劉 肖,趙慶志,于光偉,張 健

(山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,山東淄博255049)

在數(shù)控機(jī)床控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中,輸入的包含工件信息的ISO代碼是根據(jù)不同的插補(bǔ)原理,通過(guò)編程翻譯成的相應(yīng)代碼.對(duì)數(shù)控系統(tǒng)來(lái)說(shuō),插補(bǔ)是最重要的計(jì)算任務(wù).目前普遍采用的插補(bǔ)算法有兩大類(lèi):一類(lèi)是脈沖增量插補(bǔ),如逐點(diǎn)比較法[1]、數(shù)字積分法、比較積分法[2]、矢量判斷法等;另一類(lèi)是數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)[3].本文采用的差分插補(bǔ)原理[4]基于多項(xiàng)式函數(shù)插值擬合的理論,具有很多的優(yōu)點(diǎn),可計(jì)算曲線的某點(diǎn)函數(shù)值、一階、二階導(dǎo)數(shù)、曲率半徑、判斷曲線的凸凹性,適合于任意圓錐曲線(包括直線,圓弧,橢圓,拋物線,雙曲線等)的插補(bǔ),尤其是非圓曲線的插補(bǔ).用差分插補(bǔ)原理可編制通用化模塊程序[5],本文著重論述雙曲線ISO代碼譯成差分插補(bǔ)代碼的方法.

1 基于差分插補(bǔ)原理的曲線方程坐標(biāo)系變換及5B代碼定義

設(shè)X軸始終水平向右、Y軸始終垂直向上、坐標(biāo)原點(diǎn)不定的坐標(biāo)系為絕對(duì)坐標(biāo)系,象限定義為L(zhǎng)41、L42、L43、L44.以加工曲線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),起點(diǎn)的切線方向在第一象限建立的坐標(biāo)系為相對(duì)坐標(biāo)系.將絕對(duì)坐標(biāo)系中的曲線表達(dá)式轉(zhuǎn)化為相對(duì)坐標(biāo)系中正二次曲線表達(dá)式[2]得到

則差分插補(bǔ)代碼定義為

其中

j x1,jy1,j x2,jy2分別叫X的一階差分,Y的一階差分,X的二階差分,Y的二階差分;j j是計(jì)數(shù)長(zhǎng)度,在相對(duì)坐標(biāo)系下,設(shè)曲線終點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值為K,當(dāng)K＞1時(shí),計(jì)數(shù)方向Gxy=79,此時(shí)j j為曲線在Y軸按計(jì)數(shù)方向的投影長(zhǎng)度.當(dāng)K≤1時(shí),計(jì)數(shù)方向Gxy=78,jj為曲線在X軸按計(jì)數(shù)方向的投影長(zhǎng)度;lxy表示在以曲線起點(diǎn)為原點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)系中,曲線起點(diǎn)的切線方向所在的象限號(hào).在曲線插補(bǔ)過(guò)程中,要始終保證j x1＞0且j y1＞0,以使曲線加工沿著曲線的走向.

2 順時(shí)針雙曲線ISO代碼轉(zhuǎn)化

順時(shí)針雙曲線ISO代碼的定義為

其中:(x,y)為雙曲線終點(diǎn)相對(duì)起點(diǎn)的坐標(biāo);(i,j)為雙曲線的頂點(diǎn)相對(duì)起點(diǎn)的坐標(biāo);a為實(shí)半軸長(zhǎng)度;k=0表示雙曲線以X軸為實(shí)軸,k=1表示雙曲線以Y軸為實(shí)軸,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

則(-i,-j)滿足式(3),即

2.1 順時(shí)針雙曲線相對(duì)坐標(biāo)編程

1)k=0&&y<0,即以X軸為實(shí)軸,左邊的那條雙曲線,如圖1所示.

(1)當(dāng)i＞0&&j<0時(shí),曲線起點(diǎn)在第二象限,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下的方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(4)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:(i)當(dāng)|j2(x-i-a)|＞i|(j+y)(i+2a)時(shí),Gxy=79,j j=|y|;

(ii)當(dāng)|j2(x-i-a)|≤i|(j+y)(i+2a)|時(shí),Gxy=78;當(dāng)|y|≤|j|時(shí),j j=x;當(dāng)|y|＞|j|時(shí),jj=2i-x.

(2)當(dāng)i=0&&y<0時(shí),曲線起點(diǎn)在X軸上,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下的方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

圖1 k=0&&y<0時(shí)雙曲線

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(5)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|y(x+a)|＞|x(x-2a)|時(shí),Gxy=79,jj=|y|;

(ii)當(dāng)|y(x+a)|≤|x(x-2a)時(shí),Gxy=78,j j=|x|.

(3)當(dāng)i＞0&&j＞0時(shí),曲線起點(diǎn)在第三象限,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(6)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|j2(x+i+a)|＞i|(j+y)(i+2a)時(shí),Gxy=79,jj=|y|;

(ii)當(dāng)|j2(x+i+a)≤i|(j+y)(i+2a)|時(shí),Gxy=78,jj=|x|.

2)k=0&&y＞0,即以X軸為實(shí)軸,右邊的那條雙曲線,如圖2所示.

(1)當(dāng)i<0&&j＞0時(shí),曲線起點(diǎn)在第四象限,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

圖2 k=0&&y＞0時(shí)雙曲線

對(duì)式(7)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|j2(x-i-a)|＞i|(j-y)(i-2a)時(shí),Gxy=79,j j=y;

(ii)當(dāng)|j2(x-i-a)|≤i|(j-y)(i-2a)|時(shí),Gxy=78;當(dāng)y≤j時(shí),jj=x;當(dāng)y＞j時(shí),j j=2|i|+x.

(2)當(dāng)i=0&&y＞0時(shí),曲線起點(diǎn)在X軸上,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(8)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|y(x+a)|＞|x(x+2a)|時(shí),Gxy=79,j j=y;

(ii)當(dāng)|y(x+a)|≤|x(x+2a)|時(shí),Gxy=78,j j=x.

(3)當(dāng)i<0&&j<0時(shí),曲線起點(diǎn)在第一象限,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(9)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|j2(x+a-j)|＞i|(y-j)(i-2a)|時(shí),Gxy=79,j j=|y|;

(ii)當(dāng)|j2(x+a-j)|≤i|(y-j)(i-2a)|時(shí),Gxy=78,jj=|x|.

3)k=1&&x<0,即以Y軸為實(shí)軸,上邊的那條雙曲線,如圖3所示.

圖3 k=1&&x<0時(shí)雙曲線

(1)當(dāng)i<0&&j<0時(shí),曲線起點(diǎn)在第一象限,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(10)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|(2aj-j2)(x+i)|＞i2|(a-j-y)|時(shí),Gxy=79,當(dāng)|x|≤|i|時(shí),j j=|y|;當(dāng)|x|＞|i|時(shí),jj=2|j|+y;

(ii)當(dāng)|(2aj-j2)(x+i)|≤i2|(a-j-y)|時(shí),Gxy=78,jj=|y|.

(2)當(dāng)x<0&&j=0時(shí),曲線起點(diǎn)在Y軸上,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(11)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|(2a+y)y|＞|x(a+y)|時(shí),Gxy=79,jj=|y|;

(ii)當(dāng)|(2a+y)y|≤x(a+y)|時(shí),Gxy=78,jj=|x|.

(3)當(dāng)i＞0&&j<0時(shí),曲線起點(diǎn)在第二象限,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(12)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|(2aj-j2)(x+i)|＞i2|(a-j+y)|時(shí),Gxy=79,j j=|y|;

(ii)當(dāng)|(2aj-j2)(x+i)|≤i2|(a-j+y)|時(shí),Gxy=78,j j=|x|.

4)k=1&&x＞0,即以Y軸為實(shí)軸,下邊的那條雙曲線,如圖4所示.

圖4 k=1&&x＞0時(shí)雙曲線

(1)當(dāng)i＞0&&j＞0時(shí),曲線起點(diǎn)在第三象限,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(13)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|(2aj+j2)(x-i)|＞i2|(a+j-y)|時(shí),Gxy=79,當(dāng)|x|≤|i|時(shí),j j=|y|;當(dāng)|x|＞|i|時(shí),jj=2|j|-y;

(ii)當(dāng)|(2aj+j2)(x-i)|≤i2|(a+j-y)|時(shí),Gxy=78,jj=|x|.

(2)當(dāng)x＞0&&j=0時(shí),曲線起點(diǎn)在Y軸上,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為:

對(duì)式(14)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|y(y-2a)|＞|(y+a)x|時(shí),Gxy=79,jj=|y|;

(ii)當(dāng)|y(y-2a)|≤|(y+a)x|時(shí),Gxy=78,jj=|x|.

(3)當(dāng)i<0&&j＞0時(shí),曲線起點(diǎn)在第四象限,此時(shí)雙曲線在相對(duì)坐標(biāo)下曲線方程為

整理為式(1)形式的表達(dá)式得

則差分插補(bǔ)代碼為

對(duì)式(15)求導(dǎo)數(shù)確定計(jì)數(shù)方向和計(jì)數(shù)長(zhǎng)度:

(i)當(dāng)|(j2+2aj)(x-i)|＞i2|(y+a+j)|時(shí),Gxy=79,j j=|y|;

(ii)當(dāng)|(j2+2aj)(x-i)|≤i2|(y+a+j)|時(shí),Gxy=78,j j=|x|.

2.2 順時(shí)針雙曲線絕對(duì)坐標(biāo)編程

在順時(shí)針雙曲線ISO代碼前加上一條語(yǔ)句:G90X0Y0,用i=i-x0,j=j-y0,x=x-x0,y=yy0計(jì)算后代入相對(duì)坐標(biāo)程序,即可轉(zhuǎn)化為5B代碼

逆時(shí)針雙曲線ISO代碼的定義為

其轉(zhuǎn)化的方法與順時(shí)針雙曲線ISO代碼轉(zhuǎn)化一樣,不再贅述.

3 譯碼程序?qū)崿F(xiàn)

譯碼過(guò)程一般通過(guò)數(shù)組或鏈表加上文件類(lèi)的操作來(lái)完成,分為詞法、語(yǔ)法檢查和數(shù)值處理過(guò)程,通過(guò)刀補(bǔ)處理,將結(jié)果放入譯碼結(jié)果緩沖區(qū)中,再進(jìn)行插補(bǔ)、位控等后續(xù)操作.本實(shí)例在Window XP系統(tǒng)下用C++Builder6.0進(jìn)行了程序編制,定義了數(shù)組鏈表,結(jié)構(gòu)如下:

把存儲(chǔ)雙曲線信息的文件shuangquxian.dat翻譯成相應(yīng)的5b.dat,結(jié)果正確.

4 實(shí)例

N010G10X0 Y-60 I-8J-30A20

K0//逆時(shí)針雙曲線加工代碼

圖5 差分插補(bǔ)代碼

形成的差分插補(bǔ)代碼如圖5所示.演示結(jié)果如圖6所示,表明驗(yàn)證結(jié)果正確.

圖6 演示結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于非圓曲線的加工,一般數(shù)控系統(tǒng)都是采用直線和圓弧來(lái)進(jìn)行擬合,本文采用的差分插補(bǔ)算法可以直接加工非圓曲線,例如一些特殊曲線由橢圓,雙曲線,拋物線等組合成的零件曲線,這樣就避免產(chǎn)生擬合誤差,在提高加工精度的基礎(chǔ)上也提高了加工效率,在實(shí)際生產(chǎn)中已經(jīng)得到了驗(yàn)證.

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