楊 釗,余 俊,潘曉明,王艷麗

(1.同濟大學地下建筑與工程系,上海200092;2.同濟大學巖土及地下工程教育部重點實驗室,上海200092)

大量的實驗和研究表明,材料在絕對值相同的單軸拉應力或壓應力作用下,會發(fā)生絕對值不同的拉應變和壓應變,即材料具有受拉、壓不同彈性模量的非線性特性.實際上,土木工程中廣泛應用的巖材、磚材、混凝土、有機玻璃、塑料等存在顯著的拉、壓不同模量的力學屬性.但在目前的工程設(shè)計與施工中,并沒有考慮到材料的這一屬性,這將有可能造成較大的設(shè)計誤差,成為結(jié)構(gòu)失效的隱患[1-2].因此,開展拉壓不同模量彈性理論的研究,不僅有重要的理論意義,也有廣泛的工程應用空間.

拉壓不同模量理論是20世紀60年代由前蘇聯(lián)學者阿姆巴爾楚揚提出,并給出了圓柱殼軸對稱不同模量問題的解析解,隨后國內(nèi)外學者針對實際工程問題導出了圓柱彎曲、柱形孔擴張問題、彎壓柱、橫力彎曲梁、擋土墻等的解析解,針對復雜問題,解析解無法得到,有限單元法被應用于求解材料拉壓不同模量問題[3-6].

洞室開挖后,支護結(jié)構(gòu)的受力與變形與圍巖的物理力學性質(zhì)密切相關(guān).國內(nèi)外眾多學者研究了圍巖的彈塑性、各向異性以及蠕變性質(zhì)對支護結(jié)構(gòu)的受力和變形影響[7-10],但針對圍巖拉壓不同模量特性對支護結(jié)構(gòu)的影響研究還較少.

山嶺隧道圍巖具有典型的拉壓不同模量的屬性,以下將討論在彈性參數(shù)變化情況下,這一屬性對支護結(jié)構(gòu)的受力和變形的影響,為隧道支護結(jié)構(gòu)設(shè)計提供新的理論依據(jù).

1 不同模量材料彈性本構(gòu)關(guān)系

1.1 主應力方向本構(gòu)關(guān)系

不同模量彈性力學是建立在經(jīng)典的各向同性彈性力學基礎(chǔ)上,兩者的平衡方程與幾何方程完全相同,本構(gòu)方程均依據(jù)廣義胡克定律定義.但二者的區(qū)別在于本構(gòu)關(guān)系中的彈性常數(shù)取值的差異.不同模量彈性本構(gòu)方程根據(jù)一點的主應力的拉、壓狀態(tài)選取彈性常數(shù)(受拉時取彈性模量為E+、泊松比為ν+,受壓時取彈性模量為E-、泊松比為ν-),而經(jīng)典的各向同性彈性本構(gòu)方程的彈性常數(shù)與受力狀態(tài)無關(guān)(E+=E-,ν+=ν-).由廣義胡克定律,拉壓不同模量彈性力學本構(gòu)方程在主應力方向可以寫為

式中:εi為主應變;σj為主應力;αij=-ν+/E+(或-ν-/E-),i≠j;當σi＞0 時 ,αii=1/E+;當 σi＜0時 ,αii=1/E-.

1.2 笛卡爾坐標系下本構(gòu)關(guān)系

設(shè)3個主應力方向在笛卡爾坐標系下的方向余弦如表1所示

表1 主應力方向余弦Tab.1 Direction cosine of principal stress

在笛卡爾坐標系下,單元主應變可由全應變利用坐標轉(zhuǎn)軸公式得到

式中

基于主應變的單位體積應變能為

基于全應變的單位體積應變能為

由單位體積應變能相等可得

將式(2)代入式(5)可得

笛卡爾坐標系下不同模量彈性本構(gòu)關(guān)系為

2 不同模量彈性力學有限元單元法

2.1 不同模量彈性力學有限元計算方法

在非線性有限元計算中,常采用迭代法和增量法求解.增量法求解是用直線擬和曲線的過程,需用較小的荷載增量才能得到比較精確的解.迭代法是通過多次迭代,逐步調(diào)整材料的狀態(tài)參數(shù),使得材料滿足非線性本構(gòu)方程.考慮到計算的經(jīng)濟性,本文擬采用迭代法求解不同模量彈性力學問題.

在迭代法求解中,牛頓法收斂最快,但采用牛頓法計算需要用到材料的切線本構(gòu)矩陣,又由式(7)可知,不同模量彈性本構(gòu)矩陣為割線本構(gòu)矩陣,因此,在計算中擬采用初應力法和直接迭代法,但因直接迭代法對凸函數(shù)求解不收斂并且在每一個計算步都要求解剛度矩陣的逆[11],使得計算不經(jīng)濟.因此選用初應力法求解不同模量彈性力學問題.

2.2 拉壓不同模量彈性力學有限元迭代格式

有限單元法表示的平衡方程[12]為

式中:Ce為選擇矩陣;B為應變矩陣;F=∑CeFe,為整個系統(tǒng)的體力荷載矢量,Fe為單元的體力荷載矢量;T=∑CeTe,為整個系統(tǒng)的面力荷載矢量,Te為單元的面力荷載矢量;R為整個系統(tǒng)的荷載矢量.

將式(7)改寫成

代入式(8)得

式中:D0為初始給定的本構(gòu)矩陣,在本次計算中,為了使收斂速度較快,取為受壓的經(jīng)典彈性本構(gòu)矩陣;{}為有限元節(jié)點位移向量.

由式(10)可以建立一種迭代求解格式

式中:i代表迭代序列.

整個求解過程如下[13]:

(1)設(shè)定常剛度矩陣[D 0].

(2)由第i步迭代步的應力狀態(tài)和給定的常剛度矩陣,按公式(11)求解{δe}i+1,并根據(jù)節(jié)點的位移狀態(tài)計算節(jié)點的應力狀態(tài).

二維狀態(tài)下由位移場計算應力場的方法(三維狀態(tài)下類似)如下:

(1)由節(jié)點位移計算節(jié)點應變.

(2)假設(shè)節(jié)點應力狀態(tài)處于第一類區(qū)域雙向受壓,用受壓型本構(gòu)關(guān)系(經(jīng)典彈性本構(gòu))計算節(jié)點應力狀態(tài),并求解節(jié)點主應力.如果主應力均小于零,則此假設(shè)成立,否則進入下一步判斷.

(3)假設(shè)節(jié)點應力狀態(tài)處于第一類區(qū)域雙向受拉,用受拉型本構(gòu)關(guān)系(經(jīng)典彈性本構(gòu))計算節(jié)點的應力狀態(tài),并計算節(jié)點的主應力.如果主應力均大于零,則此假設(shè)成立,否則進入下一步判斷.

(4)判斷節(jié)點剪應變是否為零,如果剪應變?yōu)榱?根據(jù)x軸和y軸的應變狀態(tài)來判斷出節(jié)點的本構(gòu)關(guān)系(此時應變的拉、壓狀態(tài)即為應力的拉、壓狀態(tài)),計算應力,否則進入下一步判斷.

(5)根據(jù)節(jié)點應變計算節(jié)點的主應變和轉(zhuǎn)換矩陣,此時最大主應變?yōu)槔瓚?根據(jù)主應變方向上的本構(gòu)關(guān)系求得整體坐標系下的本構(gòu)關(guān)系,然后計算節(jié)點應力.

2.3 拉壓不同模量彈性力學有限元程序驗證

考慮一個平面應力圓環(huán),內(nèi)半徑為a,外半徑為b,圓環(huán)內(nèi)受均勻內(nèi)壓p.圓環(huán)內(nèi)環(huán)向應力σθ為拉,徑向應力σr為壓.圓環(huán)應力解析解為[14]

有限元程序驗證中,取圓環(huán)內(nèi)半徑a=1 m,圓環(huán)外半徑b=2 m,圓環(huán)內(nèi)壓p=60 kPa,笛卡爾坐標系原點位與圓環(huán)圓心重合.圓環(huán)彈性常數(shù)設(shè)為:E-=1.0×1010Pa,ν-=0.3,E+=0.5×1010Pa,ν+=0.15.

圓環(huán)主應力等值線與圓環(huán)邊界線組成一組同心圓弧,如圖1所示.有限元計算結(jié)果與解析解計算結(jié)果對比見表2,環(huán)向應力最高誤差為0.93%,平均相對誤差為0.64%;徑向應力最高誤差為2.13%,平均誤差為1.17%.該誤差源于有限元數(shù)值計算中網(wǎng)格的劃分,迭代收斂判斷準則以及其他諸多綜合因素的影響.由此可見,編制的有限元程序是可靠的,可用于實際工程計算.

圖1 圓環(huán)主應力等值線示意圖(單位:Pa)Fig.1 Contou r map of princ ipa l stress(unit:Pa)

表2 理論解與數(shù)值解對比Tab.2 Com parison of theory so lution an d numer ica l so lution

3 隧道模型、參數(shù)和有限元實現(xiàn)

3.1 隧道模型

隧道縱向結(jié)構(gòu)可以認為是一無限長的結(jié)構(gòu)體,在不考慮隧道結(jié)構(gòu)縱向變形的影響,以及在隧道地表起伏不大的區(qū)域,可將隧道結(jié)構(gòu)的變形與受力簡化為平面應變問題.文中目的是為了討論初期支護結(jié)構(gòu)在考慮圍巖拉壓不同模量性質(zhì)下的受力與變形,并不考慮圍巖與初期支護結(jié)構(gòu)的強度與破壞問題,因此將圍巖與初期支護結(jié)構(gòu)均視為彈性體.

選取隧道典型斷面,隧道斷面為R=12.00 m,R=6.15 m和R=2.50 m的三心圓形式.隧道洞跨12.30 m,洞高9.46 m,根據(jù)洞室開挖對圍巖的影響范圍,有限元分析范圍水平向取5倍的洞跨;豎向從隧道底部向下取20m.

3.2 有限元實現(xiàn)

有限元網(wǎng)格如圖2所示.圍巖與初噴混凝土支護采用8節(jié)點的平面應變單元.錨桿采用桁架單元模擬,錨桿單元采用嵌入單元技術(shù)嵌入圍巖中.隧道的開挖、初期支護的施作均采用“生死”單元技術(shù),隧道開挖單元先“生”后“死”,初期支護單元先“死”后“生”.單元的“生”、“死”通過調(diào)整單元的剛度矩陣變化來實現(xiàn).單元“生”狀態(tài),單元的剛度矩陣由給定單元的D矩陣形成;單元“死”狀態(tài),單元剛度矩陣等于單元“生”狀態(tài)剛度矩陣乘無窮小系數(shù).

圖2 有限元計算網(wǎng)格Fig.2 Mesh of finite elem entm ethod

在模擬洞室開挖之前,要對巖體進行初始地應力場平衡.在有限單元程序中,巖體的初始地應力場平衡分為兩步實現(xiàn).第一步:施加自重荷載,輸出節(jié)點內(nèi)力;第二步:重新計算,施加自重荷載和節(jié)點內(nèi)力,平衡初始地應力場.第二步分為2個時間步實現(xiàn):

(1)施加自重荷載,計算巖體的應力場與位移場,此時間步1計算所得的應力場即為初始平衡狀態(tài)下的應力場.

(2)將第一步所得節(jié)點內(nèi)力作為外荷載施加在節(jié)點上,并計算此時位移場,此時間步位移場計算結(jié)果趨近于零,即為初始平衡位移場.強制設(shè)定第2個時間步的應變增量為零,則第2個時間步應力增量也為零.第2個時間步末巖體的狀態(tài)即為初始地應力平衡狀態(tài).

3.3 地層、支護參數(shù)

為了突出拉、壓不同模量系數(shù)對支護結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形的影響,將隧道結(jié)構(gòu)周圍圍巖看作均質(zhì)的.取圍巖的彈性參數(shù)為

主應力坐標軸下平面應變的本構(gòu)方程為

當σ1,σ2 同號時 ,為經(jīng)典的彈性本構(gòu) .當 σ1,σ2 異號 ,且 σz＞0 時,β11=(1-ν+2)/E+,β12=β21=-ν+(1+ν+)/E+,β22=1/E--ν+2/E+.當 σ1,σ2異號,且 σz＜0 時 ,β11=1/E+-ν-2/E-,β12=β21=-ν-(1+ν-)/E-,β22=(1-ν-2)/E-.

錨桿采用 Φ5 mm的砂漿錨桿,彈性模量E=2.0×105MPa,泊松比ν=0.3.

初期支護采用鋼拱架,掛鋼筋網(wǎng)(Φ8 mm,20@20)、噴C25混凝土厚250 mm,材料參數(shù)按照《公路隧道設(shè)計規(guī)范》選取,見表3[15].

表3 噴射混凝土物理力學性質(zhì)Tab.3 Physicalandmechanical parameters of shotcrete

4 有限元計算結(jié)果分析

不同模量計算理論與經(jīng)典的彈性理論計算結(jié)果的差異,主要與不同模量系數(shù)α=E+/E-有關(guān).針對不同的不同模量系數(shù)α,分析在相同荷載條件下,錨桿軸力和初砌結(jié)構(gòu)應力場與位移場的響應.

當α從0.4變化到3.0時,襯砌結(jié)構(gòu)的最大位移量變化小于10%,變化并不是很明顯,如圖3所示.這主要因為對于隧道斷面,襯砌結(jié)構(gòu)最大位移處垂直方向的位移遠大于水平方向的位移,整個計算區(qū)域受壓區(qū)遠大于受拉區(qū),且受拉主應力方向主要集中在洞頂、洞底兩側(cè)的水平區(qū)域,對垂直方向位移影響較小.如果當泊松比較小時,圍巖與襯砌結(jié)構(gòu)受拉區(qū)區(qū)域增大,α對洞頂襯砌結(jié)構(gòu)的位移影響也將增大.

圖3 襯砌最大位移與α關(guān)系曲線Fig.3 Maxim um disp lacem ent of linear variationsw ithα

當α從0.4變化到3.0時,錨桿軸力變化在5%范圍以內(nèi),變化并不明顯,如圖4所示.這是因為采用嵌入單元技術(shù)后,錨桿的受力大小主要與隧道周邊圍巖位移場變化相關(guān),可以不計圍巖不同模量屬性對錨桿軸力的影響.

圖4 洞頂錨桿最大軸力與α關(guān)系曲線Fig.4 M aximum axia l force o f anchor var iations w ithα

采用不同模量有限元程序計算后可知,隨著不同模量系數(shù)α的增大,襯砌結(jié)構(gòu)最大主應力值增大,受拉區(qū)區(qū)域也變大,如圖5所示.當α從0.4變化到3.0,最大主應力值的變化幅度超過30%(均相對于經(jīng)典的彈性理論解),如圖6所示.如果當圍巖的泊松比更小(從經(jīng)典彈性力學可知,此時圍巖和初期支護受拉區(qū)的區(qū)域更大),則最大主應力值隨 α的變化將更加明顯.需要注意的是,當 α取不同值時,最小主應力值的變化卻不超過1%,如圖7所示,且位置并沒有發(fā)生改變,均位于隧道斷面的側(cè)面.因此可以認為圍巖不同模量屬性對襯砌結(jié)構(gòu)最小主應力不造成任何影響.

圖5 襯砌與圍巖受拉區(qū)Fig.5 Tensile zone o f linear and surrounding rock

圖6 襯砌洞頂最大主應力與α關(guān)系曲線Fig.6 Maximum princ ipa l stress variations at arch vau lt o f linear w ithα

5 結(jié)論

巖石這樣的脆性材料,具有明顯的拉壓不同模量屬性,如果仍沿用經(jīng)典彈性理論進行設(shè)計,將可能帶來顯著的誤差.本文考慮了隧道的自重應力場、隧道的開挖與隧道初期支護的施作,分析了隧道圍巖的不同模量特性對襯砌結(jié)構(gòu)受力與變形的影響,得出了以下結(jié)論:

圖7 襯砌最小主應力與α關(guān)系曲線Fig.7 M inimum pr incipal stress o f linear variation s withα

(1)圍巖的受壓彈性泊松比較小時,采用經(jīng)典彈性理論計算所得的受拉區(qū)較大,圍巖的不同模量屬性對支護結(jié)構(gòu)的位移場與應力場影響增大.

(2)對于不同模量系數(shù)較大的圍巖,應在隧道洞頂適量加大鋼筋網(wǎng)的密度,以防止初砌脫落或隧道坍塌等事故發(fā)生.

(3)對于不同模量系數(shù)較大的圍巖,應在隧道洞頂適當加長錨桿錨固長度,防止圍巖因受拉破壞而失穩(wěn).

(4)圍巖不同模量系數(shù)的變化,對錨桿軸力和襯砌結(jié)構(gòu)變形影響較小,在工程設(shè)計中可按經(jīng)典彈性理論計算錨桿軸力與襯砌結(jié)構(gòu)變形量.

(5)隧道結(jié)構(gòu)在地應力場的作用下,圍巖與襯砌結(jié)構(gòu)絕大部分位于受壓區(qū),因而圍巖不同模量系數(shù)的變化,對襯砌結(jié)構(gòu)受拉區(qū)應力場有顯著的影響,而對襯砌結(jié)構(gòu)的受壓區(qū)應力場影響微小.

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