童海濱,王新建,陳建生,董海洲

(1.河南大學(xué)環(huán)境與規(guī)劃學(xué)院,河南開封 475004;2.華北水利水電學(xué)院資源與環(huán)境學(xué)院,河南鄭州 450011;3.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210098)

在同位素水文領(lǐng)域,瑞利分餾模型[1-3]作為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、物理意義明確的數(shù)學(xué)模型有著廣泛的應(yīng)用,特別是在定性甚至定量解釋降水線(MWL)、蒸發(fā)線(EL)[1,4-7]的物理成因,進(jìn)而用于分析確定地下水的補(bǔ)給來(lái)源、區(qū)分地下水的不同類型[8-9]等方面.然而瑞利分餾模型的推導(dǎo)建立在假定液相水體的同位素充分混合,各處的同位素組成在垂向上沒(méi)有差異的前提下,這與湖水、海水等水體的同位素組成在垂向上存在差別的事實(shí)不甚符合,從而瑞利分餾模型不能模擬水體氫氧穩(wěn)定同位素組成在垂向上的差別也在意料之中.本文借鑒文獻(xiàn)[10-11]的推導(dǎo)方法,以數(shù)學(xué)物理方法為研究手段,嘗試在考慮垂向上的濃度差異及其所引起的擴(kuò)散作用的前提下,重新推導(dǎo)靜止水體在僅受蒸發(fā)作用下的微分方程模型(以下簡(jiǎn)稱本文模型),以作為瑞利分餾模型的一個(gè)補(bǔ)充和擴(kuò)展.

1 模型的建立

1.1 模型的理論基礎(chǔ)

本文模型的理論基礎(chǔ)有:(a)fick擴(kuò)散原理;(b)瑞利分餾原理(關(guān)于同位素的有關(guān)記號(hào)和瑞利分餾原理可參見文獻(xiàn)[10]);(c)Craig等[12]提出的開啟水面蒸發(fā)模型(亦即“4層模型”,詳見第1.4.3節(jié)).

1.2 模型假定

為簡(jiǎn)化分析與推導(dǎo),本文模型假定:(a)盛水容器為一圓柱體,底面積恰為一個(gè)單位面積;(b)水體僅受蒸發(fā)作用,水體氫氧穩(wěn)定同位素變化僅由蒸發(fā)作用引起,并且水體表面各處的蒸發(fā)強(qiáng)度是相同的;(c)處在同一深度的水平剖面上的水體其同位素組成在同一時(shí)刻是相同的,即本文模型中的氫氧穩(wěn)定同位素組成最終可表示為時(shí)間t和垂向位置(高度h)的函數(shù);(d)水體底部是封閉的,沒(méi)有水流的流進(jìn)、流出.

1.3 微分方程的推導(dǎo)

由fick擴(kuò)散定律知:由分子擴(kuò)散引起的穩(wěn)定重同位素的通量Ih與重同位素的濃度梯度?R/?h成正比(簡(jiǎn)潔起見,下文“穩(wěn)定重同位素”一律簡(jiǎn)稱“重同位素”).即

式中:Ih——穿過(guò)垂向高度為h處的水體截面的重同位素的通量;D——重同位素水分子的擴(kuò)散系數(shù),R——所研究元素的穩(wěn)定同位素比值.那么對(duì)液相水體內(nèi)部任一高度h處的厚度為Δh的水體微元(圖1),考慮它在t到t+Δt時(shí)段內(nèi)同位素組成的變化應(yīng)當(dāng)滿足質(zhì)量守恒定律,即:[t,t+Δt]時(shí)段內(nèi)流入微元的重同位素的量加上t時(shí)刻微元內(nèi)所含重同位素的量Nh,t,再減去[t,t+Δt]時(shí)段內(nèi)流出微元的重同位素的量,應(yīng)等于t+Δt時(shí)刻微元內(nèi)所含重同位素的量(圖2),用公式表示為

把式(1)代入式(2),并注意到N和R的近似關(guān)系N=RΔh,整理得

令 Δh→0,Δt→0,兩邊取極限,得

這就是液相水體內(nèi)部的水的重同位素組成所必須滿足的分子擴(kuò)散方程.

圖1 用于推導(dǎo)微分方程的水體微元Fig.1 Differential element of water used to deduce differential equation

圖2 t～t+Δt時(shí)段內(nèi)流入和流出水體微元的重同位素的量Fig.2 Quantity of heavy isotope flowing into and out of differential element during t-t+Δt

1.4 初始條件和邊界條件的推導(dǎo)

1.4.1 初始條件

由前述模型假定(c),氫氧穩(wěn)定同位素組成可表示為時(shí)間t和垂向位置(高度h)的函數(shù).不妨設(shè)初始時(shí)刻為t=0時(shí)刻,則同位素組成僅是高度h的函數(shù),初始條件可表示為

式中R0為可微函數(shù).

1.4.2 液相水體底部的邊界條件

因?yàn)樗w底部是封閉的,沒(méi)有水流的流進(jìn)、流出,從而亦沒(méi)有重同位素的流入與流出,因此該處重同位素的通量亦即

1.4.3 液相水體蒸發(fā)面處的邊界條件

在蒸發(fā)面處,由于有水體與大氣的同位素交換問(wèn)題,使得邊界條件的建立比較復(fù)雜,本文模型擬通過(guò)“兩步走”的方法來(lái)解決:(a)依據(jù)Craig等[12]提出的開啟水面蒸發(fā)模型的物理背景,把紊流層、擴(kuò)散層、飽和層、水層這4層之間的分餾作用歸結(jié)為一個(gè)總的分餾作用;(b)在考慮上述總的分餾作用和水體蒸發(fā)、水量平衡、重同位素質(zhì)量守恒的前提下,推導(dǎo)液相水體蒸發(fā)面處的邊界條件.

Craig等[12]提出的開啟水面蒸發(fā)模型把水汽界面分為4層:水層、飽和層、擴(kuò)散層和紊流層(圖3).在水層和飽和層之間的分餾屬于平衡分餾(飽和層相對(duì)濕度為100%).飽和層和紊流層之間的擴(kuò)散層通過(guò)分子擴(kuò)散作用,水蒸氣向2個(gè)方向運(yùn)動(dòng).分子擴(kuò)散是一個(gè)分餾過(guò)程,因?yàn)檩p水分子在空氣中的擴(kuò)散系數(shù)比重水分子的大,從而在該層產(chǎn)生了非平衡富集.

在高相對(duì)濕度(H=100%)條件下,過(guò)渡帶向2個(gè)方向的擴(kuò)散相等,不發(fā)生凈分餾.然而,當(dāng)濕度較小時(shí),就會(huì)發(fā)生飽和層向紊流層的凈擴(kuò)散.這樣飽和層中擴(kuò)散較強(qiáng)的輕水分子減少,而重水分子相對(duì)富集.根據(jù)空氣中氣體的擴(kuò)散分餾公式可以計(jì)算出這種擴(kuò)散作用所產(chǎn)生的最大分餾效應(yīng)為[3]:18α飽和層-紊流層≈1.03236,2α飽和層-紊流層≈1.01664,從而

圖3 開啟水面蒸發(fā)模型示意圖Fig.3 Evaporation model of water surface

式中:18εk——飽和層水分子的18O的含量相對(duì)于紊流層水分子中18O含量的富集系數(shù);2εk——飽和層水分子的2H的含量相對(duì)于紊流層水分子中2H含量的富集系數(shù);18α飽和層-紊流層——飽和層水分子的18O含量相對(duì)于紊流層水分子中18O含量的分餾系數(shù);2α飽和層-紊流層——飽和層水分子的2H含量相對(duì)于紊流層水分子中2H含量的分餾系數(shù).

實(shí)際上由于相對(duì)濕度很少接近0,從而動(dòng)力(擴(kuò)散)分餾效應(yīng)沒(méi)有這么顯著.Gonfiantini[13]用下述關(guān)系式描述了相對(duì)濕度H與動(dòng)力效應(yīng)Δ18ε,Δ2ε的關(guān)系:

因此,水層與紊流層之間的總分餾系數(shù) α水層-紊流層為水汽交換平衡分餾系數(shù) α水層-飽和層和動(dòng)力分餾系數(shù)α飽和層-紊流層之積 :

其中對(duì)氫元素和氧元素而言,與平衡分餾效應(yīng)所對(duì)應(yīng)的富集系數(shù)εe的計(jì)算式可采用Majoube在1971年通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出的關(guān)系式[14]:

式中T為K氏溫度.從而總的富集系數(shù)ε總為

亦即紊流層水分子同位素組成相對(duì)于水層水分子的同位素組成的分餾系數(shù) α為

當(dāng)水面高度為h時(shí),取水面上厚度為Δh的一微元,對(duì)微元水體被蒸發(fā)前后整個(gè)水體中的重同位素(圖4),根據(jù)瑞利分餾和質(zhì)量守恒建立如下近似等式:

方程左邊分兩段積分,右邊作一階泰勒級(jí)數(shù)近似展開,得

圖4 用于推導(dǎo)蒸發(fā)面處微分方程的水體微元Fig.4 Differential element of water used to deduce differential equation of evaporation surface

注意到水體微元Δh和蒸發(fā)率[15]E的關(guān)系Δh=EΔt,式(18)可化為

從而液相蒸發(fā)面處所需滿足的邊界條件為

綜合1.3節(jié)的微分方程和本節(jié)的初始條件、邊界條件,完整地考慮垂向濃度差異的靜止水體在僅受蒸發(fā)作用下的氫氧穩(wěn)定同位素組成的微分方程模型如下:

2 與本文模型相應(yīng)的蒸發(fā)試驗(yàn)中的同位素取樣問(wèn)題

本文模型所描述的是蒸發(fā)分餾條件下,水體瞬態(tài)的同位素濃度的垂向分布問(wèn)題.此處以筆者此前所作的蒸發(fā)試驗(yàn)為例,探討如何取樣以及取樣時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng).該問(wèn)題的核心是要盡量減小或避免取樣本身對(duì)試驗(yàn)中的同位素濃度分布所造成的擾動(dòng).

圖5 盛水容器Fig.5 Water containers

如圖5所示,用于蒸發(fā)試驗(yàn)的容器是一外形似量筒的透明容器,此圓筒形容器的直徑較大(例如直徑1m).蒸發(fā)量的大小可以直接從盛水容器外的刻度線讀出.在容器壁的側(cè)面打有一排自上而下直線分布的圓形孔洞,打出的孔洞用表面涂有強(qiáng)力黏合劑的橡皮塞塞住,然后在容器內(nèi)灌滿水.取樣時(shí),用取樣器(注射器狀)的針頭穿過(guò)橡皮塞直至水體.在同一時(shí)刻起始的一小段時(shí)間內(nèi),從上至下對(duì)各孔依次取樣.當(dāng)每次取樣總時(shí)間較短時(shí),近似認(rèn)為各孔在同一時(shí)刻取樣.因?yàn)槭⑺萜鞯闹睆奖容^大,相鄰兩次取樣時(shí)間又有較長(zhǎng)的間隔,每孔每次的取樣水量又較少,取樣器的針頭直徑較小,因而有下式成立:

式中:m——t時(shí)刻的取樣個(gè)數(shù)(等于盛水容器中完全被水淹沒(méi)的橡皮塞個(gè)數(shù));Δt——上下2次取樣時(shí)的時(shí)間間隔;Vt——t時(shí)刻容器中的水體體積.

式(22)的成立,保證了取樣水體遠(yuǎn)小于相應(yīng)時(shí)段的蒸發(fā)量.另外,由于取樣器針頭較細(xì),長(zhǎng)度較長(zhǎng),能保證抽到遠(yuǎn)離容器壁的水體.在插入針頭及抽取水樣時(shí),保持動(dòng)作輕緩,即可最大限度地減少對(duì)原有水體濃度分布的擾動(dòng),此外,較小的針頭也保證了針頭拔出時(shí),容器內(nèi)的液體不至于從橡皮塞上扎過(guò)的針孔中流出.

如果是在野外取樣(例如取湖泊水體),可以通過(guò)特制的取水器(例如彈簧壓卡式取水器[16],能在指定深度打開并裝水,待裝滿水后自動(dòng)密封,以防止內(nèi)外水體交換,從而實(shí)現(xiàn)了定點(diǎn)取樣)取不同深度的水樣.如果在水平向不同位置平行布置測(cè)點(diǎn),每個(gè)點(diǎn)只取一次樣品,不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同深度,各點(diǎn)適當(dāng)拉開距離,就能避免相互干擾,如果每個(gè)點(diǎn)的取樣都在取樣器緩慢插入水中指定位置之后的很長(zhǎng)一段時(shí)間后進(jìn)行(比如一個(gè)星期之后),那么因取樣器插入水中而引起的對(duì)同位素垂向濃度分布的擾動(dòng),在現(xiàn)有儀器精度下,也在可忽略范圍之內(nèi).

3 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)同位素水文中廣泛應(yīng)用的瑞利分餾模型沒(méi)有考慮水體穩(wěn)定同位素組成在垂向上的差別,與自然界的實(shí)際過(guò)程不甚吻合的缺陷,在瑞利分餾模型的基礎(chǔ)上,以及考慮水體的同位素組成在垂向上的差別和此差別引起的擴(kuò)散作用的前提下,重新推導(dǎo)了靜止水體在僅受蒸發(fā)作用下的同位素組成的微分方程模型,并著重詳細(xì)推導(dǎo)了液相水體蒸發(fā)面處的邊界條件,建立了包含完整的初值和邊值條件的靜止水體在僅受蒸發(fā)作用下并考慮垂向分子擴(kuò)散作用的穩(wěn)定同位素組成的微分方程模型,并指出了取樣時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題.該方程有可能為定量分析湖泊等水體在經(jīng)受蒸發(fā)作用時(shí)其氫氧穩(wěn)定同位素組成在垂向上的分布情況提供更精細(xì)的數(shù)學(xué)參照.當(dāng)然,本文只是理論上的初步探討,后續(xù)還需要大量的物理模型實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步確認(rèn).

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