王 騫 鄒繼斌 付興賀 唐 宇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院 哈爾濱 150001）

1 引言

虛功法作為一種計(jì)算電磁系統(tǒng)的電磁力或電磁轉(zhuǎn)矩的常用方法，具有精度高、計(jì)算量小等諸多優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)采用虛功法時，需要對系統(tǒng)中的磁能或磁共能進(jìn)行計(jì)算。對于含有永磁體的系統(tǒng)，磁（共）能存在于以下區(qū)域：①非磁性區(qū)域，如氣隙和銅線；②軟磁材料，如鐵心；③永磁體。如果認(rèn)為鐵心是理想的，即其磁導(dǎo)率為無窮大，則可以忽略鐵心內(nèi)的磁（共）能，系統(tǒng)的磁（共）能主要儲存于氣隙和永磁體中。對于永磁體內(nèi)的磁能，已有較多文獻(xiàn)進(jìn)行研究[1-8]。但對于永磁體內(nèi)磁共能的研究，卻鮮有提及。

利用系統(tǒng)的磁能或磁共能計(jì)算電磁力為

式中 Fe——電磁力；

W，W′——系統(tǒng)的磁能、磁共能；

i——電流；

x——位移；

λ——系統(tǒng)的磁鏈。

對于某些系統(tǒng)，電流i恒定，而系統(tǒng)磁鏈λ 隨位移x的變化而變化，此時式（1）不再適用；同時由于對永磁體內(nèi)的磁共能沒有明確的計(jì)算方法，不能保證用式（2）進(jìn)行計(jì)算的正確性，因而使虛功法的應(yīng)用受到了極大的限制。為了解決上述問題，必須明確地提出永磁體磁共能的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[9]簡要地提出了永磁體內(nèi)磁共能的計(jì)算方法，但沒有對其物理意義進(jìn)行闡述，并且其合理性也沒有得到驗(yàn)證。

本文第二部分給出了永磁體內(nèi)磁共能的計(jì)算方法，并對其物理意義進(jìn)行了闡述；第三部分通過對一個含有恒定電流電勵磁的理想永磁磁路所產(chǎn)生的電磁力進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證了該方法的正確性；第四部分對永磁體的實(shí)際退磁特性進(jìn)行了考慮，并對“存在垂直于永磁體磁化方向上的磁場”的情況進(jìn)行了分析；在此基礎(chǔ)上，第五部分分別采用解析法和圖解法對無傳導(dǎo)電流時永磁體系統(tǒng)的磁共能進(jìn)行了計(jì)算和分析。

2 永磁體磁共能的計(jì)算方法

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，磁共能W′被定義為電流i和位移x的函數(shù)，其表達(dá)式為

將磁能的表達(dá)式

代入式（3）得

式（5）對于軟磁材料（H=0時B=0）是適用的。對于永磁體，由于當(dāng)H=Hc（Hc為永磁體的矯頑力，為一負(fù)值）時，B才等于0，因而需對式（5）進(jìn)行適當(dāng)?shù)匦拚杂糜谟?jì)算永磁體內(nèi)的磁共能。

在本文中，推薦將永磁體的磁共能定義為

與式（5）相比，只是將積分的下限由 0變?yōu)镠c。

在該定義下，永磁體磁共能密度的表達(dá)式為

其大小如圖1中陰影部分面積所示。

圖1 推薦的永磁體磁共能密度的計(jì)算方法Fig.1 Recommended algorithm of stored co-energy density in a permanent magnet

該計(jì)算方法具有明確的物理意義：

（1）能量總是一個非負(fù)值，這是一個很自然的概念；式（6）的定義保證了永磁體內(nèi)的磁共能始終是一個非負(fù)值（因?yàn)榉e分號中的B和dH均為非負(fù)值）。

（2）該定義與其他無源材料（即 Hc=0，如空氣）的磁共能的計(jì)算方法是一致的，只需令式（6）中的Hc=0就變?yōu)榱舜殴材艿脑加?jì)算公式，即式（5）。

對于具有理想特性的永磁材料，其退磁曲線為直線，即磁導(dǎo)率不隨工作點(diǎn)位置的變化而變化（如圖1所示），其退磁特性可表示為

式中 Br——永磁體的剩磁；

μr——永磁體的相對磁導(dǎo)率。

則永磁體的磁共能密度為

可以看出，該表達(dá)式與無源材料（如空氣）磁共能密度的表達(dá)式是一致的。

3 實(shí)例驗(yàn)證

圖2為一具有理想特性的磁路：鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大，永磁體的退磁曲線為直線，且忽略漏磁和氣隙邊緣效應(yīng)的影響。將繞組中通一恒定電流，其磁動勢用Fa來表示。

圖2 含有恒定電流和理想永磁體的磁路示意圖Fig.2 Schematic of a system with constant current and ideal permanent magnet

在以下各式中，用下標(biāo)m表示永磁體，g表示氣隙。

同式（8），永磁體的退磁曲線滿足

根據(jù)安培環(huán)路定律和磁通連續(xù)性定律，有

聯(lián)立式（10）～式（12），解之得

理想鐵心的磁共能為 0，所以系統(tǒng)的磁共能包括氣隙內(nèi)的磁共能和永磁體內(nèi)的磁共能，其表達(dá)式分別為

式中，d為磁路軸向長度。

由于i=constant，因而可以采用式（2）來計(jì)算系統(tǒng)的電磁力，其表達(dá)式為

則單位面積的力密度為

這個結(jié)果與用傳統(tǒng)方法所得出的結(jié)論是一致的[2,10-11]，從而驗(yàn)證了文中提出的永磁體磁共能計(jì)算方法的正確性。

4 對永磁體實(shí)際退磁特性的考慮

永磁體的退磁曲線并非全是直線。事實(shí)上，對于有的永磁體，如部分鐵氧體永磁體，或工作在高溫環(huán)境下的稀土永磁體，其退磁曲線上的上半部分為直線，當(dāng)超過膝點(diǎn)后，退磁曲線就急劇下降，如圖3所示。

圖3 部分永磁體的實(shí)際退磁曲線Fig.3 Practical demagnetization characteristics for some permanent magnets

下面分兩種情況來計(jì)算具有上述退磁特性的永磁體的磁共能。

（1）退磁磁場強(qiáng)度不超過拐點(diǎn)。當(dāng)退磁磁場強(qiáng)度不超過膝點(diǎn)時，回復(fù)線與退磁曲線的直線段相重合，此時永磁體磁共能的分析方法與前面的相一致，只是用cH′來代替 Hc，其中cH′為回復(fù)線的延長線與橫軸的交點(diǎn)。磁共能密度的表達(dá)式依然為式（9）。

（2）退磁磁場強(qiáng)度超過拐點(diǎn)。當(dāng)退磁磁場強(qiáng)度超過拐點(diǎn)后，新的回復(fù)線不再與退磁曲線相重合，此時永磁體被部分永久去磁。設(shè)cH′為新的回復(fù)線的延長線與橫軸的交點(diǎn)，則新的回復(fù)線的表達(dá)式為

則此時永磁體的磁共能密度為

綜合以上兩種情況可以看出，在考慮了永磁體的實(shí)際退磁特性后，永磁體的磁共能密度依然可以用式（9）來表示，因而用式（9）來計(jì)算永磁體的磁共能密度具有很強(qiáng)的適用性。

需要注意的是，本文以上部分的分析都是僅僅針對永磁體的磁化方向進(jìn)行考慮的。當(dāng)存在垂直于永磁體磁化方向的磁場作用于永磁體時，永磁體的磁共能密度應(yīng)表示為

式中 Bpar——永磁體磁化方向上的磁通密度；

μpar——永磁體磁化方向上的相對磁導(dǎo)率；

Bper——垂直于永磁體磁化方向上的磁通密度；

μper——垂直于永磁體磁化方向上的相對磁導(dǎo)率。

5 無傳導(dǎo)電流時永磁體系統(tǒng)的磁共能

如前所述，對于含有永磁體的系統(tǒng)，其磁共能主要分布在永磁體、氣隙和鐵心區(qū)域內(nèi)，即

下面分別用解析法和圖解法，來推導(dǎo)無傳導(dǎo)電流時永磁體系統(tǒng)的磁共能的表達(dá)式。

5.1 解析法

假設(shè)鐵心的磁化曲線是線性變化的，則鐵心內(nèi)的磁共能密度可表示為

此時式（22）可寫為

式中 Vpm，Vair，Vsteel——永磁體、氣隙和鐵心所在區(qū)域的體積；

VS——?dú)庀逗丸F心區(qū)域的體積之和。

對于無傳導(dǎo)電流的永磁體系統(tǒng)，即電流密度J=0，在忽略位移電流的條件下，有

式中 A——矢量磁位；

Vtot——系統(tǒng)的總體積，Vtot=Vpm+VS;

a——Vtot的表面。

因 A與場源和觀察點(diǎn)之間的距離成反比，H與距離二次方成反比，而面積與距離二次方成正比，所以當(dāng)包圍整個空間的表面a在無窮遠(yuǎn)處時，式（25）右邊的積分項(xiàng)為 0[12]，則式（25）可寫為

將其代入式（24）得

可以看出，無傳導(dǎo)電流時永磁體系統(tǒng)的總磁共能可以表示為永磁體區(qū)域的體積分的形式，其中被積分項(xiàng)為永磁體的磁共能密度和外部等效磁共能密度之和，記為ω′。ω′的表達(dá)式為

其大小如圖4中陰影部分面積所示。

圖4 永磁體磁共能密度和系統(tǒng)外部等效磁共能密度Fig.4 Illustration of magnet co-energy density and equivalent external co-energy density of a permanent magnet system with no conductive current

因而永磁體系統(tǒng)的磁共能可表示為

對于上述結(jié)論，可以從以下方面來理解：

（1）由于系統(tǒng)中不存在電流，系統(tǒng)中的磁場全部是由永磁體產(chǎn)生的，故磁共能可表示為只與永磁體區(qū)域有關(guān)的形式。

（2）氣隙和鐵心對系統(tǒng)的磁共能的影響體現(xiàn)在永磁體工作點(diǎn)的變化上。當(dāng)氣隙或鐵心的工作點(diǎn)發(fā)生變化，即系統(tǒng)的磁阻發(fā)生變化時，永磁體的工作點(diǎn)會發(fā)生變化，相應(yīng)的系統(tǒng)的磁共能也將發(fā)生變化，從而產(chǎn)生電磁力或電磁轉(zhuǎn)矩。

眾所周知，電磁系統(tǒng)的運(yùn)行遵循“磁阻最小”原理，即電磁力的方向是使磁路磁阻減小的方向，如圖4中所示，外部特性從Oa變化為Ob；從圖4中可以看出，系統(tǒng)的磁共能是增大的，這與式（2）所表示的物理意義是一致的，即電磁力的方向是使系統(tǒng)磁共能增大的方向，這也在一定程度上驗(yàn)證了本文提出的計(jì)算方法的合理性。

5.2 圖解法

對圖1中的永磁體退磁曲線，將縱坐標(biāo)乘以永磁體提供每極磁通的截面積，橫坐標(biāo)乘以每對極磁路中永磁體磁化方向長度，即可得到圖 5所示的φ= f( F)曲線。

圖5 永磁體及外磁路的()f Fφ=曲線Fig.5 φ=f(F)curves for permanent magnet and external magnetic circuit

圖中，曲線OM′為外磁路的()f Fφ=曲線，其非線性是由鐵心的非線性所引起的，此時永磁體的工作點(diǎn)為點(diǎn)M。

系統(tǒng)的磁共能為永磁體的磁共能與外磁路的磁共能之和，可表示為

即永磁體系統(tǒng)的磁共能為閉合區(qū)域 FCMOFC的面積。

若忽略鐵心的非線性，則外磁路的()f Fφ=曲線為線性，如直線 ON′所示，此時永磁體的工作點(diǎn)為點(diǎn)N，相應(yīng)地，系統(tǒng)的磁共能為

即永磁體系統(tǒng)的磁共能為閉合區(qū)域 FCNOFC的面積，這與解析法得出的結(jié)論是一致的。

綜上所述，對于無傳導(dǎo)電流的永磁體系統(tǒng)，其磁共能可以表示為永磁體的體積分；且積分項(xiàng)僅與永磁體工作點(diǎn)有關(guān)，形式簡潔，物理意義明確，這有利于簡化對系統(tǒng)的性能分析。上述分析為“磁通—磁動勢法[5]”的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，可以方便地用來對永磁電機(jī)的定位力/定位力矩進(jìn)行計(jì)算和分析。

6 結(jié)論

推薦采用式（6）來計(jì)算永磁體內(nèi)的磁共能。通過該方法，永磁體的磁共能密度可用式（9）來表示，該式與其他無源材料的表達(dá)式相一致，且對于永磁體的理想退磁特性和實(shí)際退磁特性，該式均適用，因而用式（9）來計(jì)算永磁體的磁共能密度具有很強(qiáng)的適用性；并且對于無傳導(dǎo)電流的永磁體系統(tǒng)，系統(tǒng)的總磁共能可以表示為僅與永磁體體積分有關(guān)的形式，這極大地方便了對系統(tǒng)的性能分析。

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