潘祥武 （青島濱海學(xué)院，山東 青島 266555）

不確定條件下缺貨不補貨的庫存模型分析

潘祥武 （青島濱海學(xué)院，山東 青島 266555）

對以前研究得很少的一種情況——連續(xù)檢查庫存、提前期固定、需求隨機且缺貨不補進行了分析，詳細推導(dǎo)了其最佳訂貨點和訂貨批量，并探討了簡化計算的合理性，然后用EXCEL進行了實例計算，最后進一步推廣到提前期也隨機的情況。

隨機；缺貨；不補；最優(yōu)策略

很多論著里都提到了延期交貨下的最優(yōu)庫存策略參考[1]，有學(xué)者分析了確定情況下的缺貨不補貨最優(yōu)庫存策略[2]，但對隨機情況下的缺貨不補貨模型，即訂貨當時不能滿足即失去該筆交易 （簡稱為脫銷或失銷），研究的比較少，或講述不詳細[3]。本文嘗試對隨機情況下的缺貨不補貨模型的最優(yōu)庫存策略做比較詳細的分析，并用EXCEL進行了實例的計算。

1 假設(shè)與符號說明

1.1 假設(shè)

物品需求為單一品種，不考慮生產(chǎn)能力約束；需求速度是連續(xù)、隨機的；允許缺貨，但缺貨在下一周期不需補充；每次訂貨量、每次訂購費、單位存貯費、單位缺貨損失費均不變；入庫時間很短，可以近似地看作零；沒有價格折扣；訂貨有提前期，它固定或隨機；假設(shè)使用連續(xù)檢查，當庫存下降到再訂貨點r時，訂購q單位的貨物；精確求解使期望年度存儲、脫銷和訂購費用最低的q和r。

1.2 本文涉及的符號意義

TC（ q,r）：預(yù)期年度總費用，包括年度存儲費用、訂購費用和缺貨不補 （脫銷）的費用；C1：單位產(chǎn)品年度存儲費用；C2：每次的訂購費用 （不含產(chǎn)品采購價格）；C3：每次缺貨不補貨 （脫銷）所導(dǎo)致的費用；L：各份訂單的提前期，單位為年；T：周期，任意相鄰的兩個收到訂購貨物時間之間的時間間隔；D：年度需求量的隨機變量，其均值為μ，標準差為σ；X：提前期內(nèi)需求量的隨機變量，其密度函數(shù)記為f，分布函數(shù)記為F，均值為μL，標準差為σL；fS：標準正態(tài)分布的密度函數(shù)；FS：標準正態(tài)分布的分布函數(shù)；S：安全庫存；Br：每個周期的脫銷量的隨機變量，期望值為μr；I（t）：時間t時的凈存儲水平。

2 提前期固定、需求隨機且缺貨不補貨的模型分析

圖1簡單描述了庫存隨時間下降的情況，示意了提前期、再訂貨點、訂貨量和缺貨不補情況。

圖1 缺貨不補下的庫存隨時間變化示意圖

2.1 預(yù)期年度總費用的計算

預(yù)期年度總費用由存儲費用、訂購費用和缺貨不補的費用三部分組成，分述如下。

2.1.1 年度存儲費用的計算

一個周期結(jié)束時I（t）的期望值約為：r-μL+μr。一個周期開始時I（t）的期望值約為：r-μL+q+μr。 因此， 一個周期內(nèi)I（t）的期望值約為［周期開始時I（t）的期望值+周期結(jié)束時I（t）的期望值 ］/2=q/2+r-μL+μr。

年度存儲費用約為：c1［q/2 + r-μL+μr］。

2.1.2 年度訂購費用的計算

年度訂購費用=c2*（期望訂購次數(shù)/年 ）=c2μ/q。

2.1.3 年度脫銷的費用的計算

年度脫銷的費用=脫銷費率*周期內(nèi)期望脫銷數(shù)量*年期望訂購次數(shù)=c3μrμ/q。

2.1.4 總成本費用及最優(yōu)解求解

年預(yù)期總費用：

將總成本函數(shù)先對q偏導(dǎo)，令它等于零，得：

再將總成本函數(shù)對r求偏導(dǎo)，令它等于零，得：

將式 （6）所表示的期望缺貨值，代入式 （2）中，得：

3 實例計算分析

已知某產(chǎn)品的年度平均銷售量為1 000臺，年需求量服從標準差為40.8的正態(tài)分布。該產(chǎn)品從批發(fā)商那進貨，每次訂購兩星期后到貨，每次訂購費用為50元。單位產(chǎn)品的年儲存費用為10元。所有需求均不延期交貨，缺貨就意味著失銷，失銷時單位損失為40元。請你為該產(chǎn)品確定最優(yōu)再訂購點、訂購量、安全庫存水平及周期服務(wù)水平 （CSL） （一年以52周計）。

解：提前期需求量的平均值μL為：1 000/26＝38.46

先給一個初始值，比如y=0，計算正態(tài)損失函數(shù)值，再計算訂貨量，再反過來計算訂貨點；第二次迭代，用新的訂貨點計算y的值，計算正態(tài)損失函數(shù)值，再計算訂貨量，再反過來計算新的訂貨點，從而不斷逼近最優(yōu)解。用EXCEL計算的情況如表1。

表1

可根據(jù)實際意義來判斷是否需進一步迭代。本例中，當相鄰兩次的訂貨量的差值小于等于1時，可認為無需繼續(xù)迭代計算。因此，經(jīng)過四輪運算，即可確定本題的最優(yōu)解：最優(yōu)再訂貨點為54.12；最優(yōu)訂貨量為103；最優(yōu)周期服務(wù)水平為97.49%；最優(yōu)安全庫存水平為15.66。

4 簡化的計算

上面的計算有些復(fù)雜，可不可以不考慮缺貨對訂貨量的影響，即仍沿用EOQ法來計算近似的最優(yōu)訂貨量，然后再計算最優(yōu)再訂貨點呢？回答是肯定的。仍以上題為例，用EOQ法計算的近似最優(yōu)訂貨量：

用EXCEL中的統(tǒng)計函數(shù)求解，NORMINV（ 0.9756,38.46,8 ）=54.22，即最優(yōu)再訂貨點為54.22單位；最優(yōu)周期服務(wù)水平為97.56%；最優(yōu)安全庫存為15.76。除了訂貨量小三單位外，其它結(jié)果與前面精確計算的基本一致。

事實上，如提前期內(nèi)需求的標準差為一較小值時，缺貨對最優(yōu)訂貨量的影響也較小。雖然，單位脫銷的損失越大則訂貨點越大，訂貨點越大則安全庫存越大，而安全庫存越大，正態(tài)損失函數(shù)NL（y ）的值越小，所以，單位脫銷的損失與正態(tài)損失函數(shù)NL（y）的值的乘積仍然較小，對最優(yōu)訂貨量影響很小。以上面所述題目為例，筆者分別計算了單位脫銷損失從10元到60元的六種情況下的單位脫銷的損失與正態(tài)損失函數(shù)NL（y ）損的值的乘積，與訂購費用50元相比，影響較小，不超過8%，具體情況如表2：

表2

5 進一步推廣到提前期隨機且服從正態(tài)分布的情況

表3

6 結(jié)束語

本文先分析了隨機情況下缺貨不補的最優(yōu)庫存策略，給出了具體的表達式，并用EXCEL針對正態(tài)分布的情況進行了實例計算，具有一定的理論和實踐意義，然而還有一些問題待深入研究，包括可近似計算的具體條件，非正態(tài)分布下的計算，定期檢查下的最優(yōu)庫存策略等。

[1]錢頌迪.運籌學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1990.

[2]朱俊，詹明清.缺貨不補的存貯模型分析[J].武漢汽車工業(yè)大學(xué)學(xué)報，1999(6)：76-79.

[3]Wayne L.Winston.運籌學(xué)：概率模型應(yīng)用范例與解法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

Analysis of Non-compensated Understock Inventory Model Under Uncertainty

PAN Xiang-wu(Qingdao Binhai University,Qingdao 266555,China)

With continuous review inventory policy,the optimal strategies of understock inventory models which lead time is fixed,demand is stochastic and the absent is non-compensating,is seldom researched.This article attempt to make a analysis,deduce the optimal order point and order quantity,and discuss the rationality of simplified computation.Then,several examples are computed by the using of EXCEL.At last,the model is expaded to cincumstance which lead-time is random.

random;understock;non-compensating;optimal policy

F253.7

A

1002-3100(2010)01-0065-03

2009-06-19

潘祥武（1974-），男，湖北仙桃人，青島濱海學(xué)院國際商學(xué)系，講師，碩士，研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理。