李雪楓,袁濤

(昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,昆明650093)

藝術(shù)與數(shù)學(xué)有著極其豐富的普遍意義和極其深刻的美妙聯(lián)系.多少世紀(jì)以來,藝術(shù)家在進(jìn)行藝術(shù)的創(chuàng)作中,利用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)方法而使畫面充滿了和諧與美感.古希臘雕塑家們?cè)腰S金分割用在他們的許多作品的比例中.偉大的達(dá)?芬奇在其繪畫研究中運(yùn)用黃金矩形、比例和射影幾何,取得了非凡的成就.今天,數(shù)學(xué)在為藝術(shù)家提供創(chuàng)造和傳達(dá)他們思想的靈感和工具方面仍然起著積極的作用.藝術(shù)家利用數(shù)學(xué)思想創(chuàng)造更深邃的藝術(shù).事實(shí)上,有很多藝術(shù)家正在進(jìn)行與數(shù)學(xué)思想——多維空間和計(jì)算機(jī)再現(xiàn)技術(shù)的數(shù)學(xué)思想有關(guān)的藝術(shù)探索.

數(shù)學(xué)(特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué))的研究對(duì)象在很大程度上可以被看成是“思維的自由想象和創(chuàng)造”.因此,美學(xué)的因素在數(shù)學(xué)的研究中占有特別重要的地位,以致在一定程度上數(shù)學(xué)就可被看成一種藝術(shù).數(shù)學(xué)理論以邏輯的嚴(yán)密性和規(guī)律性,在藝術(shù)的領(lǐng)域里借助于直覺、想象等非邏輯思維.提出新的概念和理論.所以,數(shù)學(xué)不僅有利于發(fā)展人們的邏輯思維,而且也有利于在人們的創(chuàng)造活動(dòng)中對(duì)審美、直覺的發(fā)展.

近代計(jì)算機(jī)技術(shù)更是將數(shù)學(xué)與美術(shù)這兩者緊密地結(jié)合起來,形成了一門嶄新的邊緣學(xué)科--數(shù)學(xué)美術(shù)學(xué).1980年當(dāng)計(jì)算機(jī)的圖形功能日趨完善的時(shí)候,數(shù)學(xué)公式所具有的美學(xué)價(jià)值被曼德布爾魯斯所發(fā)現(xiàn)①,這就打開了數(shù)學(xué)美術(shù)寶庫(kù)的大門,使常人也有幸目睹了數(shù)學(xué)公式所蘊(yùn)藏的美學(xué)內(nèi)涵.由一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式經(jīng)過上億次迭代計(jì)算所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)美術(shù)作品,可以用電腦根據(jù)實(shí)物自行改變大小進(jìn)行組合形成局部圖案,再自動(dòng)拓展設(shè)計(jì)出復(fù)雜的圖案,廣泛用于印染、針織、裝潢.許多復(fù)雜的繪制過程和難以得到的視覺效果,在電腦中變得輕而易舉.

1 傅里葉級(jí)數(shù)及其展開圖的繪制

1.1 傅里葉級(jí)數(shù)的概念

傅里葉級(jí)數(shù)原來主要應(yīng)用于信號(hào)分析.自然界中周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述構(gòu)成周期函數(shù).傅里葉級(jí)數(shù)反映了一個(gè)周期函數(shù)可以分解為有限或無(wú)限多個(gè)不同頻率的正弦(或余弦)信號(hào)之加權(quán)這樣的一個(gè)基本事實(shí),同時(shí)也說明了無(wú)限多個(gè)不同頻率的正弦(或余弦)信號(hào)可以合成某一指定的周期信號(hào).

下面是傅里葉級(jí)數(shù)的概念:

1.2 傅里葉級(jí)數(shù)圖形的繪制

圖2 是以上代碼中在區(qū)間上的傅里葉展開圖.

圖1 級(jí)數(shù)圖形

圖2 不同區(qū)間的級(jí)數(shù)圖形

通過以上一個(gè)簡(jiǎn)單的例子,我們可以看出:傅里葉級(jí)數(shù)圖形非常具有節(jié)奏韻律感,并且,當(dāng)改變變量的取值范圍,就可以生成重復(fù)的、變化的圖案,由此得到變化的單元及重復(fù)的有節(jié)奏的構(gòu)圖.

2 傅里葉級(jí)數(shù)圖形在圖案設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

2.1 傅里葉級(jí)數(shù)圖形的形態(tài)特征

由于三角級(jí)數(shù)的周期性,傅里葉級(jí)數(shù)圖形具有反復(fù)出現(xiàn)的形態(tài)特征,并且在反復(fù)的同時(shí)兼有大小的變化、高低的起伏,因而傅里葉級(jí)數(shù)圖形具有強(qiáng)烈的節(jié)奏與韻律感,如圖3所示;

傅里葉級(jí)數(shù)圖形在構(gòu)圖上是對(duì)稱、平衡的圖形.如圖4,這是一個(gè)完全對(duì)稱、平衡的圖形,結(jié)構(gòu)規(guī)則,平穩(wěn)統(tǒng)一,在視覺心理上偏于嚴(yán)謹(jǐn)和理性.我們?cè)趫D案設(shè)計(jì)中采用這些形式能使圖案產(chǎn)生安靜、平穩(wěn)和莊重之感.

圖3 級(jí)數(shù)圖形的節(jié)奏韻律

圖4 級(jí)數(shù)圖形的對(duì)稱平衡

2.2 應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)

圖案紋樣的構(gòu)成形式可分為獨(dú)立式和連續(xù)式兩類.獨(dú)立式受外形左右,分為單獨(dú)紋樣和適合紋樣;連續(xù)式多分為二方連續(xù)和四方連續(xù)等綜合紋樣.

(1)單獨(dú)紋樣圖案的設(shè)計(jì)

單獨(dú)紋樣是圖案組織中最基本的形式,由它進(jìn)行組合、排列或者發(fā)展、衍生,可構(gòu)成豐富的圖案變化.當(dāng)然,它可以進(jìn)行正負(fù)形態(tài)的變化、或者比例變形.因此,又被稱為基本形.單獨(dú)紋樣的應(yīng)用范圍很廣泛:室內(nèi)的裝飾浮雕、壁飾、椅子背、服裝的前身、領(lǐng)角、領(lǐng)帶及皮包、發(fā)卡等;紡織品的床單、毛巾、手絹等以及在器物上.

圖5 基本形1

圖6 單獨(dú)紋樣1

圖7 單獨(dú)紋樣2

圖5 是傅里葉級(jí)數(shù)基本形.

圖6 是將此基本形導(dǎo)入CorelDRAW軟件中經(jīng)90°旋轉(zhuǎn)變化得到的單獨(dú)紋樣.

圖7 是同一基本形在CorelDRAW軟件中經(jīng)邏輯運(yùn)算設(shè)計(jì)得到的單獨(dú)紋樣.

(2)二方連續(xù)圖案的設(shè)計(jì)

二方連續(xù)紋樣是通過基本形的線型排列所形成的,是一種具有連續(xù)性的紋樣圖形.通常連續(xù)展開于左右(橫)或上下(縱)兩個(gè)方向.二方連續(xù)紋樣主要應(yīng)用在:地毯、瓷磚、墻線裝飾、鐵藝欄桿;紡織品桌布、床單邊飾及各種裝飾布邊;盆邊、碗邊、碟邊,還有服裝衣擺、圍巾邊飾、掛包等等.

圖8 是由與圖5相同的基本形1創(chuàng)作出的二方連續(xù)紋樣.將傅里葉級(jí)數(shù)基本形導(dǎo)入CorelDRAW軟件中經(jīng)旋轉(zhuǎn)、拼接、翻轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)變化而來.

圖8 二方連續(xù)紋樣

(3)四方連續(xù)圖案的設(shè)計(jì)

四方連續(xù)紋樣是通過基本形的面型排列所形成的連續(xù)紋樣.四方連續(xù)紋樣適合于大面裝飾,如紡織品、壁紙、建筑紋樣、地磚等.

圖11是由基本形2(圖9)和單獨(dú)紋樣3(圖10)共同創(chuàng)作出的四方連續(xù)紋樣.

3 結(jié) 語(yǔ)

通過以上設(shè)計(jì)實(shí)例可以看出:傅里葉級(jí)數(shù)圖形本身就具有很強(qiáng)的節(jié)奏性和美感.應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)的基本形、變體和其組合,創(chuàng)作出的圖案體現(xiàn)出對(duì)稱與平衡、節(jié)奏與韻律、變化與統(tǒng)一等形態(tài)特征.通過不同的構(gòu)圖方法,相同的基本形可以產(chǎn)生出多種紋樣圖形,并且創(chuàng)作出的圖案形象豐富,圖為形,地亦為形,圖地互換,形成正負(fù)形態(tài).傅里葉級(jí)數(shù)形成的圖形具有強(qiáng)烈的數(shù)理關(guān)系和非人為的因素,其原始圖形揭示了設(shè)計(jì)藝術(shù)形式規(guī)則中的數(shù)理內(nèi)涵,也為設(shè)計(jì)藝術(shù)增添了理性化的表達(dá)方式,并在形態(tài)的創(chuàng)造方面賦予設(shè)計(jì)師更廣闊的空間.

[1]張維忠.文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育[M].北京:人民教育出版社,2006:31-33.

[2]徐人平.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2006:152-153.

[3]何 潔.數(shù)字圖形構(gòu)成[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006:32-35.

[4][日]雨宮好文,佐藤幸男.信號(hào)處理入門[M].北京:科學(xué)出版社,2000:11-12.