穆曉斌

(海軍駐北京作戰(zhàn)系統(tǒng)軍事代表室 北京 100036)

1 引言

由于潛艇隱蔽攻擊的需要,純方位跟蹤問(wèn)題(BOT)引起了廣大學(xué)者的普遍關(guān)注。到目前為止,對(duì)該問(wèn)題的研究已經(jīng)建立了大量、豐富的方法。文獻(xiàn)[1]對(duì)純方位目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行了分析,得出了系統(tǒng)可觀測(cè)的必要條件。文獻(xiàn)[2]介紹了確定性參數(shù)計(jì)算方法和基于最小二乘原理的方位平差法。文獻(xiàn)[3]建立了直角坐標(biāo)系下的推廣卡爾曼濾波算法,這種濾波器常常導(dǎo)致發(fā)散。文獻(xiàn)[4]采用了擬線性濾波器,即在直角坐標(biāo)下將非線性量測(cè)方程擬線性化,而擬線性濾波器的解出現(xiàn)了偏倚。文獻(xiàn)[5]在改進(jìn)的極坐標(biāo)系下選擇目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參量,再利用這種參量建立推廣卡爾曼濾波器,但這種濾波器計(jì)算量太大。文獻(xiàn)[6]構(gòu)建基于修正極坐標(biāo)系下的近似線性最小二乘濾波算法,并以它作為卡爾曼濾波器的初始化算法。但是這些方法仍然滿足不了潛艇日益增長(zhǎng)的隱蔽攻擊需要。最小二乘濾波具有不計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)特性,使用簡(jiǎn)單,實(shí)現(xiàn)容易、有效的特點(diǎn)。因而得到了最為廣泛的使用,成為潛艇火控子系統(tǒng)中一種不可缺少的濾波方法。目前各種論文和雜志上論述的采用線性最小二乘濾波的方法較多,而對(duì)于基于非線性最小二乘濾波方法的敘述和討論較少。因此對(duì)于新方法和新思路進(jìn)行研究和討論對(duì)于純方位跟蹤問(wèn)題的深入研究具有重要意義。

2 純方位法問(wèn)題的描述

純方位跟蹤問(wèn)題,是指觀測(cè)器利用觀測(cè)器材量測(cè)到的一組受污染的目標(biāo)方位,來(lái)估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

圖1 目標(biāo)-觀察者運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)圖

具體采用數(shù)學(xué)和物理模型的描述如下:見(jiàn)圖1目標(biāo)和觀察者的運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)。以地理正北方向?yàn)閥軸,地理正東方向建立直角坐標(biāo)系。O點(diǎn)為觀察者(本艇)觀測(cè)到第1個(gè)目標(biāo)方位βm(1)時(shí)的本艇位置,(xo(i),yo(i))為ti時(shí)刻觀察者的位置坐標(biāo)。(βm(1),βm(2),…,βm(i))為本艇觀測(cè)到的目標(biāo)方位序列。假定目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng),在已知βm(1)時(shí) ,利用(D1,Cm,Vm),就可以唯一地確定目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡;在已知(xt0,yt0,vtx,vty)時(shí),也可唯一確定目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡。(D1,Cm,Vm)分別代表目標(biāo)的初距、航向和航速。(xt0,yt0,vtx,vty)為目標(biāo)初始位置橫縱坐標(biāo)、橫向速度分量和縱向速度分量。

所謂的純方位跟蹤,就是利用方位觀測(cè)序列(βm(1),βm(2),…,βm(i))及(xo(i),yo(i)),ti等已知量,在假定目標(biāo)做等速直線運(yùn)動(dòng)的情況下,求解(D1,Cm,Vm)或(xt0,yt0,vtx,vty)的過(guò)程。

3 模型建立及求解

這里選擇x=[x1 x2 x3 x4]T=[xt0 yt0 vtx vty]T作為待估計(jì)的變量。設(shè) T為采樣周期,初始時(shí)刻為設(shè)置為零,第iT時(shí)刻測(cè)量的目標(biāo)方位記為βm(i)。以觀測(cè)者的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn),正北方向?yàn)樽鴺?biāo)縱軸,正東方向?yàn)樽鴺?biāo)橫軸建立直角坐標(biāo)系。

由式(1)得

對(duì)式(2)兩邊取正切得

將 xt(i)=xt0+iTvtx和yt(i)=yt0+iTvty代入式(3)得

設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)為

這樣對(duì)x的估計(jì)轉(zhuǎn)化為求F(x)的極小化問(wèn)題minF(x)。由于fi(x)是x的非線性函數(shù),F(x)的極小化是一個(gè)非線性最小二乘問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]給出了解非線性最小二乘問(wèn)題的兩種迭代方法,本文選擇了Marquardt方法,這種方法把一個(gè)正定對(duì)角矩陣加到Ak)-1上去,改變?cè)仃嚨奶卣髦到Y(jié)構(gòu),使其變成條件數(shù)較好的對(duì)稱正定矩陣,并且不需要作一維搜索。這里給出針對(duì)單站純方位跟蹤問(wèn)題算法描述,描述的方法采用偽碼。偽碼中 A、f的計(jì)算公式,參見(jiàn)式(7)、式(8);式(8)中偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式,參見(jiàn)式(9);x*為算法的估計(jì)值。

圖2 Marquardt方法的偽碼描述

4 仿真分析

為了考察這種非線性最小二乘方法的計(jì)算效果,特進(jìn)行了仿真分析。仿真時(shí)間為20min,目標(biāo)初始距離為20km,初始方位為45°,航速為 8m/s,航向?yàn)?20°;觀測(cè)者初始位置為(0,0),先走方位航向5min,再走方位航向加90度15min,航行速度為4m/s。測(cè)量方位角采用真實(shí)方位角值附加均方差為0.3°的高斯白噪聲生成。由于觀測(cè)者機(jī)動(dòng),純方位跟蹤問(wèn)題才有解,解算從觀測(cè)者機(jī)動(dòng)以后開(kāi)始。取初始點(diǎn) x=(9000,9000,5,-3),初始參數(shù)?1=0.01,增長(zhǎng)因子β=10,允許誤差ε=1.0e-010。仿真將非線性最小二乘方法的解算結(jié)果跟線性四維最小二乘方法[7]的解算結(jié)果進(jìn)行了比較,如圖3～圖4所示。從圖中我們可以看出,非線性最小二乘方法的估計(jì)誤差明顯小于線性最小二乘方法。但是,同時(shí)仿真也發(fā)現(xiàn),非線性最小二乘方法受初始點(diǎn)設(shè)置的影響較大,當(dāng)初始值偏離真實(shí)值較大時(shí),估計(jì)效果不好,甚至?xí)l(fā)散;求解過(guò)程中還受到?1、β、ε設(shè)置的影響。

5 結(jié)語(yǔ)

單站純方位跟蹤問(wèn)題是水下目標(biāo)跟蹤中的重要研究?jī)?nèi)容之一。文章通過(guò)建立一個(gè)非線性最小二乘模型并對(duì)其求解來(lái)解決單站純方位問(wèn)題,對(duì)建模過(guò)程和求解方法給出了詳細(xì)的過(guò)程與步驟。對(duì)于非線性最小二乘方法初始化困難的問(wèn)題,可以采用觀測(cè)者機(jī)動(dòng)以后的線性最小二乘估計(jì)為該方法的初始值,需要進(jìn)一步的深入研究。仿真結(jié)果表明,該方法優(yōu)于四維線性最小二乘方法,估計(jì)精度有了較大提高,是一種有效的算法,對(duì)于潛艇實(shí)施隱蔽跟蹤具有重要意義。

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[6]陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005

[7]羅浩,趙厚奎,楊津驍.一種解決純方位跟蹤問(wèn)題的新的最小二乘模型[J].火力指揮與控制,2008,33(11):137～139