied Mathematics Quarterly, 2005, 13(1):1-18.

[2] ZHANG B G, ZHU S L. Oscillation of second order nonlinear delay dynamic equations on time scales [J]. Computers Math Applic, 2005, 49(4):599-609.

[3] SAHINER Y. Oscillation of second-order delay differential equations on time scales [J]. Nonlinear Analysis, TMA, 2005, 63(5/6/7):1073-1080.

[4] HAN Z L, SUN S R, SHI B. Oscillation criteria for a class of second order Emden-Fowler delay dynamic equations on time scales [J]. J Math Anal Appl, 2007, 334(2): 847-858.

[5] 韓振來, 時(shí)寶, 孫書榮. 時(shí)間尺度上二階時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)性 [J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2007, 46(6): 10-14.

[6] 孫書榮，韓振來，張承慧. 時(shí)間尺度上二階Emden-Fowler中立型時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)準(zhǔn)則 [J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 42(12):2070-2075.

[7] AGARWAL R P, O’REGAN D, SAKER S H. Oscillation criteria for second order nonlinear neutral delay dynamic equations [J]. J Math Anal Appl, 2004, 300(1): 203-217.

[8] SAKER S H. Oscillation of second-order nonlinear neutral delay dynamic equations on time scales [J]. J Comp Appl Math, 2006, 187(2): 123-141.

[9] WU H W, ZHUANG R K, MATHSEN R M. Oscillation criteria for second-order nonlinear neutral variable delay dynamic equations [J]. Appl Math Comput, 2006, 178(2): 321-331.

[10] ZHU Z Q, WANG Q R. Existence of nonoscillatory solutions to neutral dynamic equations on time scales [J]. J Math Anal Appl, 2007, 335(2): 751-762.