畢繼紅，尹元彪，王青太

斜拉索參數(shù)共振新型減振措施

畢繼紅1,2，尹元彪3，王青太1

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；3. 新紀(jì)元綜合咨詢公司，東京 12500611)

針對斜拉橋拉索發(fā)生的大幅參數(shù)振動，提出了一種的減振措施——限位裝置．運(yùn)用有限元方法，建立了單索的二維模型，模擬了拉索的大幅參數(shù)共振現(xiàn)象，所得結(jié)果與以往研究者得到的解析結(jié)果及試驗(yàn)現(xiàn)象相一致，在數(shù)值模型中，模擬了限位裝置，研究了其對拉索參數(shù)共振的抑制作用．從能量原理和參數(shù)共振發(fā)生機(jī)理兩個角度，闡明了限位裝置的減振機(jī)理．在此基礎(chǔ)上，討論了限位裝置參數(shù)對減振效果的影響．結(jié)果表明：限位裝置可以顯著減小拉索參數(shù)共振的振幅；限位裝置減振機(jī)理明確，能從根本上抑制大幅參數(shù)共振的發(fā)生；減小限位高度或?qū)⑾尬晃恢孟蚶髦虚g靠攏，會使減振效果更加明顯，此結(jié)論對限位裝置應(yīng)用于實(shí)際工程中有一定的指導(dǎo)意義．

斜拉索；參數(shù)振動；限位裝置；減振效果

在實(shí)際工程中，對已建和在建斜拉橋的觀測表明，在無風(fēng)或風(fēng)速很小的情況下，個別拉索有時會發(fā)生十分劇烈的振動．如著名的法國布魯東橋、日本名港西大橋等，拉索振幅甚至大到使相鄰拉索發(fā)生碰撞的程度[1]．在我國的多座斜拉橋中也都觀察到拉索的大幅振動．1982年Kovacs第一次用參數(shù)激勵(一種自激振動)來說明拉索在低風(fēng)速區(qū)發(fā)生大幅振動的機(jī)理．Lilien等[2]的研究結(jié)果表明當(dāng)橋面振動頻率與拉索固有頻率的比值接近1或2時，橋面的小幅振動將會引起拉索的大幅振動．國內(nèi)的學(xué)者做了相關(guān)的研究，得到了有意義的結(jié)果．亢站等[3]研究指出，在一定條件下，拉索可能由于橋面振動的激發(fā)而發(fā)生參數(shù)共振現(xiàn)象．魏建東等[4]建立了幾何非線性結(jié)構(gòu)一致激勵相應(yīng)分析方法，分析表明：增加斜拉索的阻尼可抑制其振幅，縮小其發(fā)生大幅振動的頻率范圍，但其張力波幅卻也相應(yīng)增加．趙躍宇等[5-6]運(yùn)用多尺度法分析了斜拉索的參數(shù)共振，結(jié)果表明：考慮拉索的彎曲剛度使拉索固有頻率變大，從而使斜拉索內(nèi)共振的幅值和拍頻都變大；斜拉索的固有頻率與外激勵參數(shù)對斜拉索穩(wěn)態(tài)解的個數(shù)及其穩(wěn)定性都存在直接影響．

筆者針對拉索參數(shù)共振產(chǎn)生的大幅振動，提出了一種減振裝置．選用了文獻(xiàn)[7]中的工程實(shí)例，運(yùn)用ABAQUS非線性有限元分析軟件，研究了限位裝置的減振效果．闡述了該裝置的減振機(jī)理；并計(jì)算分析了該裝置的限位高度和限位位置對減振效果的影響．

1 拉索有限元模型的建立

1.1拉索的建模方法

斜拉索有限元建模主要有3種方法：等效彈性模量法、多段直桿法和曲線索單元法．

等效彈性模量法由Pippard和Chitty于1944年在分析拉桿時提出，后來Ernst等將其引入拉索的建模中．它是用考慮了垂度變換影響的有效彈性模量的直桿代替懸索．

多段直桿法的想法基于基本的微積分思想，這種方法在懸索橋的模擬中早就提了出來．將拉索離散成一串無質(zhì)量的、鉸接的連桿，并且軸向剛度采用Pugsley提出的重力剛度；主纜自重和其他任意荷載集中作用在連桿的節(jié)點(diǎn)上．隨著連桿數(shù)目的增多，這個體系將趨于真實(shí)情況．

曲線索單元法將拉索分成一個或多個曲線單元，其單元剛度矩陣由多項(xiàng)式或拉格朗日差值函數(shù)通過在公共節(jié)點(diǎn)上的連續(xù)性來確定．也有些曲線單元從拉索的真實(shí)形狀(懸鏈線)出發(fā)．

本文中建模采用了多段直桿法，通過合理運(yùn)用有限元軟件的非線性分析能力和一些常見的桿件單元，可以在要求允許的精度范圍內(nèi)模擬拉索的力學(xué)行為．

1.2單元的選擇

拉索的受力特點(diǎn)是只能承受拉力，不能承受壓力，且抗彎剛度可以忽略不計(jì)[8]．本文中選擇二維2節(jié)點(diǎn)的桿單元進(jìn)行模擬．這種單元只有1個自由度，只能反映軸向力的變化，而初始應(yīng)力使得桿單元中只有拉應(yīng)力，且由于初始應(yīng)力很大，在后續(xù)分析中，桿單元中不會出現(xiàn)壓應(yīng)力；此外，2個桿單元之間，只傳遞軸力，不傳遞彎矩．這些與拉索的力學(xué)特點(diǎn)十分相似，故采用二維2節(jié)點(diǎn)的桿單元(Truss單元)模擬拉索，能夠反映實(shí)際情況．

1.3模型的建立

選取文獻(xiàn)[7]中的工程實(shí)例，建立拉索的有限元模型，具體條件如下．

(1)材料參數(shù)：彈性模量E=210GPa；泊松比μ=0.3；密度ρ=8257.61kg/m3；

(2)邊界條件：模型的兩端采用鉸支座模擬邊界條件；

(3)初始條件：預(yù)應(yīng)力σp=504.07MPa；

(4)幾何尺寸：拉索長度為L=107.66m；截面面積為S=0.006273m2．

根據(jù)前面的分析，本文中采用108個鉸接的桿單元模擬拉索．模型示意如圖1所示．

圖1 拉索模型示意Fig.1 Schematic of stayed-cable model

1.4拉索自振頻率的有限元解

運(yùn)用有限元方法計(jì)算得到拉索第一階至第十階的頻率及振型．可以通過有限元結(jié)果與理論解結(jié)果的比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木仁欠穹弦螅?/p>

不考慮彎曲剛度時，拉索橫向振動的固有頻率的解析解[8]為

式中：T為拉索的軸向拉力，N；L為拉索的長度，m；m為拉索單位長度的質(zhì)量，kg；n為第n階振型．

將拉索的第一階至第十階自振頻率的解析解與數(shù)值解進(jìn)行比較，結(jié)果見表1．

表1 頻率計(jì)算結(jié)果比較Tab.1 Comparison of frequency calculation results

由計(jì)算結(jié)果可知，拉索自振頻率數(shù)值解結(jié)果與解析解結(jié)果相差很小，可以忽略不計(jì)．所以，用108個桿單元對拉索進(jìn)行模擬，精度滿足要求．

2 工程實(shí)例分析

建立拉索參數(shù)共振模型，如圖2所示．設(shè)拉索錨固點(diǎn)A處的水平向振動為

采用分離變量法，得到第k階模態(tài)的拉索-橋面非線性耦合振動方程組[7]為

式中：ωq=(K+EAL)M ；qk(t)為拉索第k階振型坐標(biāo)．式(3)為一非線性振動方程，存在2種類型的共振：①當(dāng)ωq=ωk時，即橋面激勵頻率等于拉索第k階模態(tài)頻率，拉索將發(fā)生共振通常稱為內(nèi)共振；②當(dāng)ωq=2ωk時，即橋面激勵頻率等于2倍的拉索模態(tài)頻率，拉索將發(fā)生參數(shù)共振．

圖2 拉索參數(shù)共振模型示意Fig.2 Schematic of stayed-cable parametric reso-nance model

建立拉索參數(shù)共振的有限元模型．用桿單元模擬拉索，等效橋面質(zhì)量m用不計(jì)幾何尺寸的質(zhì)量點(diǎn)模擬，等效橋面剛度則用一線彈性彈簧模擬．

取m=4×105kg ，K=8.7×107N/m ，k=1(即研究拉索第一階模態(tài)的參數(shù)振動)，設(shè)初始擾動(即拉索的初始位移)為q1(0)=0.01m，橋面激勵為x2= 0.1sinω1t．

建立模型時，如果運(yùn)用初始條件在單元上直接施加預(yù)應(yīng)力，系統(tǒng)內(nèi)力平衡后，彈簧的變形會使拉索的預(yù)應(yīng)力損失，同時拉索的長度也會減小，其自振頻率將會改變，使得模型與實(shí)際的工程實(shí)例有較大的差距，從而影響分析的精度與可靠性．為了精確模擬拉索的實(shí)際工作狀態(tài)，本文中采用位移加載法，施加索單元的預(yù)應(yīng)力．

建模時初始狀態(tài)為無內(nèi)力狀態(tài)，設(shè)初始索長為L′，彈簧為原始長度．為了達(dá)到實(shí)例中的狀態(tài)，可以用位移加載，使右邊的支座產(chǎn)生位移Δ，大小為初始拉索L′在題目給定預(yù)應(yīng)力作用下的伸長量ΔL′與彈簧在拉索預(yù)應(yīng)力作用下的伸長量δ之和，此時，拉索長度變?yōu)長．通過上述位移加載，可以精確模擬出拉索的實(shí)際工作狀態(tài)．具體計(jì)算過程如下.

拉索的預(yù)應(yīng)力為

拉索的應(yīng)變?yōu)?/p>

則由以上分析得

解得拉索初始長度L′為

彈簧的伸長量為

由此得，拉索右端點(diǎn)的位移為

應(yīng)用位移加載法，具體實(shí)施步驟如下.

(1)選用桿單元建立拉索模型，總長度為107.4,m．左端點(diǎn)為固定鉸支座．

(2)在拉索右端點(diǎn)處加一質(zhì)量點(diǎn)m=4×105kg，約束質(zhì)點(diǎn)的豎向位移，右端點(diǎn)鉸接一個剛度為K=8.7×107Nm 的線彈性彈簧，彈簧右端點(diǎn)施加固端約束．

(3)在彈簧的右端點(diǎn)施加位移邊界條件Δ=0.296m，經(jīng)靜力分析后體系達(dá)到內(nèi)力平衡狀態(tài)．

有限元方法分析計(jì)算得，加載后拉索的長度為L′=107.662m ，預(yù)應(yīng)力值為σ′=507.1×106Pa，由此可知，通過位移加載法對拉索施加預(yù)應(yīng)力后，模型加載后的狀態(tài)與題目中給定的初始條件基本一致，精度滿足要求．

用以上模型進(jìn)行動力分析，當(dāng)不考慮阻尼時，計(jì)算得到實(shí)例中拉索最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)，結(jié)果如圖3所示．分析結(jié)果與文獻(xiàn)[7]中的解析解結(jié)果基本相同．由此可知，建立的有限元模型可以精確模擬拉索的參數(shù)共振現(xiàn)象．

其他條件同上，令橋面激勵x2=0.025sinω1t，忽略阻尼作用，計(jì)算得到拉索最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)，結(jié)果如圖4所示；考慮阻尼作用，取阻尼比ξ=0.000477，計(jì)算得到拉索最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)，結(jié)果如圖5所示．由圖可知，當(dāng)斜拉橋的橋面振動頻率與拉索自振頻率具有一定的相關(guān)性，即使在幅值很小的橋面激勵作用下，拉索也會發(fā)生大幅參數(shù)共振；考慮阻尼作用，拉索的振幅有一定的減小，但是作用不大，并且不會改變拉索大幅參數(shù)共振的振動特性．

圖3 拉索最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)Fig.3 Vibration response of cable's maximum amplitude point

圖4 無阻尼時拉索最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)Fig.4 Vibration response of cable's maximum amplitude point without damping

圖5 有阻尼時拉索最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)Fig.5 Vibration response of cable's maximum amplitude point with damping

3 限位裝置的減振研究

3.1限位裝置的減振效果

限位裝置的作用是限制拉索限位點(diǎn)的振動．其基本參數(shù)包括a和l：a是指限位裝置的剛性接觸面到水平拉索的距離(下文簡稱間隙)；l是指限位裝置安裝位置到拉索左端的距離(下文簡稱限位位置)，如圖6所示．使用有限元方法模擬時，可以利用連接單元(connector element)來實(shí)現(xiàn)．限位裝置的有限元模型如圖7所示．給連接單元添加軸向約束，并且施加Stop屬性，使得限位點(diǎn)的豎向位移受到上、下限位點(diǎn)的限制，達(dá)到模擬限位裝置的效果．

圖6 限位裝置布置示意Fig.6 Schematic of displacement-restriction device

圖7 限位裝置示意Fig.7 Schematic of finite element model of displacement-Fig.7 restriction device

在圖4對應(yīng)的拉索模型的10 m處加裝限位裝置，限位高度取a=0.01m,計(jì)算得到拉索限位點(diǎn)和最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)，結(jié)果如圖8和圖9所示．由圖可知，限位點(diǎn)的位移被控制在?0.01～0.01m 的范圍內(nèi)，有限元模型模擬出了限位裝置的作用．限位后，拉索的最大振幅有了明顯減小，降為原來的110左右，說明限位裝置對拉索的大幅參數(shù)共振有著明顯的抑制作用．

圖8 限位點(diǎn)的振動響應(yīng)Fig.8 Vibration response of displacement-restriction point

3.2 限位裝置的減振機(jī)理

結(jié)構(gòu)的自振振型具有正交性，其物理意義是：體系按某振型振動時，在振動過程中，其慣性力不會在其他振型上做功．這樣，它的能量不會轉(zhuǎn)移到別的振型上去，從而激起其他振型的振動，因此各振型可以單獨(dú)出現(xiàn)而互不干涉．因此，如果不考慮阻尼的作用，那么結(jié)構(gòu)就沒有能量的耗散與轉(zhuǎn)移，按某振動形式一直振動下去．

圖9 最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)Fig.9 Vibration response of the maximum amplitude point

分別對無限位裝置和有限位裝置2種情況下拉索最大振幅點(diǎn)的振動響應(yīng)進(jìn)行FFT分析，得到頻譜如圖10和圖11所示．由結(jié)果可知，無限位裝置時，拉索發(fā)生參數(shù)共振，是按其第一階振型振動；在拉索的某一點(diǎn)處安裝限位裝置后，當(dāng)振幅較大時，限位點(diǎn)的振動就會受到限位裝置的限制，由此會激起拉索的高階振型，所以拉索的一部分振動能量就從低階振型轉(zhuǎn)移到了高階振型，能量就不會在低階振型上得到足夠的積累，從而抑制了拉索大幅參數(shù)共振的發(fā)生．

圖10 無限位裝置時頻譜Fig.10 Spectrogram without displacement-restriction de- vice

圖11 有限位裝置時頻譜Fig.11 Spectrogram with displacement-restriction device

此外，對于參數(shù)共振來說，發(fā)生的必要條件之一是橋面振動頻率與拉索自振頻率具有相關(guān)性，當(dāng)拉索的振動受到限位裝置的影響，拉索的動力特性被改變，就會破壞這種頻率的相關(guān)性，從根本上抑制了拉索的大幅參數(shù)共振．

4 限位裝置參數(shù)對減振效果的影響

限位裝置的主要參數(shù)有限位高度和限位位置，本節(jié)分別分析了二者對減振效果的影響，得到的結(jié)論對該裝置應(yīng)用于實(shí)際工程中具有指導(dǎo)意義．

運(yùn)用有限元方法計(jì)算得到，無限位裝置時，不考慮阻尼作用，中間節(jié)點(diǎn)的振幅A0=1.14m ；考慮阻尼作用，取阻尼比ε=0.000477時，A0=0.93m．由此可見阻尼會對拉索參數(shù)共振的幅值產(chǎn)生一定的影響．所以，在研究時，分成無阻尼和有阻尼2種情況進(jìn)行討論．

4.1限位高度對減振效果的影響

取橋面激勵為x2=0.025sinω1t，限位裝置的限位位置L=10m，限位高度a分別取0.01、0.02、0.03、0.04、0.05m，考慮無阻尼和阻尼比為ε=0.000477兩種情況，分別計(jì)算每個限位高度情況下，拉索振動過程中的最大振幅，計(jì)算結(jié)果整理成圖12和圖13．由結(jié)果可知，限位裝置的減振效果十分明顯，不管是否考慮阻尼，限位后，拉索的最大振幅都有了明顯的減小．此外，隨著限位高度的增加，拉索的最大振幅也線性增加；對數(shù)值進(jìn)行擬合，知兩者呈線性關(guān)系．根據(jù)此規(guī)律，通過合理地設(shè)計(jì)限位高度，能夠?qū)⒗鞯恼穹刂圃诳梢越邮艿姆秶鷥?nèi)．

圖12 無阻尼時限位高度與最大振幅的關(guān)系Fig.12 Relationship between displacement-restriction point height and maximum amplitude without damping

圖13 有阻尼時限位高度與最大振幅的關(guān)系Fig.13 Relationship between displacement-restriction point height and maximum amplitude with damping

4.2限位位置對減振效果的影響

取橋面激勵為x2=0.025sinω1t,限位裝置的限位高度a=0.03m,令限位裝置的限位位置l(限位裝置至拉索端點(diǎn)的距離)分別為10、11、12、13、14、15,m，考慮無阻尼和阻尼比為ε=0.000477,兩種情況，分別計(jì)算每個限位位置情況下，拉索振動過程中的最大振幅，計(jì)算結(jié)果整理成圖14和圖15．由結(jié)果可知，無論是否考慮阻尼作用，隨著限位位置向拉索中間靠攏，拉索的最大振幅會逐漸減小；對數(shù)值進(jìn)行擬合，知兩者呈二次拋物線關(guān)系．限位裝置應(yīng)用于實(shí)際工程時，應(yīng)使限位位置盡可能向拉索中間靠攏，但同時要兼顧施工的可行性和建筑美觀的要求．所以，建議將限位裝置安裝位置與拉索端點(diǎn)的距離控制在拉索長度的10%～15%之間．

圖14 無阻尼時限位位置與最大振幅的關(guān)系Fig.14 Relationship between displacement-restriction point location and maximum amplitude without damping

圖15 有阻尼時限位位置與最大振幅的關(guān)系Fig.15 Relationship between displacement-restriction point location and maximum amplitude with damping

5 結(jié) 論

(1)限位裝置可以顯著減小拉索參數(shù)共振的振幅，減振效果良好．

(2)限位裝置減振機(jī)理明確，能從根本上抑制大幅參數(shù)共振的發(fā)生．

(3)減小限位高度或?qū)⑾尬晃恢孟蚶髦虚g靠攏，會使減振效果更加明顯．此結(jié)論可作為限位裝置應(yīng)用于實(shí)際工程時的設(shè)計(jì)依據(jù)．

［1］ Poston R W. Cable-stay conundrum[J]. Civil Engineering，1998，68 (8)：58-61.

［2］ Lilien J L， da Costa Pinto. Vibration amplitudes caused by parametric excitations of cable stayed structures[J]. Journal of Sound and Vibration，1994，174(1)：69-90.

［3］ 亢 戰(zhàn)，鐘萬勰. 斜拉橋參數(shù)共振問題的數(shù)值研究[J].土木工程學(xué)報(bào)，1998，31(8)：14-22.

Kang Zhan，Zhong Wanxie. Cable-stayed bridge numerical study of parametric resonance[J]. China Civil Engineering Journal，1998，31(8)：14-22(in Chinese).

［4］ 魏建東，楊佑發(fā)，車惠民. 斜拉橋拉索的參數(shù)振動有限元分析[J]. 工程力學(xué)，2000，17(6)：130-134.

Wei Jiandong，Yang Youfa，Che Huimin. Finite element analysis of cable-stayed bridge cables' parameters vibration[J]. Engineering Mechanics，2000，17(6)：130-134 (in Chinese).

［5］ 趙躍宇，周海兵，金 波，等. 考慮彎曲剛度的斜拉索內(nèi)共振分析[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，34(5)：1-5.

Zhao Yueyu，Zhou Haibing，Jin Bo，et al. Considering the bending stiffness of the cable-stayed resonance analysis[J]. Journal of Hunan University，2007，34(5)：1-5(in Chinese).

［6］ 趙躍宇，王 濤，康厚軍. 斜拉索主參數(shù)共振的穩(wěn)定性分析[J]. 動力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2008，6(2)：112-117.

Zhao Yueyu，Wang Tao，Kang Houjun. Cable-stayed stability analysis of the main parametric resonance[J]. Journal of Dynamics and Control，2008，6(2)：112-117 (in Chinese).

［7］ 陳政清. 橋梁風(fēng)工程[M]. 北京：人民交通出版社，2005.

Chen Zhengqing. Bridge Wind Engineering[M]. Beijing：The People's Communications Publishing House，2005(in Chinese).

［8］ Irvine H M. Cable Structures[M]. Cambridge：The MIT Press，1981.

New Countermeasures Against Parametric Resonance of Stayed Cables

BI Ji-hong1,2，YIN Yuan-biao3，WANG Qing-tai1
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China；3. New Era Synthetic Consultants Company Limited，Tokyo 12500611，Japan)

A vibration mitigation device，the displacement-restriction device，has been presented to mitigate parametric resonance of stayed cables. A two dimensional model of the single cable was established with finite element method to simulate the phenomenon of parametric resonance of stayed cables，the results of which were in accordance with previous analytical and experimental results. In the numerical model，displacement-restriction device was simulated and its effect of vibration restriction on parametric resonance of stayed cables was analyzed. Vibration mitigation mechanism of the device proposed was explained with energy theory and mechanism of parametric resonance，based on which the impact of the device parameters on vibration mitigation efficiency was discussed. Study results indicate that the displacement-restriction device can significantly reduce the amplitude of parametric resonance of the cables and prevent large resonance from occurring with clear-cut vibration mitigation mechanism. It is also found that the smaller the gap between the device and the cable，and the farther the device from the end of the cable，the higher the efficiency of vibration mitigation．Such results can offer valuable guidance to application of the displacementrestriction device to real engineering projects.

stayed cable；parametric resonance；displacement-restriction device；vibration mitigation efficiency

O32

A

0493-2137(2010)09-0771-06

2009-04-10；

2009-10-13.

畢繼紅（1965— ），女，博士，教授．

畢繼紅，jhbi@sohu.com．