夏唐代,王 梅,王志凱,胡文韜

(浙江大學 a.軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室;b.巖土工程研究所,杭州 310058)

近年來,承受水平荷載的超長豎直樁被廣泛應用在海洋工程中,但是,水平受荷長樁的理論研究卻不夠完善,尤其是砂土地基中的水平受荷長樁,更少見研究。樁的水平荷載試驗證明,水平荷載與樁撓度在撓度很小的階段就呈非線性關系,當撓度繼續(xù)增大,樁前土體會達到塑性屈服[1]。因此,只有考慮土體的非線性和塑性屈服,才能反映樁的真實性狀,尤其是在靠船碼頭等容許樁發(fā)生較大位移的工程中,更應該考慮土體的塑性屈服,這是傳統(tǒng)的m法做不到的,p-y曲線法雖然考慮了土體的非線性和塑性屈服,但是由于大多是基于試驗所得,在缺乏必要的試驗參數(shù)的情況下,很難被采用,而且,必須把地基土性質(zhì)化為數(shù)學上的某種模型才能計算樁的性狀,模型建立的不適當會給收斂計算帶來很大麻煩。

基于以上的考慮,越來越多的學者開展了水平受荷單樁的非線性研究,力求建立一個合適的模型,既準確又方便計算。其中包括Behrouz[2]的有限元模型,吳鋒[3]、王梅[4]等的試驗研究,Wei Dong Guo[5-6]的理論分析等,均對樁的非線性研究有一定的指導意義,但是目前尚沒有一個針對砂土地基,水平受荷長樁性狀分析的合適模型。Prakash和Kumar[7]等通過研究Mwindo[8]的現(xiàn)場試驗結(jié)果,總結(jié)出適合于砂土地基的水平土反力模量與地面處樁位移之間的非線性關系表達式,章連洋[9]應用該關系式分析了砂土地基中水平荷載作用下剛性樁的受力性狀,計算值與實測值符合的較好。由于長樁與土相互作用的機理和破壞方式與短樁不同,章連洋的計算方法不適合長樁的計算,因此,該文在章連洋的基礎上,研究了砂土地基中水平荷載作用下長樁的性狀。計算模型中,假設水平土反力模量和極限土反力沿深度線性增長[9-10],土反力模量和樁位移之間是非線性關系,考慮樁前土體處于彈性和達到塑性屈服兩種狀態(tài),分別建立樁的基本微分方程,由于涉及四階變系數(shù)非線性微分方程的解答,數(shù)學上非常難解,該文給出了該方程的近似解答,由此可計算出沿樁身任一截面的位移和內(nèi)力。算例證明,較m法計算準確,既適合樁體發(fā)生小位移的情況,也適合樁體發(fā)生較大位移的情況。又由于計算較 p-y曲線法方便可行,因此在缺乏實測參數(shù)的情況下,可代替p-y曲線法,用于工程實踐。

1 分析方法

1.1 基本假定

1)樁是完全埋入砂土地基中的長樁,樁寬為B,長度為 L,彎曲剛度E P I P,樁頂自由,承受水平力 H 0和彎矩M 0,如圖1(a)所示。

2)假定土反力模量kh沿深度線性增長[9-10],極限土反力pu沿深度線性增長Broms[11],如圖1(b)、(c)所示。

圖1

式中:nh為水平地基反力常數(shù);m0為極限土反力沿深度線性增長的比例系數(shù)。

3)土反力p和樁位移y之間是非線性關系,隨著y增大,p漸漸達到極限土反力pu,如圖2所示。

圖2 土反力和樁位移關系曲線

1.2 2種情況

基于以上假定,對長樁性狀的分析分為 2種情況:

1)水平荷載較小,樁前土體仍處于彈性狀態(tài),如圖3(a)所示。建立樁的撓度曲線微分方程:

結(jié)合地基反力法,令

式中:p(z,y)為單位樁長的土反力。

圖3 土反力沿樁身的分布曲線

由式(1)、(3)、(4)得 :

2)水平荷載足夠大,使得樁前z0深度以上土體達到塑性屈服(對于長樁,不出現(xiàn)樁的全長范圍內(nèi)的水平向地基屈服[11]),如圖3(b)所示。建立樁的撓度曲線微分方程:

由文獻[11]

式中:KP為郎肯被動土壓力系數(shù);γ0為土的重度(為了和下文的剪應變符號γ區(qū)分,這里用γ0代表土的重度)。

分析樁的性狀之前,必須先判斷在給定的水平荷載下,樁前土體處于哪種狀態(tài),對于狀態(tài)判斷和2組方程的解法,將在第3節(jié)介紹。

1.3 水平土反力模量kh的非線性性質(zhì)

在砂土地基中,假定水平土反力模量kh沿深度線性增長。由假定3可知,kh和y之間是非線性關系,k h隨著y的增大而減小。許多學者研究了k h和y之間的關系,包括Bhushan et al[12],Mwindo[8],Kumar[13],Prakash和Kumar[7]等?；诂F(xiàn)場試驗,文獻[12]提出了不同密實度的砂土地基中,n h和y0/B之間的關系,y 0是樁在地面處的位移,B是樁的寬度或樁徑,基于文獻 [7]、[8]、[13]、[14]的研究,文獻[9]推導出nh(=kh/z)和 y0之間的非線性關系式:

早在1955年,Terzaghi[10]提出了飽和與非飽和砂土的水平地基反力常數(shù)的取值范圍,Reese[15-16]通過現(xiàn)場實驗,修正了Terzaghi的建議值,Terzaghi、Reese對水平地基反力常數(shù)的取值可參考文獻[9]中圖4(Terzaghi和Reese所建議的水平地基反力常數(shù)的取值即相當于式(11)中的)。文獻[7]等通過對文獻[8]進行的砂土地基中14根單樁的現(xiàn)場實測資料進行分析,得到了適應于不同樁型不同密實度砂土地基中的值,并考慮到地下水位的影響(地下水位越低,n h值越大),提出了修正系數(shù)。后來文獻[14]補充了14根單樁的實測資料,證實,在中密和密實砂土地基中,文獻[7]對的建議值是合理的,而在松散砂土地基中,文獻[7]對的建議取值范圍略為寬泛,需進一步修正。文獻[14]修正后的的取值見表1,關于地下水影響的修正系數(shù),仍采用文獻[7]的建議值(表2)。比較文獻[9]中圖4和本文中表1,可得,對于中密和密實砂土,文獻[14]的建議值大于 Terzaghi、Reese的建議值,而對于松散砂土,文獻[14]的建議值和Reese的很相近。研究證明 Terzaghi的建議值偏小[17],而Reese是建議值是基于兩根樁的現(xiàn)場試驗結(jié)果,缺乏普遍性,可能引起的誤差也較大,因此該文建議選取文獻[14]對于的建議值進行計算。

表1 水平地基反力常數(shù)nhmax的取值

表2 不同地下水位時nhmax的修正系數(shù)

1.4 長樁的判斷

此文方法僅適用于長樁的計算,因此計算前需要判斷是否屬于長樁,首先計算樁土相對剛度系數(shù)T:

式中,nh可按照取值。

對于砂土地基中樁頂自由的單樁,當L≥4T時,可認為是長樁[17]。

2 四階變系數(shù)非線性微分方程的解答

2.1 當樁前土體處于彈性狀態(tài)時的計算

由式(5)、(11)得 :

式(17)等價于:

這是一個四階變系數(shù)非線性微分方程,數(shù)學上很難得到其解析解,該文提出采用Gleser有限差分[1,18]結(jié)合迭代原理得到其近似解答。將樁平均分成n段,每段長為λ(λ=L/n),節(jié)點3代表樁頂節(jié)點,n+3代表樁端節(jié)點,沿樁頂向上延伸2個虛擬節(jié)點1、2,沿樁端向下延伸2個虛擬節(jié)點n+4,n+5。式(14)的近似解為

樁頂自由,將樁端視為自由端,得 4個邊界條件:

由式(15)-(22)得遞推公式:

常規(guī)的Gleser法用于解四階變系數(shù)微分方程時,要求kh i是常量,否則無法解答,但在該文中,kh i=f(y0)(y0即相當于樁頂節(jié)點的位移y3),而y0是未知的,為此,在常規(guī)Gleser法的基礎上加入迭代程序,先給定一個初始的y0值,計算各節(jié)點的撓度yi,反復迭代計算,直到最后一次計算得到的y3與y0的相對誤差在給定容許誤差范圍內(nèi)時,即得實際的樁頂位移值y0。

為了避免y0初始值給定不當給計算帶來的誤差,建議根據(jù)Reese-Matlock法[1,7]對于給定水平荷載下樁在地面處位移的近似計算公式取值:

計算T時nh按照公式(11)取值。

下面給出程序計算樁身位移的步驟:

1)輸入基本參數(shù) n、L 、B 、E P I P、H0、M 0、n hmax、y0、ε;ε為預先設定的y0和y3之間的容許相對誤差。

4)對于 i=n+1…4,3,循環(huán)計算出 Ci、Bi。

5)將式(21)代入上述過程,依次計算出B2、A2。

6)將式(22)代入上述過程,依次計算出C1、A1。

7)由式(23)-(25)依次計算 y1、y2、y3。

當yi(i=1,2…n+5)全部計算出后,可由式(31)～(34)計算樁身任一截面處的位移yi、轉(zhuǎn)角θi、彎矩Mi、剪力Si和土反力pi:

2.2 當樁前土體達到塑性屈服時的計算

在給定水平荷載下,首先判斷樁前土體是否已經(jīng)達到塑性屈服,由2.1的計算程序,可逐節(jié)點計算出 yi,對于每一個y i值,由式(30)計算得 pi,當 pi＞pu i(pu i為該節(jié)點處的極限土反力)時,證明土體已經(jīng)達到屈服。

設塑性區(qū)深度z0,由式(6)-(8)、(11)得:

對于一個四階常微分方程和一個變系數(shù)非線性四階微分方程的聯(lián)立解答,數(shù)學上未見算法,該文提出一種近似解法,可以計算出樁的性狀。根據(jù)文獻[11]的假設,設z0為樁身最大彎矩的位置,z0以上地基均達到屈服,z0以下仍為彈性,當樁頂水平荷載為 Ht時,則

將z0的位置假想為新的地面,z0以上土反力視作外荷載,設樁頂處位移 y0,假想地面處位移為yz0。對于式(34)的解答,由 Reese-Matlock法[1、7],有 :

式中:yz為假想地面以下深度z處樁身位移;Ay,By為深度系數(shù),是z和y0的函數(shù),可通過文獻[1]查表求得近似值;

Hz0,Mz0為假想地面處作用的合力和合彎矩;

z=z0時:Ay0=2.43,By0=1.62,

由土反力連續(xù)條件:

由(33)-(35),可解得z0,y0和 yz0,再加上樁頂邊界條件 H=Ht,式(31)可解,因此,z0以上樁的內(nèi)力可解,z0以下樁身內(nèi)力計算,可參見文獻[1]Reese-Matlock法。

3 算例分析

3.1 樁前土體處于彈性狀態(tài)

扶余松花江大橋IV#試樁[19],地質(zhì)條件:0～14 m,中砂,中密,飽和 ;14～ 17 m,粗砂 ,中密 ,飽和;17～21 m,砂質(zhì)粘土,密實,半堅硬。樁的物理幾何特征:鉆孔灌注砼樁,有鋼筋骨架,樁徑B=1.62 m,樁長L=18.8 m。對樁頂分別施加300 kN、400 kN、500 kN、600 k N的水平力,地面處載荷比值e=由于是中密～密實砂土地基,由表 1,選取MN/m3,計算 T=2.69,L/T=6.99＞4,所以為長樁。由于沒有給出土層的粘聚力c內(nèi)摩擦角φ值,可按經(jīng)驗 ,取 c=0,φ=38°,γ0=20 k N/m3,地下水位于地表處,計算KP=3.85,m0=187。采用文中方法和傳統(tǒng)的m法比較,對于m法,則取m×B=45 MN/m3(B為樁徑)。計算時將樁劃分為40個單元,計算出給定水平荷載下的樁頂位移和轉(zhuǎn)角,當H0=600 kN,M0=150 kN?m時,計算出了樁身彎矩分布,結(jié)果如圖4-6所示。

圖4 樁頂位移與水平荷載關系曲線

圖5 樁頂轉(zhuǎn)角與水平荷載關系曲線

圖6 樁身彎矩隨深度變化關系曲線(H0=600 k N)

由3.1的程序判斷,在H 0=600 kN時,樁前土體仍處于彈性狀態(tài),但是當H0＞300 kN時,雖然樁頂最大位移僅有4.04 mm,土體已經(jīng)表現(xiàn)出明顯的非線性性質(zhì)(圖4-5),使用m法計算會有一定的誤差,該文對于樁頂位移和轉(zhuǎn)角,樁身彎矩的計算(圖6)與實測值比較接近,比m法更精確。

3.2 樁前土體部分達到塑性屈服

文獻[20]用“一維梁—柱有限單元”的數(shù)值解法計算了砂土地基中的鋼筋混凝土鉆孔灌注樁的性狀。假設在給定荷載下,樁身一直保持線彈性工作狀態(tài),而樁前土體土反力和位移的關系服從Reese et al[15]的p-y曲線,即隨著位移增大,土體由彈性達到塑性屈服。樁長 L=15 m,樁徑 B=0.5 m,樁身彈性模量EP=41 000 MPa,砂土重度 γ0=18 kN/m3,有效內(nèi)摩擦角=40°,文中給出 n hmax=17.5 MN/m3,對樁頂分別施加100～500 kN的水平力。計算E P IP≈0.126 GN?m2,T=1.48,L/T=10＞4,所以為長樁。計算 KP=4.60,m0=3 KPγ0B=124,對 于 m 法,取 m ×B=17.5 MN/m3。計算時將樁劃分為30個單元,計算出給定荷載下的樁頂位移,當H0=500 k N時,計算出了樁身彎矩分布,結(jié)果如圖7-8所示。

圖7 樁頂位移與水平荷載關系曲線

圖8 樁身彎矩隨深度變化關系曲線(H0=500 k N)

由文獻[20]中采用的土體p-y曲線模型可知,在H0=160 kN時,樁前已產(chǎn)生塑性區(qū);由該文3.1的程序判斷,H0=250 k N時,樁前土體出現(xiàn)塑性區(qū),兩者的差別主要在于p-y曲線模型選取不同,文獻[9]是以位移判斷是否屈服,而此文是以土反力判斷的,但是差別并不大,說明此文模型的合理性。同時說明,當 H0＞250 k N時,樁前一定存在塑性區(qū)。由圖8可知,H0＜300 k N時,考慮土體塑性屈服和不考慮塑性屈服的計算位移幾乎相同,這是因為塑性區(qū)范圍較小,對于土體位移影響并不大;當H0＞400 kN時,不考慮塑性屈服的計算位移與文獻[20]中計算值差別較大,而考慮土體塑性屈服的計算位移更接近文獻[20]中計算值,更偏于安全,這是因為土體塑性區(qū)范圍已經(jīng)擴大,對于土體位移影響變大。由圖8可知,考慮了土體塑性屈服的彎矩計算值更接近文獻[20]中計算值。而同時可知,在這種樁頂發(fā)生較大位移的情況,土體表現(xiàn)出明顯的非線性性質(zhì),m法計算的位移和彎矩遠遠小于數(shù)值計算值,不再適用。

4 結(jié)論

1)對于水平土反力模量的選取,考慮了土體的非線性性質(zhì),能更好地反映土體的實際受力性狀。

2)考慮樁前土體處于彈性和達到塑性屈服2種狀態(tài),因此,既適用于小位移的情況,也適用于樁基容許出現(xiàn)大位移的情況,考慮土體塑性屈服的計算值比未考慮塑性屈服的更接近實測值,且偏于安全。

3)基本微分方程是四階變系數(shù)非線性微分方程,該文給出了該方程的近似解答,使得計算方便可行。

4)算例證明,該方法較m法計算準確,較p-y曲線法計算方便,在缺乏實測參數(shù)的情況下,可代替p-y曲線法,用于工程實踐。

5)水平反力地基常數(shù)n hmax的取值范圍是基于有限試驗資料所得,取值不合適會造成一定的計算誤差,因此需對此進行進一步探討。

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