李逸群

(鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系,河南 鄭州 450001)

數(shù)學(xué)運用于經(jīng)濟學(xué):一個歷史性綜述

李逸群

(鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系,河南 鄭州 450001)

盡管長期以來,學(xué)界對經(jīng)濟學(xué)的科學(xué)性質(zhì)存在爭論,但數(shù)學(xué)方法運用于經(jīng)濟學(xué)這一事實反映了經(jīng)濟學(xué)的科學(xué)性質(zhì)是無可置疑的。目前主流經(jīng)濟學(xué)的研究以采用數(shù)學(xué)方法為主線,數(shù)學(xué)已經(jīng)成為經(jīng)濟學(xué)研究的國際通用語言。現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展所使用的數(shù)學(xué)工具幾乎涵蓋了近代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域,包括數(shù)理統(tǒng)計學(xué)、概率論、隨機過程、博弈論、排隊論、組合數(shù)學(xué)、常微分方程、偏微分方程、差分方程、線性規(guī)劃、最優(yōu)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、投入產(chǎn)出、控制論、不動點理論、集合論、拓?fù)鋵W(xué)、泛涵分析、映射、微分幾何、群論、代數(shù)學(xué)等等,反映了數(shù)學(xué)越來越滲透到經(jīng)濟學(xué)研究中并且發(fā)揮越來越重要的作用。

數(shù)學(xué);經(jīng)濟學(xué);方法論

一、數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性與工具性

數(shù)學(xué)(mathematics)這一詞在西方源自于古希臘語“máthēma”,其有學(xué)習(xí)、學(xué)問、科學(xué)之意,較狹隘且技術(shù)性的意義上還指“數(shù)學(xué)研究”。英語中的mathmatics可溯至拉丁文的中性復(fù)數(shù)mathematica,由公元前古羅馬的馬庫斯·圖留斯·西塞羅(Marcus Tullius Cicero)譯自希臘文復(fù)數(shù)“ta mathēmatiká”,此希臘語又被亞里士多德(Aristotle)拿來指“萬物皆數(shù)”的概念。拉丁文中的“Mathemetica”原意是數(shù)和數(shù)數(shù)的技術(shù)。中國古代將“數(shù)學(xué)”叫算術(shù),又稱算學(xué),最后才改為數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的,簡單地說,是研究數(shù)和形的科學(xué)(Mathematics is the study of quantity,structure,space,and change)。數(shù)學(xué)是人們對客觀世界的定性把握和定量刻畫,逐漸抽象概括,形成方法和理論,并進行廣泛應(yīng)用的進程。專門研究數(shù)及數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué),對各門學(xué)科的發(fā)展都有巨大影響。無論是自然科學(xué),還是社會科學(xué),凡是涉及數(shù)、數(shù)量關(guān)系、數(shù)量計算、空間形態(tài)等問題的學(xué)科無一例外地都以數(shù)學(xué)方法作為行之有效的研究手段;同時,許多學(xué)科也都將數(shù)量關(guān)系作為必不可少的研究內(nèi)容。因此,卡爾·海因里希·馬克思(Karl HeinrichMarx)指出,“一種科學(xué)只在成功地運用數(shù)學(xué)時,才算達到了真正完善的地步?！雹俑ヌm西斯·培根(Francis Bacon)說,數(shù)學(xué)是思維的體操。懷德海(Whitehead)認(rèn)為,純數(shù)學(xué)這門科學(xué)在其現(xiàn)代發(fā)展階段,可以說是人類精神之最具獨創(chuàng)性的創(chuàng)造。高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)說,數(shù)學(xué),科學(xué)的女皇;數(shù)論,數(shù)學(xué)的女皇。數(shù)學(xué)是科學(xué)的基礎(chǔ),能充分應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)科或領(lǐng)域盡管不完全等價于科學(xué),但數(shù)學(xué)所顯示出的人類理性能力、根源和力量在諸多自然科學(xué)領(lǐng)域也似乎得到了完美的體現(xiàn)。“給我一個支點和杠桿,我就可以把整個地球撬起。”可見方法是多么的重要。

一個學(xué)科具有科學(xué)性質(zhì)的重要特點之一是,“研究的方法要求擺脫價值判斷,公正而客觀”。數(shù)學(xué)是科學(xué)的基礎(chǔ),它對經(jīng)濟學(xué)研究起到基礎(chǔ)性作用。經(jīng)濟學(xué)的科學(xué)性在于它運用與自然科學(xué)同樣的研究方法,這是一個基礎(chǔ)性問題。經(jīng)濟學(xué)之所以成為一門科學(xué),其重要特點之一是經(jīng)濟學(xué)的研究使用了數(shù)學(xué)方法。伽利略說,數(shù)學(xué)是自然的語言。經(jīng)濟行為的基礎(chǔ)是人的行為,人也是自然的部分,所以可以說,數(shù)學(xué)也可成為經(jīng)濟分析的語言。經(jīng)濟學(xué)中的數(shù)學(xué)運用只是一種方法,是將數(shù)學(xué)作為一種描述語言使用,不一定是具體的數(shù)字計算,在這一點上,經(jīng)濟學(xué)類似于理論物理。實際上,目前經(jīng)濟學(xué)運用數(shù)學(xué)方法無論在廣度還是深度上都超過了一般的工程科學(xué)領(lǐng)域,幾乎所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)都在經(jīng)濟學(xué)中找到了用武之地,如角谷定理、集值映射的積分定理、近似不動點計算的算法、微分拓?fù)洹⒐砑险?、非?biāo)準(zhǔn)分析等,可與理論物理學(xué)媲美。

羅森伯格(N.Rosenberg)指出,經(jīng)濟學(xué)是一門“處于純公理系統(tǒng)與應(yīng)用幾何學(xué)的交叉點上、類似于數(shù)學(xué)的一個分支”的科學(xué)。美國經(jīng)濟學(xué)家格里高利·曼昆(N.Gregory Mankiw)指出:“經(jīng)濟學(xué)家努力以科學(xué)的態(tài)度來探討他們的主題。他們研究經(jīng)濟的方法與物理學(xué)家研究物質(zhì)和生物學(xué)家研究生命的方法一樣:他們提出理論、收集資料,并分析這些資料以努力證明或否定他們的理論?！雹诒M管經(jīng)濟學(xué)家“不用試管或望遠(yuǎn)鏡進行研究工作。但是,科學(xué)的本質(zhì)是科學(xué)方法——冷靜地建立并檢驗有關(guān)世界如何進行的各種理論。這種研究方法適用于研究一國經(jīng)濟,就像適用于研究地心引力或生物進化一樣”。③這種科學(xué)方法首先在于經(jīng)濟學(xué)和其他自然科學(xué)一樣在研究時可以超脫了價值判斷,以客觀的態(tài)度研究客觀現(xiàn)象。當(dāng)然,科學(xué)本質(zhì)特點是它的實證性,即解釋對象“是怎樣的”問題;但是科學(xué)家也要回答“應(yīng)該怎樣”的規(guī)范性問題。規(guī)范性判斷可以看作是實證分析結(jié)論的具體應(yīng)用。正像萊昂內(nèi)爾·羅賓斯(Lionel Robbins)一樣,反對的只是在方法論上做道德判斷,但并不反對經(jīng)濟學(xué)家們有各自的道德立場。在激烈的政治斗爭中,各方的意見會產(chǎn)生巨大的分歧,像在他之后的弗里德曼一樣,羅賓斯強調(diào)運用科學(xué)的方法來解決事實認(rèn)識上的分歧,而價值問題,則科學(xué)無能為力。從這個角度看,為了在這個充斥著太多可以避免的分歧的世界上我們能取得一些一致意見,值得慎重地將可以解決分歧的研究領(lǐng)域與不可解決分歧的研究領(lǐng)域區(qū)分開來——值得將中立的科學(xué)領(lǐng)域與爭論較多的道德哲學(xué)和政治哲學(xué)領(lǐng)域區(qū)分開來。在十九世紀(jì)之前,經(jīng)濟學(xué)是以道德科學(xué)的面目出現(xiàn)的。十九世紀(jì)中期之后,以英國經(jīng)濟學(xué)家納索·威廉·西尼爾(Nassau W illiam Senior,1836)和法國經(jīng)濟學(xué)家讓·巴蒂斯特·薩伊(Say,Jean Baptiste,1830)為代表,努力使經(jīng)濟學(xué)擺脫價值判斷,成為一門像自然科學(xué)一樣的實證科學(xué)④?，F(xiàn)在實證經(jīng)濟學(xué)(Positive Economics)已成為經(jīng)濟學(xué)的主流。其次,經(jīng)濟學(xué)家在研究經(jīng)濟現(xiàn)象、探討經(jīng)濟運行規(guī)律時,將經(jīng)濟現(xiàn)象作為若干經(jīng)濟變量變動的結(jié)果,分析這些變量之間的關(guān)系。經(jīng)濟學(xué)成功地運用了數(shù)學(xué)說明它研究方法的科學(xué)性。最后,經(jīng)濟學(xué)在某種假設(shè)之下分析社會現(xiàn)象,得出結(jié)論,并用事實來檢驗結(jié)論。這些與自然科學(xué)運用的研究方法在本質(zhì)上是相同的。經(jīng)濟學(xué)采用假設(shè)手段構(gòu)造理論,并用簡化的模型表達理論。

波普爾(Karl Raimund Popper)的認(rèn)為,科學(xué)的劃分標(biāo)準(zhǔn)在于其客觀性,而科學(xué)的客觀性并“不是建立在脫離了科學(xué)家個人的價值斷定采取超然態(tài)度的基礎(chǔ)之上的”。由于科學(xué)的客觀性在于科學(xué)方法的客觀性,而不是內(nèi)容的客觀性,科學(xué)最主要的性質(zhì)是方法論上的科學(xué)性。數(shù)學(xué)方法運用于經(jīng)濟學(xué)是使經(jīng)濟學(xué)更加科學(xué)的關(guān)鍵。

二、數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)研究的發(fā)展進程

數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的運用已有漫長的歷史,可以分為三個不同時期:邊際革命之前,數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用處于萌芽時期;邊際革命到新古典經(jīng)濟學(xué)期間,數(shù)學(xué)開始顯現(xiàn)出在經(jīng)濟學(xué)中運用的重要性;新古典經(jīng)濟學(xué)之后,數(shù)學(xué)大量運用于經(jīng)濟學(xué)。

(一)經(jīng)濟學(xué)的“邊際革命”之前:數(shù)學(xué)方法開始運用于經(jīng)濟學(xué)

數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用最早可追溯到古希臘時期,杰出的歷史學(xué)家色諾芬(Xenophon)的財富增長思想中就包含了簡單的數(shù)量關(guān)系。他通過數(shù)量分析,模糊地意識到商品價格的波動是依供給和需求關(guān)系的變化而變化。但比較明確使用數(shù)學(xué)方法應(yīng)該追溯到18世紀(jì)的威廉·配第(W illiam Petty)的《政治算術(shù)》和弗朗斯瓦·魁奈(Francois Quesnay)的《經(jīng)濟表》。數(shù)學(xué)在當(dāng)時的經(jīng)濟學(xué)當(dāng)中的使用也與當(dāng)時的社會背景有著不可分割的聯(lián)系。17世紀(jì)中葉以后,隨著產(chǎn)業(yè)革命的發(fā)展,科學(xué)技術(shù)也迅速發(fā)展起來。勒奈·笛卡爾(Rene Descartes)、艾薩克·牛頓(Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(GottfriedW ilhelm Leibniz)等科學(xué)家們的理論在當(dāng)時備為推崇,他們研究自然科學(xué)的方法自然而然地滲入到了社會經(jīng)濟的研究當(dāng)中。而當(dāng)時經(jīng)濟學(xué)的一些代表人物,如威廉·配第、弗朗斯瓦·魁奈同時也是卓越的自然科學(xué)家,因而在他們的經(jīng)濟學(xué)的研究當(dāng)中引入數(shù)學(xué)方法順理成章。

古典經(jīng)濟學(xué)創(chuàng)立者配第主張用“數(shù)字和事實”研究經(jīng)濟問題,是經(jīng)濟學(xué)中明確運用數(shù)學(xué)的開始。配第試圖以簡單的統(tǒng)計分析為政治經(jīng)濟學(xué)提供“精確性”基礎(chǔ)。他努力“用數(shù)學(xué)、重量和尺度的詞匯表達自己想說的問題”?？蔚摹督?jīng)濟表》試圖通過理性演繹和數(shù)學(xué)運算去發(fā)現(xiàn)人類社會的“自然秩序”。1826年,[德]約翰·海因里?！ゑT·杜能(Johann Heinrich von.yon Thtinen)發(fā)表了《孤立國》(The I-solated State),用抽象法研究經(jīng)濟,將數(shù)學(xué)方法引入經(jīng)濟研究領(lǐng)域則開創(chuàng)了經(jīng)濟學(xué)研究的新道路,首次利用了微積分(特別是考察生產(chǎn)費用和運輸費用的變化同經(jīng)濟效益之間的關(guān)系時,運用了微分學(xué))和其他一些變數(shù)數(shù)學(xué)公式來表達若干經(jīng)濟范疇和原理,開啟了運用數(shù)學(xué)模型研究問題的先河。杜能認(rèn)為數(shù)學(xué)方法有助于準(zhǔn)確地認(rèn)識規(guī)律性的東西,如果反對在經(jīng)濟學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)就很難改變這門學(xué)科的落后狀態(tài)。他說:“在非數(shù)學(xué)不能求得真理的地方,使用數(shù)學(xué)是允許的。如果人們在其他知識門類像農(nóng)業(yè)和國民經(jīng)濟一樣厭惡數(shù)學(xué)的傾向,那么我們現(xiàn)在仍處于對天文規(guī)律完全無知的境地?！?《孤立國》,第459頁)。這個時期,經(jīng)濟學(xué)家采用數(shù)學(xué)僅是作為經(jīng)濟理論的補充。

真正系統(tǒng)將數(shù)學(xué)運用于經(jīng)濟學(xué),并且認(rèn)為數(shù)學(xué)將在經(jīng)濟學(xué)中占有重要地位的是古諾(Cournot)。1983年,諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主吉拉德·德布魯(Gerard Debreu)在他的獲獎演講中說:“如果要對數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的誕生選擇一個象征性的日子,我們這一行會以罕見的一致意見選定1838年,……古諾是作為第一個闡明經(jīng)濟現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的締造者而著稱于世的”。1838年,古諾發(fā)表了《財富理論的數(shù)學(xué)原理研究》(Researches into the Mathematical Principles of the Theory ofWealth)。⑤該書是第一部廣泛將數(shù)學(xué)函數(shù)用于經(jīng)濟關(guān)系中,運用微分和積分計算函數(shù)關(guān)系(Cournotwent on to apply differential and integral calculus in order to analyze the functions and relationships)。⑥在該書中,他率先運用函數(shù)形式表達了商品的需求同價格之間及產(chǎn)量同成本之間的依存關(guān)系。盡管該書在其生前并未被引起很多注意,但其奠定了接下來30年以后經(jīng)濟學(xué)上所謂的“邊際革命”(Marginalist Revolution)的基礎(chǔ)。古諾被稱為“數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的奠基人”。⑦1854年,戈森(Gossen)發(fā)表《交換規(guī)律的發(fā)展和人類行為準(zhǔn)則》(The Development of the Laws of Exchange among Men and of the ConsequentRulesof HumanAction),極力主張應(yīng)用變數(shù)數(shù)學(xué)方法,并將這種方法看作是唯一健全的經(jīng)濟學(xué)方法,并且運用數(shù)學(xué)建立起了“戈森定律”(“Gossen’s FirstLaw”,“Gossen’s Second Law”,and“Third Law”)。戈森的數(shù)學(xué)非常好,寫下了大量的數(shù)學(xué)符號、公式和圖表,并且自比“經(jīng)濟學(xué)上的哥白尼”(Gossen himself declared that hiswork was comparable in its significance to the innovations of Copernicus)。

在這一時期,大量將數(shù)學(xué)運用經(jīng)濟學(xué)研究的還有馬克思。馬克思高度評價魁奈使用數(shù)學(xué)圖式的方法試圖說明社會總資本的再生產(chǎn)和流通過程。在《資本論》中,馬克思在很多地方采用數(shù)學(xué)語言表述自己的觀點和理論,但主要是采用簡單符號、具體數(shù)字以及簡單的數(shù)學(xué)運算來說明不同變量之間的關(guān)系。在簡單再生產(chǎn)和擴大再生產(chǎn)的條件、利潤率和剩余價值率的關(guān)系、周轉(zhuǎn)對利潤率影響等問題的分析方面采用了簡單的數(shù)學(xué)方法。

(二)“邊際革命至新古典經(jīng)濟學(xué)之前”時期:數(shù)學(xué)方法廣泛運用于經(jīng)濟學(xué)

邊際革命的三位代表人物威廉·斯坦利·杰文斯(W illiam Stanley Jevons)、里昂·瓦爾拉斯(Leon Walras)和卡爾費希爾(I.Fisher)、克拉克(J.B. Clark)以及龐巴維克(E.von Bohm-Bawerk)·門格爾(CarlMenger)都強調(diào)對數(shù)學(xué)的運用,此后,F.Y ·埃奇沃思(F.Y.Edgeworth)、阿爾弗雷德·馬歇爾(AlfredMarshall)、帕累托(Pareto)、克拉克(J.B. Clark)、歐文·費雪(Irving Fisher)以及龐巴維克(E.von Bohm-Bawerk)等采用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟理論有了進一步發(fā)展。

杰文斯對經(jīng)濟學(xué)展現(xiàn)他特有的開創(chuàng)性作用, 1871年,杰文斯出版《政治經(jīng)濟學(xué)理論》(The Principles of Political Economy),邊際效用理論是該著作的基調(diào),通過四個命題,強調(diào)了數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的重要地位:(1)經(jīng)濟學(xué)的本性是數(shù)學(xué)的;(2)變量無法精確測量并不妨礙經(jīng)濟學(xué)的數(shù)學(xué)性;(3)經(jīng)濟學(xué)所用方法主要是微積分;(4)數(shù)學(xué)方法是使經(jīng)濟學(xué)進步的必要條件。“經(jīng)濟學(xué)如果是一種科學(xué),它必須是一種數(shù)學(xué)的科學(xué)?！币驗樾в美碚?指的是商品的效用的度量是商品數(shù)量的連續(xù)函數(shù),實際上表達出經(jīng)濟學(xué)也是一門數(shù)學(xué)科學(xué)的觀點。杰文斯說:“經(jīng)濟學(xué)是快樂與痛苦的微積分學(xué)……以最小的努力獲得最大的滿足,以最小厭惡的代價獲取最大欲望的快樂,使快樂增至最大,就是經(jīng)濟學(xué)的任務(wù)?！?/p>

法國經(jīng)濟學(xué)家里昂·瓦爾拉斯,曾經(jīng)被約瑟夫·熊彼特(Joseph Alois Schumpeter)認(rèn)為是“所有經(jīng)濟學(xué)家當(dāng)中最偉大的一位”。他開創(chuàng)了一般均衡理論,是一位數(shù)理經(jīng)濟學(xué)家,邊際革命領(lǐng)導(dǎo)人,洛桑學(xué)派(Lausanne school)創(chuàng)始人。瓦爾拉斯的主要貢獻被認(rèn)為是在純粹理論方面,即建立了他的一般均衡論。這一理論在一定程度上來源于瓦爾拉斯的三種觀點:(1)邊際效用價值論。邊際效用是一般均衡論的價值論的基礎(chǔ)。瓦爾拉斯把邊際效用稱為“稀少性”:商品的稀少性隨著它的消費量的增加而遞減,并且與購買商品時支付的價格成比例,消費者在進行購買時,力圖使他每一元貨幣所能購買到的每一種商品的效用量相等。這時,他得到最大的效用,即處于均衡狀態(tài)。(2)在經(jīng)濟研究中數(shù)學(xué)方法的使用。對瓦爾拉斯而言,數(shù)學(xué)方法是研究經(jīng)濟理論的唯一合乎邏輯和科學(xué)的方法。在他看來,只有使用數(shù)學(xué)才能對經(jīng)濟理論加以確切的論證和說明。他的主要研究結(jié)果一般均衡論,就使用了微積分學(xué)和大量的聯(lián)立方程。也正是這個原因,瓦爾拉斯也被認(rèn)為是西方經(jīng)濟學(xué)數(shù)理學(xué)派的人物之一。(3)經(jīng)濟變量之間的相互關(guān)系和影響。瓦爾拉斯認(rèn)為,各種商品和勞務(wù)市場的供求數(shù)量和價格是相互有關(guān)的,一種市場上的價格和數(shù)量的變化會影響其他市場的供求關(guān)系。因此,在考察經(jīng)濟問題時,不能僅僅研究一個市場上的供求情況,還必須同時研究其他一切市場上的供求情況。由于變量之間的相互影響,只有當(dāng)一切市場都處于均衡狀態(tài),個別的市場才能處于均衡狀態(tài)。研究者不能滿足于找出一個市場的數(shù)量和價格的均衡量,還必須找出能使一切市場供求相等的全部價格和數(shù)量系列。

門格爾對經(jīng)濟學(xué)的最大貢獻是方法論上的個人主義原則,在邊際效用理論中,看重主觀評價的作用。其理論要說明人們的主觀評價如何使競爭性的市場發(fā)現(xiàn)過程運轉(zhuǎn)起來的,將價格看作是由主觀估價形成的dependent變量。但門格爾并未否定數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟學(xué)中的運用。1871年,門格爾發(fā)表《國民經(jīng)濟學(xué)原理》(Principles of Economics),提出了經(jīng)濟學(xué)中的“邊際分析法”,來以測量消費者欲望的滿足程度,衡量物的效用從而決定價值,從而推動著經(jīng)濟學(xué)的研究。后來,除了“邊際效用”以外,人們又發(fā)展出了邊際成本、邊際收益、邊際貢獻、邊際生產(chǎn)率等一系列概念。因為人們發(fā)現(xiàn),很多經(jīng)濟現(xiàn)象都可能用“邊際規(guī)律”來解釋,也就是用“微積分”的方法來解釋。

后來,埃奇沃思是試圖對完全競爭下系統(tǒng)而嚴(yán)格定義的第一位經(jīng)濟學(xué)家。1881年埃奇沃思出版了《數(shù)學(xué)心理學(xué)》(Mathematical Psychics),⑧試圖用抽象的數(shù)學(xué)來刻畫邊際效用論。在這部著作中,他提出了描述商品交換的著名的“埃奇沃思方盒(Edgeworth Box)”。他在闡述完全競爭條件時指出,一個完全的競技場還得具有某些特別有利于數(shù)學(xué)計算的性能。

馬歇爾最早是作為一個數(shù)學(xué)家開始學(xué)術(shù)生涯的,在其1890年出版的《經(jīng)濟學(xué)原理》(The Principles of Economics)中,給出現(xiàn)代微觀經(jīng)濟學(xué)教科書中許多“既直觀易懂、又不失數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那€圖像”。馬歇爾經(jīng)濟學(xué)說的核心是均衡價格論,而《經(jīng)濟學(xué)原理》正是對均衡價格論的論證和引申,該書的主要成就就在于建立了靜態(tài)經(jīng)濟學(xué)。作為最有才華的數(shù)學(xué)家之一,馬歇爾在他的著作里力求用最簡潔的語言表達思想,把數(shù)學(xué)的定量材料僅僅作為附錄和腳注。

帕累托完全采用數(shù)學(xué)方法研究瓦爾拉斯的一般均衡理論,提出了“帕累托最優(yōu)條件”,并在1911年為《數(shù)學(xué)百科全書》撰寫了以“數(shù)理經(jīng)濟學(xué)”(Mathematical Economics)為題目的文章。正是從這個時期開始,數(shù)理經(jīng)濟學(xué)作為一門學(xué)科的名稱流傳開來。歐文·費雪⑨1892年出版了《價值與價格的數(shù)學(xué)研究》(Mathematical Investigations In The TheoryOfValue And Prices,And Appreciation And Interest),成為美國比較早采用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟學(xué)的學(xué)者。龐巴維克提出“邊際對偶(marginal pairs)”理論,他認(rèn)為,買賣雙方眾多個人對物品都有不同的各自主觀評價,接近于供求平衡的兩對買賣者稱為邊際對偶。市場價格是由邊際對偶的主張評價所限制和決定的。

在數(shù)學(xué)方法運用于邊際分析階段,高級微觀經(jīng)濟學(xué)研究取得的成就可概括為三個方面:形成和發(fā)展了一套完整的微觀經(jīng)濟活動者行為理論;提出了一般經(jīng)濟均衡問題,建立了一般經(jīng)濟均衡的理論框架;創(chuàng)立了當(dāng)今的消費者理論、生產(chǎn)者理論、壟斷競爭理論、及一般經(jīng)濟均衡理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)工具主要是微積分中的“導(dǎo)數(shù)”和“偏導(dǎo)數(shù)”、“全微分”和“拉格朗日乘數(shù)法”。

(三)新古典經(jīng)濟學(xué)之后:數(shù)學(xué)方法全面運用于經(jīng)濟學(xué)

1.數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的建立和發(fā)展

數(shù)理經(jīng)濟學(xué)(Mathematical Economics)是一門形式理論經(jīng)濟學(xué),是經(jīng)濟學(xué)研究方法與研究方式的匯總。從學(xué)科性質(zhì)上看,數(shù)理經(jīng)濟學(xué)應(yīng)是經(jīng)濟學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科。數(shù)理經(jīng)濟學(xué)在20世紀(jì)的發(fā)展受很多因素推動。其中,最重要的是一般經(jīng)濟均衡理論的證明。瓦爾拉斯⑩提出一般經(jīng)濟均衡之后,并未給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)證明。此后,許多學(xué)者致力于該定理的證明。真正將微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)技術(shù)運用于表述經(jīng)濟理論的是約翰·?？怂?John Hicks)的《價值與資本:經(jīng)濟理論的若干基本原則之探究》(Value and Capital: An Inquiry into Some Fundamental Principles of Economic Theory,1939)。在該書中,?？怂挂試?yán)格的數(shù)學(xué)工具,對序數(shù)效用論、無差異曲線等概念和理論進行了系統(tǒng)的闡述和完善。將靜態(tài)分析方法的適用范圍擴大而把多時期分析包括在內(nèi),希克斯的模型為研究外生變量變化的結(jié)果提供了大得多的可能性。1947年,保羅·薩繆爾森(Paul A.Samuelson)出版《經(jīng)濟分析基礎(chǔ)》(Foundations of Economic Analysis),該書以數(shù)學(xué)為工具,使各種理論和方法獲得基本統(tǒng)一的表述,并以此總結(jié)了新古典經(jīng)濟學(xué)的主要成就。該書將最大化原理和均衡原理結(jié)合在一起,使新古典經(jīng)濟學(xué)的主體內(nèi)容有了經(jīng)典的數(shù)學(xué)表述形式,這正是它成為經(jīng)典的原因?？梢??？怂沟摹秲r值與資本》和薩繆爾森的《經(jīng)濟分析基礎(chǔ)》,全面總結(jié)和發(fā)展了邊際分析階段的研究工作,尤其是?？怂拱l(fā)展了一般均衡理論,薩繆爾森則把顯示性偏好與均衡穩(wěn)定性結(jié)合起來研究。這兩部著作使邊際分析到達了頂點,從而成為經(jīng)濟學(xué)史上的兩部名著。盡管希克斯和薩繆爾森的研究中進行精密的數(shù)學(xué)分析和求解,但仍以微積分為主要工具,要受連續(xù)函數(shù)的不切實際假定的限制。所以,進入20世紀(jì)50年代以后,數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的基礎(chǔ)由微分轉(zhuǎn)變?yōu)榧险摰刃碌臄?shù)學(xué)工具。J.馮·諾伊曼(John von Neumann)、K.J.阿羅(Arrow)、吉拉德·德布魯?shù)认群笥眉险?主要數(shù)學(xué)工具是數(shù)學(xué)分析、凸分析和拓?fù)鋵W(xué))和線性模型(主要數(shù)學(xué)工具是線性代數(shù)和線性規(guī)劃)展開新的探索。在這種轉(zhuǎn)變中,影響最大的首推阿羅1951年的《社會選擇與個人價值》(Social Choice and Individual Values)。該書的主題是社會選擇理論的公理化,但在其研究過程中,運用集合論技巧,為一般均衡的研究提供了一個框架。

20世紀(jì)60年代以后數(shù)理經(jīng)濟學(xué)和微積分、集合論、線性模型結(jié)合在一起,同時數(shù)學(xué)方法的運用幾乎遍及經(jīng)濟學(xué)的每個領(lǐng)域。第二次世界大戰(zhàn)以后,經(jīng)濟生活的需要和電子計算機的發(fā)明,促使與數(shù)理經(jīng)濟學(xué)有關(guān)的經(jīng)濟計量學(xué)得到迅速發(fā)展,它反過來又推動數(shù)理經(jīng)濟學(xué)繼續(xù)前進。

2.計量經(jīng)濟學(xué)的建立和發(fā)展

計量經(jīng)濟分析是20世紀(jì)20年代之后發(fā)展起來的一項重要經(jīng)濟學(xué)分析技術(shù)或工具。計量經(jīng)濟學(xué)(Econometrics)是由弗瑞希(R.Frish)在1926年仿照“計量生物學(xué)(Biometrics)”一詞而提出。計量經(jīng)濟學(xué)會在1930年得以成立,不久《計量經(jīng)濟學(xué)》(Econometriea)雜志出版。弗瑞希于1933年發(fā)表《動態(tài)經(jīng)濟學(xué)中的擴散問題和沖擊問題》一文,從計量經(jīng)濟學(xué)的角度將經(jīng)濟分析劃分為靜態(tài)分析(Static analysis)和動態(tài)分析(Dynamic analysis)。1939年,他編制了世界上第一個宏觀計量經(jīng)濟模型。第一屆諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎就授予了弗瑞希和簡·丁伯根(Jan Tinbergen)。丁伯根提出了著名的“蛛網(wǎng)模型”(cobweb theorymodel),并成功地運用差分方程進行動態(tài)分析,建立了一套完整的美國經(jīng)濟計量模型。他還運用數(shù)學(xué)方法檢驗資本主義經(jīng)濟周期運動。勞倫斯·克萊茵(Lawrence R.Klein)將計量經(jīng)濟學(xué)方法與凱恩斯主義(Keynesianis m)宏觀經(jīng)濟學(xué)分析結(jié)合起來,創(chuàng)立了宏觀經(jīng)濟計量學(xué)。1950年在《凱恩斯革命》(The Keynesian Revolution)中,第一次完整地將凱恩斯的經(jīng)濟理論表述為數(shù)學(xué)形式。1955年勞倫斯·克萊茵與戈德伯格(Arthur S.Goldberger)合作,發(fā)表《美國的一個經(jīng)濟計量模型,1929-1952》(An Econometric Model of United States,1929-1952)論文,構(gòu)建了一個包括22個方程的美國年度經(jīng)濟的“萊因-戈德伯格模型”,不僅在結(jié)構(gòu)、規(guī)模和先進的估算方法論方面是現(xiàn)代宏觀模型的鼻祖,而且也是正式地用于經(jīng)濟波動預(yù)測的第一個經(jīng)濟計量模型,對以后美國和其他國家建立的宏觀經(jīng)濟計量模型有深遠(yuǎn)而普遍的影響?？巳R因還幫助其他國家建立模型,包括1947年的加拿大模型、1961年的日本模型、1961年的英國第一季度模型。他關(guān)于發(fā)展中國家模型式樣的建議,明顯地被采納于印度、墨西哥、蘇丹等不同國家的模型中。他還與他人一起,致力于建立前蘇聯(lián)的模型,對前蘇聯(lián)的經(jīng)濟計劃和計劃執(zhí)行進行經(jīng)濟計量的描述。

由于計量模型的預(yù)測常常失敗,20世紀(jì)60年代中期以后,計量經(jīng)濟分析的重心便從模型參數(shù)的估計和檢驗轉(zhuǎn)向模型設(shè)定的方法論討論,強調(diào)對計量經(jīng)濟分析方法與技術(shù)的思想本身進行研究,強調(diào)對模型同經(jīng)濟理論和統(tǒng)計學(xué)原理的一致性進行探討,運用范圍也從傳統(tǒng)的宏觀經(jīng)濟領(lǐng)域轉(zhuǎn)向微觀領(lǐng)域及其他領(lǐng)域。計量經(jīng)濟學(xué)在分析方法得到迅速發(fā)展的同時,大量運用于經(jīng)濟學(xué)理論命題的實證檢驗。

3.博弈論改寫經(jīng)濟學(xué)

無論微積分,還是拓?fù)鋵W(xué)抑或集合論,在經(jīng)濟學(xué)研究中均存在著一個共同的局限性,即它們只在均衡分析中才能充分發(fā)揮作用。20世紀(jì)70年代以前的西方經(jīng)濟學(xué)主要偏重于均衡分析和完全競爭,原有的用于經(jīng)濟學(xué)分析的數(shù)學(xué)工具有一定局限,博弈論的數(shù)學(xué)方法能彌補這些局限,可用于非均衡分析和非完全競爭狀態(tài)下的分析。博弈論不是經(jīng)濟學(xué)的一個分支,它只是一種方法,是數(shù)學(xué)的一個分支,是適用于研究行為互動局勢的一種通用的分析方法。據(jù)國外有關(guān)檢索結(jié)果,近幾年在經(jīng)濟學(xué)類文獻中,出現(xiàn)頻率最高的關(guān)鍵詞之一就是“game theory”。

1944年奧斯卡·摩根斯坦(OskarMorgenstern)和馮·諾伊曼(John von Neumann)共同出版了《博弈論與經(jīng)濟行為》(Theory of Games and Economic Behavior),該著作提出合作博弈的基本模型,標(biāo)志著系統(tǒng)的博弈理論的形成。該著作因此被稱為“博弈論的奠基之作”,被稱為20世紀(jì)前50年人類最偉大的科學(xué)成就之一。一直到現(xiàn)在,該書也是博弈論的經(jīng)典著作。奧斯卡·摩根斯坦和馮·諾伊曼是最早考慮經(jīng)濟行為者決策“互動”性質(zhì)的重要性的經(jīng)濟學(xué)家。到20世紀(jì)50年代,合作博弈發(fā)展到鼎盛期,非合作博弈也開始產(chǎn)生。約翰·納什(John Nash)的《N人博弈的均衡點》(Equilibrium Points in N-person Games)(1950)、《非合作博弈》(Non-Cooperative Games)(1951)明確給出了“納什均衡”(Nash equilibrium)的概念和均衡存在定理,圖克(Tucker) 1992年則定義了“囚徒困境”(prisoner’s dilemma)。兩人的著作奠定了現(xiàn)代非合作博弈論的基石。

20世紀(jì)60年代是博弈論的成熟期。不完全信息與1985年羅伯特·約翰·奧曼(Robert John Aumann)對“非轉(zhuǎn)移效用博弈”(non-transferable utility)的擴充使博弈理論變得更具廣泛應(yīng)用性。約翰·海薩尼(John Charles Harsanyi)于1967-1968年將分析方法拓展到不完全信息博弈,從而為理性行為的分析和信息經(jīng)濟學(xué)奠定了堅實的基礎(chǔ)。20世紀(jì)70年代以后,博弈論形成了一個完整的體系;大體從20世紀(jì)80年代開始,博弈論逐漸成為主流經(jīng)濟學(xué)的一部分。博弈論的運用包括不完全競爭、市場均衡、談判、產(chǎn)品質(zhì)量、保險、委托——代理關(guān)系、歧視、公共產(chǎn)品等微觀領(lǐng)域,并且已擴展到宏觀經(jīng)濟學(xué)、產(chǎn)業(yè)組織理論等等。有些經(jīng)濟學(xué)家還利用博弈論方法,來分析合作、利他主義、信任、懲罰、報復(fù)之類的現(xiàn)象,力圖探討社會規(guī)范、制度如何產(chǎn)生的棘手問題。1994年納什、約翰·海薩尼(John Charles Harsanyi)和澤爾滕(Selten)在非合作博弈的均衡分析理論方面做出了開創(chuàng)性的貢獻,使經(jīng)濟博弈論全面形成并獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。1996年,威廉·維克里(W illiam Wekey)和詹姆斯·莫里斯(James A.Mirrlees)再次因為對博弈論研究的突出成果而榮獲諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。博弈論開始對其他學(xué)科的研究產(chǎn)生強有力的影響,計算機技術(shù)的飛速發(fā)展使得研究復(fù)雜和設(shè)計大規(guī)模計算的博弈模型發(fā)展起來。2005年,奧曼和托馬斯·克羅姆比·謝林(Thomas Crombie Schelling),因“通過博弈論分析而增進對沖突和合作的理解”榮獲諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。2007年,又是三位博弈論研究領(lǐng)域的經(jīng)濟學(xué)家榮獲諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎,分別是:里奧尼德·赫維茨(Leonid Hurwicz)開創(chuàng)了機制設(shè)計理論;埃里克·馬斯金(Eric S.Maskin)因公共選擇理論、博弈論、激勵理論與信息理論以及機制設(shè)計而獲獎;羅杰·邁爾森(Roger B.Myerson),其博士課題為“一種合作博弈理論(A Theory of Cooperative Games)”,對博弈論有深入的研究,著有《博弈論:矛盾沖突分析》(Game Theory: Analysis of Conflict)及《經(jīng)濟決策的概率模型》(ProbabilityModels for Economic Decisions)。

博弈論運用數(shù)學(xué)方法來描述所研究的問題,主要應(yīng)用集合論、泛函分析、實變函數(shù)、微分方程等許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識和分析工具,具有明顯的數(shù)學(xué)公理化方法特征,使博弈論所分析的問題更為精確。博弈論研究方法具有抽象化的特征,這是由于博弈論分析大量使用了現(xiàn)代數(shù)學(xué),使它描述和分析的過程及所揭示的結(jié)論都帶有極其抽象的特點。

四、結(jié)語

1.數(shù)學(xué)是現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)研究的重要工具。數(shù)學(xué)為經(jīng)濟學(xué)提供了解決問題的一種思路、一種方法。若不用數(shù)學(xué)的數(shù)據(jù)與方法,一些經(jīng)濟現(xiàn)象則無法研究?，F(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)博大精深,經(jīng)濟學(xué)家運用數(shù)學(xué)語言能夠更嚴(yán)格地闡述、更精煉地表達其觀點和理論,用數(shù)學(xué)模型來分析各個經(jīng)濟變量之間的相互依存關(guān)系。由于經(jīng)濟學(xué)的度量化、將各種前提假設(shè)條件精確化,它已成為了一門體系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳鐣茖W(xué)。

2.21 世紀(jì)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域的運用將超過物理學(xué)?；谠S多分析的方法,特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué),包括隨機數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)、熵等理論在金融、投資等方面的運用。

3.數(shù)學(xué)方法是經(jīng)濟學(xué)研究的必要條件,但不是充分條件。這也正是經(jīng)濟學(xué)的數(shù)理學(xué)派與行為學(xué)派進行激烈爭論(特別在不確定領(lǐng)域)的重要原因。經(jīng)濟學(xué)中很多問題尚不能完全用數(shù)學(xué)方法得到求解,如三人以上的博弈在數(shù)學(xué)上尚未找到一般程序求解隨機策略納什均衡。說明數(shù)學(xué)僅僅是經(jīng)濟學(xué)研究的必要工具之一,但絕不是萬能的工具與方法。

[注 釋]

① 保爾·拉法格(Paul Lafargue),1891,馬集譯,1973:《憶馬克思》,輯于《回憶馬克思恩格斯》,人民出版社,第7頁.

② 格里高利·曼昆(N.GregoryMankiw),梁小民譯.經(jīng)濟學(xué)原理(Principles of Economics)(上冊).機械工業(yè)出版社,2003.

③ 同上.

④ 西尼爾.政治經(jīng)濟學(xué)大綱.商務(wù)印書館,1986;薩伊.政治經(jīng)濟學(xué)概論.商務(wù)印書館,1964.

⑤ 1897,English.translation.byN.T.Bacon.

⑥ 常被當(dāng)作數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的開端.

⑦ Edgeworth說,古諾的論著“是以數(shù)學(xué)形式把經(jīng)濟科學(xué)里的某些高度概括的命題,陳述得最好的?！爆F(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)家還指出,古諾是最早用博弈論思想分析經(jīng)濟問題的先驅(qū)者,他的“雙頭模型”成功地運用了博弈論.

⑧ 很可能是經(jīng)濟學(xué)歷史上一部最難以理解的重要著作.

⑨ 美國經(jīng)濟學(xué)家、數(shù)學(xué)家,經(jīng)濟計量學(xué)的先驅(qū)者之一,美國第一位數(shù)理經(jīng)濟學(xué)家.

⑩ 現(xiàn)在均將19世紀(jì)70年代杰文斯和瓦爾拉斯極力提倡且實行以數(shù)學(xué)推理為經(jīng)濟理論研究的唯一方法當(dāng)作數(shù)理經(jīng)濟學(xué)和數(shù)理學(xué)派的正式形成,而把此后到20世紀(jì)初,F.Y.埃奇沃思、A.馬歇爾、費雪、V.帕累托等在經(jīng)濟學(xué)里進一步運用數(shù)學(xué)推理當(dāng)作這個學(xué)科和學(xué)派的發(fā)展.

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[責(zé)任編輯:張曉娟]

F224.9

A

1004-5295(2010)04-0010-07

2010-08-01

李逸群(1989-),女,內(nèi)蒙古呼和浩特人,鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系在讀本科生,從事數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.