湯石雄

（海軍榆林保障基地，榆林 572021）

1 引 言

在對(duì)設(shè)備或系統(tǒng)的故障診斷過(guò)程中，突變信號(hào)往往對(duì)應(yīng)著某些特定的故障狀態(tài)。一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)的特征信號(hào)都比較平穩(wěn)，而一旦出現(xiàn)故障，往往會(huì)產(chǎn)生具有奇異性的突變信號(hào)。例如系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的撞擊、震蕩、摩擦、轉(zhuǎn)速突變、結(jié)構(gòu)變形和斷裂等都可以反映在信號(hào)的突變點(diǎn)中，信號(hào)突變點(diǎn)的奇異性檢測(cè)可以有效地揭示故障信息。因此，檢測(cè)、分析并識(shí)別系統(tǒng)中的各種信號(hào)，并判斷其狀態(tài)，是對(duì)設(shè)備進(jìn)行故障診斷的有效方法。小波分析從數(shù)學(xué)上講可以認(rèn)為是一個(gè)分析波形的時(shí)頻放大鏡，它能將波形上的某一段取出來(lái)進(jìn)行專門(mén)的時(shí)域和頻域分析，因此，可以找出信號(hào)的具體特征，從而進(jìn)行信號(hào)的識(shí)別、變換等工作。

小波變換的模極大值對(duì)應(yīng)于信號(hào)的奇異點(diǎn)，可通過(guò)檢測(cè)模極大值來(lái)尋找信號(hào)的奇異點(diǎn)，進(jìn)而進(jìn)行故障診斷[1-4]。

2 信號(hào)的小波變換理論

定義 1[4,5]：令 Ψ(t)∈L2(R)，且?( 0)∈0，則由生成的函數(shù)族{Ψa,b(t)}稱連續(xù)時(shí)間小波，或稱分析小波。其中{Ψ(t)}稱為母小波或基本小波，a稱為尺度參數(shù)或伸縮參數(shù)，b稱為平移參數(shù)。稱為小波的允許條件。

定義2：函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換，定義為：

小波變換具有“恒Q特性”和“變焦距特性”，可以對(duì)時(shí)域和頻域進(jìn)行局部定位，并能檢測(cè)信號(hào)及其微商的突變，被稱譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，在信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別、故障診斷等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

2.1 小波降噪應(yīng)用分析

在對(duì)設(shè)備進(jìn)行故障診斷時(shí)，如果不對(duì)采集的信號(hào)進(jìn)行有效地降噪，實(shí)現(xiàn)信噪分離，那么后續(xù)的數(shù)據(jù)處理和特征提取將產(chǎn)生很大的誤差，從而影響故障診斷的精度。傳統(tǒng)的信號(hào)降噪一般采用傅里葉變換的方法，通過(guò)傅里葉變換（FFT）實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪是通過(guò)對(duì)原信號(hào)在一定范圍內(nèi)濾波來(lái)抑制噪聲的頻譜，具體過(guò)程是：首先，對(duì)原信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換求出其頻譜；然后，根據(jù)頻譜對(duì)不需要的頻譜成分進(jìn)行濾波，抑制噪聲信號(hào)的頻譜；最后，對(duì)濾波后的頻譜進(jìn)行傅里葉逆變換，得到降噪后的信號(hào)。

傅里葉變換的一個(gè)嚴(yán)重缺陷是不能表達(dá)時(shí)域信息，對(duì)系數(shù)的處理方法相對(duì)單一。因此，傅里葉變換在實(shí)際應(yīng)用中存在很大局限性，主要表現(xiàn)在頻譜混疊、頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，一般僅適合于平穩(wěn)、緩變信號(hào)的頻譜分析。后來(lái)的短時(shí)傅里葉變換雖然可以表達(dá)時(shí)域信息，但在相空間中的分辨率是固定的，不能反映信號(hào)的瞬時(shí)特點(diǎn)。小波變換從原理上克服了傅里葉變換的缺陷。首先，小波分析是按照頻帶而不是頻點(diǎn)的方式處理頻域信息，而利用對(duì)信號(hào)的時(shí)域加窗，取消了其整周期采樣的限制，而其頻域緊支性保證了帶通濾波性質(zhì)，因此，當(dāng)信號(hào)頻率微小波動(dòng)以及包含非正次諧波時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)傅里葉分析中的頻譜泄露和頻譜波動(dòng)現(xiàn)象；其次，小波變換能根據(jù)信號(hào)頻率的高低，通過(guò)尺度伸縮得到可調(diào)的時(shí)頻窗，這使其具備很強(qiáng)的奇異、突變信號(hào)識(shí)別能力，能有效地檢測(cè)和定位信號(hào)中混有的高頻干擾成分并加以分離。小波分析可通過(guò)在分解之后的各個(gè)層次上選擇閾值對(duì)噪聲成分進(jìn)行抑制，充分發(fā)揮了時(shí)域分析和頻域分析各自的優(yōu)點(diǎn)，提供了更為靈活的信號(hào)分析和處理方法。

利用小波變換降噪的原理是，小波變換對(duì)確定信號(hào)有一種“集中”的能力，可以使一個(gè)信號(hào)的能量在小波變換域集中于少數(shù)系數(shù)上，而高斯白噪聲的小波變換仍是同一幅度的高斯白噪聲，一般而言，信號(hào)的小波系數(shù)值大于那些能量分散于大量小波系數(shù)上且幅值較小的噪聲的小波系數(shù)值。因此，可以通過(guò)小波變換將噪聲從信號(hào)中分離出來(lái)。

小波分析用于降噪的基本過(guò)程是：首先，通過(guò)選定一種小波，對(duì)信號(hào)進(jìn)行N層小波分解；然后，對(duì)分解得到的各層系數(shù)進(jìn)行閾值處理；最后，降噪處理后的小波系數(shù)通過(guò)小波重建恢復(fù)原信號(hào)。在正交小波中，正交基的選取比傳統(tǒng)方法更接近實(shí)際信號(hào)本身，所以通過(guò)小波變換可以更容易地分離出噪聲和其他不需要的信息[5,6]。

2.2 間斷點(diǎn)檢測(cè)應(yīng)用分析

故障特征提取是故障診斷最重要也是最困難的問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的故障最初較微弱，其特征淹沒(méi)在背景信號(hào)中，傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法難以分離，使其不能被及時(shí)發(fā)現(xiàn)和排除，最終演變?yōu)閲?yán)重故障，影響系統(tǒng)運(yùn)行。工程實(shí)踐表明：對(duì)于某一特定的系統(tǒng)，在正常狀態(tài)下，有特定的特征波形。對(duì)于以信號(hào)展開(kāi)或變換理論為基礎(chǔ)的特征提取方法，一個(gè)重要問(wèn)題是基函數(shù)的選取要與被提取的特征相匹配。小波理論提供了不同特性的、豐富的基函數(shù)，使得對(duì)某一個(gè)特定的問(wèn)題可以選擇合適的基函數(shù)以獲得較好的故障分類信息。

小波變換實(shí)質(zhì)上是在每一個(gè)變換尺度上進(jìn)行一系列相關(guān)運(yùn)算，當(dāng)信號(hào)特征與小波特性相似時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)較大的小波系數(shù)，因此，采用與故障特征匹配的小波基函數(shù)分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)信號(hào)，可以顯示被淹沒(méi)的故障信號(hào)，在信號(hào)發(fā)生突變時(shí)，其小波變換后的系數(shù)具有模極大值，因此，可以通過(guò)檢測(cè)小波系數(shù)的模極大值來(lái)檢測(cè)突變信號(hào)的奇異點(diǎn)，進(jìn)而得到系統(tǒng)的故障信息。例如，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)表現(xiàn)為以轉(zhuǎn)速為周期的周期性振動(dòng)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)機(jī)械存在轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡、軸系不對(duì)中等故障時(shí)，在每個(gè)旋轉(zhuǎn)周期都將產(chǎn)生較強(qiáng)的振動(dòng)現(xiàn)象，并在振動(dòng)信號(hào)中出現(xiàn)不同類型的奇異點(diǎn)，這些奇異點(diǎn)通常包含有益的故障信息。

在數(shù)學(xué)上采用 Lipschitz指數(shù)來(lái)描述某一點(diǎn)的奇異性。

定義3[5,7]：設(shè)n是一非負(fù)整數(shù)，n＜α≤n+1，f( t )在 t0處具有Lipschitz 指數(shù)α，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)A和h0＞0及 n 階多項(xiàng)式pn(t)，使得對(duì)于任何 h≤h0均有

成立。Lipschitz 指數(shù)越大，則函數(shù)越光滑。如果f ( t )在 t0的Lipschitz 指數(shù)小于1，則稱t0是f ( t )的奇異點(diǎn)。信號(hào)的奇異點(diǎn)可以從小波變換的模極大值檢測(cè)出來(lái)。信號(hào)的突變?cè)酱?，其小波變換的模極大值就越大，而信號(hào)的突變點(diǎn)就是可能的故障點(diǎn)。因此，可以通過(guò)對(duì)小波變換模極大值的檢測(cè)來(lái)判斷信號(hào)中是否存在奇異點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)到故障檢測(cè)的目的。

在實(shí)際信號(hào)處理中，低頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，因此總是希望時(shí)窗盡量寬些，而頻窗盡量精細(xì)些；分析高頻信號(hào)時(shí)，則希望時(shí)窗窄些，頻域可以適當(dāng)降低精度。小波變換具有自適應(yīng)的時(shí)頻窗，在低頻區(qū)時(shí)窗寬而頻窗窄，在高頻區(qū)時(shí)窗窄而頻窗寬，這與需要處理的信號(hào)的特性完全符合。一般情況下，短支集小波在處理間斷問(wèn)題時(shí)比長(zhǎng)支集小波更有效。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在選擇小波過(guò)程中，如果處理的信號(hào)本身是間斷的，可以使用haar小波；而如果處理的信號(hào)的第i階導(dǎo)數(shù)是間斷的，則應(yīng)使用消失矩為i的小波。

3 實(shí)例研究

對(duì)于一個(gè)頻率突變的信號(hào)，應(yīng)用小波變換可以將信號(hào)突變的時(shí)間點(diǎn)和位置檢測(cè)出來(lái)。例如，對(duì)一個(gè)頻率突變的信號(hào)利用db5小波對(duì)原信號(hào)進(jìn)行5層分解，信號(hào)的波形及小波分解系數(shù)如圖1所示。其中s為原信號(hào)，a1-a5為近似系數(shù)，d1-d5為細(xì)節(jié)系數(shù)[6]。

從小波分解圖上可以看出，第一層和第二層細(xì)節(jié)系數(shù)清楚地反映出了信號(hào)在500附近頻率的不連續(xù)性。這兩組系數(shù)中間都只有一個(gè)很窄的區(qū)域包含絕對(duì)值很大的系數(shù)，這表明原信號(hào)在該點(diǎn)附近有間斷?？梢?jiàn)，小波分析不僅能清晰地反映出信號(hào)的間斷，而且能準(zhǔn)確定位間斷點(diǎn)的位置。從圖中可以看出，d1已經(jīng)包含了間斷點(diǎn)的信息，而高頻信號(hào)從d2才開(kāi)始出現(xiàn)，說(shuō)明間斷點(diǎn)的頻率比信號(hào)高頻部分的頻率還要高。

對(duì)同一信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，結(jié)果如圖2所示。從傅里葉變換結(jié)果可以看出，在偽頻率分別為5和50處出現(xiàn)兩個(gè)強(qiáng)度相當(dāng)?shù)念l率成分，這和小波分析的結(jié)果類似，但傅里葉變換不能得到間斷點(diǎn)的位置。因此，小波變換在處理多頻率、含間斷點(diǎn)的信號(hào)時(shí)，比傅里葉變換具有更大的優(yōu)勢(shì)。因此，在故障診斷領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。傅里葉變換由于只反映頻域的特性，因此，只能是孤立的幾根譜線，而小波變換基于時(shí)頻的聯(lián)合分析，可以對(duì)信號(hào)的時(shí)頻特性進(jìn)行精確分析和定位。

圖1 頻率突變信號(hào)的小波變換

圖2 頻率突變信號(hào)的傅里葉變換

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)理論分析和實(shí)例驗(yàn)證，給出了應(yīng)用小波分析進(jìn)行故障診斷的方法，通過(guò)與傅里葉變換的分析、對(duì)比可以看到，小波分析在信號(hào)降噪和奇異點(diǎn)的檢測(cè)方面有FFT所無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)然，小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域遠(yuǎn)不止這些，同時(shí)，小波變換只對(duì)低通濾波器的輸出進(jìn)行遞歸分解，即只對(duì)信號(hào)的低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，因此，存在高頻段頻率分辨率差，低頻段時(shí)間分辨率差的問(wèn)題。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，引入了小波包分析理論。總之，小波變換為信號(hào)處理技術(shù)提供了強(qiáng)大的工具，并處在不斷發(fā)展完善過(guò)程中，應(yīng)用前景廣闊。

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