岳永恒，王茂，孫光輝

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心,黑龍江哈爾濱150001;2.東北林業(yè)大學(xué)交通學(xué)院,黑龍江哈爾濱150040)

近年來，隨著大功率電子器件的快速發(fā)展，永磁同步電機(jī)由于其高效性和良好的動(dòng)態(tài)特性，在機(jī)器人、航空航天領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[1]。但是由于其高速和弱磁區(qū)域控制受到較高的門限電壓限制[2]，大大限制了其應(yīng)用。研究表明，永磁同步電機(jī)系統(tǒng)像很多非線性系統(tǒng)一樣表現(xiàn)出多個(gè)穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)，在一定條件下，可能出現(xiàn)極限環(huán)甚至混沌。所以研究永磁同步電機(jī)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近的特性是近來研究的熱點(diǎn)。大量的文獻(xiàn)表明，永磁同步電機(jī)在動(dòng)態(tài)特性上與混沌Lorenz系統(tǒng)具有相似性[3-5]。

混沌系統(tǒng)是一種確定性系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡敏感地依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即兩個(gè)相同的混沌系統(tǒng)從非常接近的初始狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過一定的過渡時(shí)間之后，其運(yùn)動(dòng)軌跡將變得完全不同。這和現(xiàn)實(shí)生活中的一些復(fù)雜系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的特性非常相似，即確定性系統(tǒng)所表現(xiàn)出的隨機(jī)性。系統(tǒng)的混沌特性在很多情況下是人們不希望的，所以針對這些系統(tǒng)，研究了很多的控制方法來消除混沌現(xiàn)象。例如混沌的自適應(yīng)控制[6]、變結(jié)構(gòu)控制[7]、反饋控制等[8]。此外在混沌同步方面自從Pecora和Carroll的文章(即P-C同步法)[9]發(fā)表以來，混沌同步的研究也取得了巨大的發(fā)展。

本文正是由混沌同步的觀點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)出永磁同步電機(jī)的狀態(tài)觀測器，從而構(gòu)造出非線性反饋控制器，實(shí)現(xiàn)永磁同步電機(jī)的控制。通過簡單的線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)配置方法，便可以獲得期望的運(yùn)行特性,而且避免了PID校正中由于參數(shù)不當(dāng)而可能出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象。

1 數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)的d-q模型廣泛地用于控制器設(shè)計(jì)。通過Park變換很容易將電機(jī)的交流變量轉(zhuǎn)換成直流變量，極大地方便了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。永磁同步電機(jī)的d-q模型可以表示為:

其中下標(biāo)q代表著q軸的變量，d代表著d軸的變量，V代表電壓，I為電流，n為極對數(shù)。而相應(yīng)的電磁轉(zhuǎn)矩可以表示為:

更詳細(xì)的內(nèi)容可以參見參考文獻(xiàn)[10]，而機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程表示為:

其中T(I，θ)是電機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，Tl(t)為外部力矩?？紤]到各種摩擦，Tl(t)=bω+TL，其中b為粘滯摩擦系數(shù)，TL為其他負(fù)載力矩。對于均勻氣隙的電機(jī)來說，可以認(rèn)為Ld=Lq。所以永磁同步電機(jī)系統(tǒng)可以表述為以下的模型:

在一定條件下，上述的系統(tǒng)和混沌Lorenz系統(tǒng)具有等價(jià)的表示形式。例如采用以下的變換:

其中Σ=diag(σ1,σ2,σ3),Q=(q1,q2,q3)T,系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化成著名的Lorenz系統(tǒng):

當(dāng)ρ=ρH時(shí)，Hopf分岔發(fā)生；當(dāng)ρ＞ρH時(shí)，系統(tǒng)的三個(gè)平衡點(diǎn)均不穩(wěn)定。值得注意的是，對于給定的電機(jī)，有與之對應(yīng)的δ，隨之就會(huì)有確定的ρH，相對應(yīng)地存在b和Vd，使得混沌現(xiàn)象總是能夠被觀察到。此外,隨著b和Vd的減小，混沌現(xiàn)象被觀察到的可能性就會(huì)越大[10]。例如，選擇電機(jī)的參數(shù)為:J=5×10-6kgm2,L=0.99 mH,R=0.9 Ω,Ki=0.049,Nm/A,b=2.3×10-2N/(rad/s),則可得到δ=10.17，而相應(yīng)的電機(jī)系統(tǒng)分岔圖如圖1所示。圖1描述的是當(dāng)參數(shù)從0到900變化時(shí)，采用Wolf方法[11]所得到的Lyapunov指數(shù)譜及相應(yīng)|y|的分叉圖。更多關(guān)于奇異吸引子的內(nèi)容可以參見參考文獻(xiàn)[12-14]。

2 控制器設(shè)計(jì)

線性控制器尤其比例積分(PI)控制器在永磁同步電機(jī)速度控制中通常是首選的設(shè)計(jì)方案。簡單地表述為雙閉環(huán)控制系統(tǒng):內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，外環(huán)為速度環(huán)。這里就以比例調(diào)節(jié)器為例，說明傳統(tǒng)的線性調(diào)節(jié)器在永磁同步電機(jī)控制應(yīng)用中的弊端。記Iqr和Idr分別為q軸和d軸的指令電流，而實(shí)際中Idr=0可以很容易得到保證[4]，則采用比例調(diào)節(jié)器的d-q電壓為:

將(9)式代入(6)式可以得到:

為了得到不受驅(qū)動(dòng)的Lorenz系統(tǒng),可以使外部轉(zhuǎn)矩TL=0，以及指令電流Iqr=0?？梢缘玫饺缦碌哪Ｐ?

將(7)式代入(11)式，通過計(jì)算可以得到Lorenz系統(tǒng)族的Lyapunov指數(shù)集與反饋增益Kp的關(guān)系，如圖2所示。圖中計(jì)算所采用的方法同樣是Wolf法，只不過此時(shí)Lyapunov指數(shù)集的計(jì)算與反饋增益Kp息息相關(guān)。

從圖2可以看出永磁同步電機(jī)在較小的反饋增益Kp(Kp＜86)下能夠保持穩(wěn)定，隨著Kp的增加，混沌化逐漸加劇。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，一方面為了保證系統(tǒng)的響應(yīng)速度，必須有較大的反饋增益；而另一方面，大的反饋增益又容易使系統(tǒng)混沌化。對于PI調(diào)節(jié)器，也有同樣的結(jié)果。受非線性反饋的啟發(fā)[14]，可以引入如下的反饋:

這里的Kqi和Kdi是為了得到期望性能而引入的反饋系數(shù)。當(dāng)引入以上的非線性反饋后，系統(tǒng)就變成如同Y˙=AY+Kτωd的線性系統(tǒng):

通過簡單的零極點(diǎn)配置方法，閉環(huán)系統(tǒng)就能得到期望的性能。更進(jìn)一步來說，實(shí)際系統(tǒng)中某些變量是不能直接測量的，例如現(xiàn)在研究的同步電機(jī)無位置傳感器控制就是只能測量電機(jī)的角速度ω。為此，可以構(gòu)造基于混沌同步的狀態(tài)觀測器，估計(jì)出其他變量，從而可以實(shí)現(xiàn)控制。其結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。也就是說，通過構(gòu)造與永磁同步電機(jī)相關(guān)的同步子系統(tǒng)，將控制所需的電機(jī)狀態(tài)變量用通過同步后的子系統(tǒng)變量代替，從而形成閉環(huán)控制。

圖3 基于混沌同步的非線性反饋控制方框

根據(jù)驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)耦合同步原理[9],將y3(即電機(jī)角速度ω)作為驅(qū)動(dòng)信號(hào)，響應(yīng)系統(tǒng)可以寫成如下的形式:

而非線性反饋則為

為了驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以通過定義以下的誤差:

定義Lyapunov函數(shù)為V=(e12+e22)/2,則:

假定Kq2=-Kd1,Kq1＜1以及Kd2＜1，則V˙負(fù)定，系統(tǒng)就能穩(wěn)定。事實(shí)上，可以很容易地通過零極點(diǎn)配置來保證系統(tǒng)矩陣A為負(fù)定,即保證:

從式(18)可以看出，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就必須保證Kq1＜1及Kd2＜1。這也就是說，只要通過零極點(diǎn)配置，能夠保證Kq2=-Kd1，Kq1＜1及Kd2＜1，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)永磁電機(jī)混沌系統(tǒng)的同步，而且能夠?qū)崿F(xiàn)基于混沌同步的觀測器穩(wěn)定，進(jìn)而保證控制系統(tǒng)的有效性。例如,通過選取:Kq3=ρ,Kd3=0,Kd1=1,Kq1=Kd2=-1以及Kτ=2.7,就可以得到系統(tǒng)的極點(diǎn)為:λ1=-10.170 0，λ2=-2+i，λ3=-2-i。圖4為系統(tǒng)的角速度ω隨時(shí)間的變化過程。

本文首先介紹了永磁同步電機(jī)與混沌Lorenz系統(tǒng)在數(shù)學(xué)模型上的相似之處。永磁同步電機(jī)本身是不會(huì)呈現(xiàn)混沌特性的，但是隨著電機(jī)外部力矩的變化及q軸電壓的變化，就有可能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。傳統(tǒng)的PI控制器在抑制混沌上作用又不是很明顯。由此引入了非線性反饋控制，該控制器能夠使非線性的電機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為普通的一階系統(tǒng)，從而可以通過線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)配置達(dá)到期望的響應(yīng)特性?？紤]到實(shí)際系統(tǒng)的某些變量可能無法測量，在非線性反饋的基礎(chǔ)之上，引入了基于混沌降階同步的狀態(tài)觀測器，用估計(jì)值代替某些不可測量的變量，進(jìn)而構(gòu)成非線性反饋，實(shí)現(xiàn)了電機(jī)系統(tǒng)的控制。同時(shí)通過Lyapunov直接法證明了觀測器的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果也證明了該控制器的有效性。

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