周 云 汪學(xué)剛 段 銳

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,四川成都610054)

1.引 言

空時自適應(yīng)處理(STAP)技術(shù)能夠從空間和時間二維同時區(qū)分目標(biāo)和雜波,因而在機(jī)載預(yù)警雷達(dá)雜波抑制上具有明顯的性能優(yōu)勢,受到了廣泛關(guān)注[1-5]。但是,受自適應(yīng)處理的空、時奈奎斯特采樣率的限制及復(fù)雜的機(jī)載雷達(dá)雜波環(huán)境[6]的影響,實現(xiàn)理想最優(yōu)STAP必須解決兩個難題:高運(yùn)算量和大規(guī)模訓(xùn)練樣本集支持的問題。因此,采用各種降維或子空間處理技術(shù)是當(dāng)前STAP技術(shù)的研究熱點(diǎn)。

其中,局域聯(lián)合(Joint-Domain Localized,JDL)處理算法是WANG H和CAI L提出的一種在波束域和多普勒域聯(lián)合處理的空時自適應(yīng)處理(STAP)技術(shù)[7]。JDL算法先對空時回波數(shù)據(jù)進(jìn)行二維離散傅立葉變換(2-DFT),然后在頻域?qū)崿F(xiàn)對雜波和干擾的相干積累,使雜波和干擾能量集中在低維子空間內(nèi),最后在這個低維空間內(nèi)進(jìn)行自適應(yīng)處理。這種處理方式,減少了在空-時域內(nèi)進(jìn)行STAP處理要求的系統(tǒng)自由度(Degree of Freedom,DoF),從而降低了系統(tǒng)對訓(xùn)練樣本支持和運(yùn)算速度的要求。但是,DFT法必須基于接收天線陣是理想均勻線陣(ULA)且陣元為各向同性的點(diǎn)傳感器的假設(shè)才能實現(xiàn),使DFT-JDL算法在實際應(yīng)用中受到很大的限制。

為克服經(jīng)典JDL算法遇到的上述問題,利用基于過完備基(Overomplete Bases)的信號表示理論[8-9],提出一種改進(jìn)的從空-時域到角度-多普勒域的數(shù)據(jù)映射方法,使變換結(jié)果不受點(diǎn)傳感器天線陣列配置和空間觀測方向影響,增強(qiáng)了JDL算法的穩(wěn)健性。

2.理論分析

2.1 理論分析

考慮某ULA具有N個各向同性的點(diǎn)傳感器,每個陣元在一個CPI內(nèi)收到M個相干脈沖。因此,來自給定距離單元的空時樣本數(shù)據(jù)快拍可表示為MN×1維的列矢量,接收到的數(shù)據(jù)中包含了雜波、熱噪聲和可能的目標(biāo)信號,即

式中:c為雜波矢量;n為白噪聲矢量;ξt為潛在目標(biāo)的幅度,ξt=0表示無目標(biāo);v(φt,f t)為對應(yīng)于可能目標(biāo)方向φt和多普勒頻率 ft的期望空時導(dǎo)向矢量。空時導(dǎo)向矢量可以由空域?qū)蚴噶縱 s(φt)和時域?qū)蚴噶縱 t(f t)共同表示為

式中:?表示矢量的Kronecker積;f s為歸一化空間頻率(d/λ)sinφt(d是陣元間距,λ是雷達(dá)波長);fr是脈沖重復(fù)頻率(PRF)。定義空域?qū)蚴噶縱s(φ)為使波束指向偏離陣列法線方向φ的幅相加權(quán)系數(shù)。根據(jù)電磁互易原理,為使波束指向φ,天線陣元必須被與此導(dǎo)向矢量共軛的v*s(φ)所激勵。因此,把空域數(shù)據(jù)變換到角度域的φ方向,可等效于用對應(yīng)的空域?qū)蚴噶亢凸曹椀募顚?dǎo)向矢量作內(nèi)積。與此類似,把時域數(shù)據(jù)變換到多普勒域,等效于用對應(yīng)的時域?qū)蚴噶颗c共軛的時域激勵矢量v*t(f)作內(nèi)積?？諘r樣本數(shù)據(jù)矢量x在角度-多普勒域的響應(yīng)為

式中:x(φ,f)為標(biāo)量;符號“～”表示變換域。對選定的一組角度和多普勒頻率值集合,利用式(5)可將空時數(shù)據(jù)矢量映射到對應(yīng)的角度和多普勒單元。

在角度-多普勒域,由于雷達(dá)發(fā)射能量主要集中在觀察方向,因此只有以φ為中心的相鄰角度單元需要處理;而潛在目標(biāo)的多普勒頻移卻是未知的,需要對所有多普勒頻率單元都進(jìn)行檢測。因此,在觀察方向上將角度-多普勒單元分成L組,每組稱為一個局域處理區(qū)域(LPR),分別具有ηa個角度單元和ηd個多普勒單元,圖 1示出了 ηa=ηd=3的LPR。JDL在每個LPR內(nèi)進(jìn)行自適應(yīng)處理,并以LPR的中心角度-多普勒單元為檢測單元。

對相鄰距離單元空時數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行角度-多普勒變換后,利用最大似然估計法,求出每個LPR區(qū)域的雜波樣本協(xié)方差陣R。在角度-多普勒域內(nèi),空時自適應(yīng)處理器表示為

圖1 聯(lián)合局域化處理的局域處理區(qū)域:ηa=ηd=3

式中,v是式(2)中空時導(dǎo)向矢量的角度-多普勒域變換,且是 ηaηd×1維矢量 。

2.2 DFT-JDL

由數(shù)字信號處理知識可知,有限長序列x[n]的DFT為

式中,WN表示正交序列集中的基exp(j2π/N)。

通常陣元間距為 d=λ/2;空域角頻率 Ks=2πf s=2π(d/λ)sin(φ)∈(-π,π)。當(dāng) f s=1/N 時,式(3)的元素 WaN=exp(j2πfs)=exp(j2π/N)與DFT中正交序列集的基相同,即WaN=Wn,空域?qū)蚴噶縱s(φ)為DFT變換系數(shù)陣{WnkN}|N-1k=0的某一列。根據(jù)式(7),若空域頻率 ks的間隔也為1/N,則矢量和空域?qū)蚴噶縳的內(nèi)積可以看作是在角度單元φ上的DFT。同理,若時間頻率kt的間隔為1/M,則矢量x和時域?qū)蚴噶縱 t(f)的內(nèi)積可以看作是在多普勒單元 f上的DFT。

由上述分析可知,DFT-JDL算法必須滿足如下兩個條件:

1)選擇使fs的間隔等于1/N的角度集合和使的間隔等于1/M的多普勒頻率集合,則向角度-多普勒域的變換可等效為進(jìn)行DFT變換;

2)觀察方向φt必須為1)所選擇的角度集合中的元素,觀察多普勒頻率的歸一化 f t/f r是1)所選擇的多普勒頻率集合中的一個元素,則目標(biāo)導(dǎo)向矢量是DFT變換系數(shù)陣中的一列。

上述兩個條件在天線陣為理想ULA且陣元為各向同性的點(diǎn)傳感器的情況下才能滿足。并且在無零填充的情況下,DFT只能形成 N個正交的角度波束和M個正交的多普勒波束,當(dāng)目標(biāo)的角度、多普勒頻率發(fā)生擴(kuò)展或偏離了觀察網(wǎng)格時,DFT-JDL算法性能下降。根據(jù)DFT的正交性,角度-多普勒域內(nèi)的空時導(dǎo)向矢量為v為

式中,1對應(yīng)檢測角度-多普勒單元,其余單元為0。

2.3 信號表示的過完備理論

信號的過完備表示理論(Overcomplete Representation Theorem)已經(jīng)廣泛用于信號處理領(lǐng)域,如醫(yī)療診斷、圖像壓縮和源定位等,其基本原理可以參見MALLAT S,DONOHO D L和RAO B D[8-11]等人的著作,以及關(guān)于函數(shù)逼近和最優(yōu)基選擇等理論的相關(guān)內(nèi)容。

假設(shè) n維線性空間 Vn,它由線性獨(dú)立基底{φi(t),i=1,2,…,n}張成 ,則對任意 x∈Vn,都可以用下列線性組合表示

式中:α=(α1,α2,...,αn)T稱為信號x 相對于基底{φi(t)}的矢量表示。若{φi(t)}在區(qū)間(t1,t2)上滿足

則稱此函數(shù)集為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)集,相應(yīng)地,稱式(9)為正交分解[12]。若在正交函數(shù)集{φi(t),i=1,2,...,n}之外,不存在函數(shù)ψ(t)滿足下式

則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。

N點(diǎn)DFT的復(fù)指數(shù)集{WnkN}|N-1k=0即為完備的正交函數(shù)集。但是,在有限維空間內(nèi),可表示的信號數(shù)量與完備集內(nèi)的基數(shù)量相關(guān),故DFT只能給出頻譜在 N個離散點(diǎn){2πk/N, 0≤k≤N-1}上的值,而無法反映這些點(diǎn)之間的頻譜內(nèi)容。這就從本質(zhì)上決定了DFT-JDL算法需要滿足2.2節(jié)中的兩個條件才能成立。因此,為提高可表示信號的數(shù)量,必須增加完備集內(nèi)的基數(shù)量?；谶^完備基的信號表示理論提出改進(jìn)的JDL算法,先利用包含所有感興趣觀測角度的過完備基集合構(gòu)造從空-時域到角度-多普勒域的變換矩陣,然后通過變換矩陣將空時數(shù)據(jù)精確映射對應(yīng)的角度-多普勒單元,最后再在LPR內(nèi)進(jìn)行聯(lián)合域自適應(yīng)處理。

2.4 改進(jìn)JDL算法

假設(shè)實際觀察方向的角度集合為{φ1,φ2,...,φL},φL的位置與間隔不受前面兩個條件的限制,只與實際的天線波束指向相關(guān)。因此,可形成的波束數(shù)量L也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于DFT變換后的波束數(shù)量N。從信號表示理論看,相當(dāng)于用一個過完備的基集合去表示信號,從而獲得對信號更加精確的描述。

根據(jù)式(5),從空-時數(shù)據(jù)域到角度—多普勒域的變換實質(zhì)上就是空時導(dǎo)向矢量與對應(yīng)投影角度-多普勒單元的導(dǎo)向矢量的內(nèi)積,其中DFT法只是這個變換過程中的一種特殊情況。在數(shù)學(xué)上,將空時數(shù)據(jù)樣本映射到LPR內(nèi)就是乘以一個 MN×ηaηd維的角度-多普勒頻率變換矩陣,即

若令 LPR 內(nèi)有 3 個角度單元(φ-1,φ0,φ1;ηa=3)和3個多普勒單元(f-1,f0,f1;ηd=3),則映射到指定LPR的變換陣T AD為

空時導(dǎo)向矢量在角度-多普勒域映射為

變換陣T AD中角度單元和頻率單元的選擇不需要任何限制條件。若角度和多普勒頻率值滿足2.2節(jié)中給出的兩個條件時,DFT法等效于選擇一個角度間隔為(d/λ)sin(Δφ)=1/N,多普勒頻率間隔為 Δf=1/M的變換矩陣。

3.實驗結(jié)果分析

考慮某機(jī)載雷達(dá)場景,比較DFT-JDL和改進(jìn)JDL算法的性能。雷達(dá)工作波長為3 mm,天線陣為有8個接收通道的側(cè)視均勻線陣,陣元間隔為1.5 mm,相干處理脈沖數(shù)為16,脈沖重復(fù)頻率為4 k Hz,發(fā)射波束使用30 dB泰勒加權(quán),脈壓后的脈沖寬度為0.33μs,發(fā)射峰值功率為10 kW。雜波仿真使用KLEMM R的機(jī)載雷達(dá)空時二維雜波模型[4],設(shè)雷達(dá)波束與地面的夾角為27°。

先考察DFT法和變換陣法對不同指向天線波束的映射效果,如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)使用了不同的橫坐標(biāo),這是由于DFT是在空間頻率域?qū)崿F(xiàn)的,而變換陣法基于角度的變換方法。受到頻率分辨率和接收通道數(shù)的限制,DFT法只能分辨出頻率間隔為1/N的N個頻率點(diǎn)上的信號,當(dāng)只有8個接收通道時,其空間頻率分辨率僅為π/4,對應(yīng)到角度域的分辨率約為10°,因此來自35°和40°,50°和55°的信號混疊在一起,并且由于45°的信號位于兩個單元中間,對其分辨能力最差。變換陣法可以采用測量或電磁計算方式得到精確的空間導(dǎo)向矢量,再把空時數(shù)據(jù)準(zhǔn)確映射到角度-多普勒域內(nèi),因此不受接收通道數(shù)、信號方向的限制,變換結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖3給出了分別采用改進(jìn)JDL和DFT-JDL算法抑制雜波后的SINR改善因子圖。仿真場景的雜噪比為50 d B,主波束的指向為偏離陣列法線方向5°,LPR選擇3×7的處理區(qū)域。為準(zhǔn)確估計出雜波的樣本協(xié)方差陣,全部處理方法所用到的訓(xùn)練樣本數(shù)都滿足RMB準(zhǔn)則[3](即獨(dú)立同分布的訓(xùn)練樣本數(shù)要大于兩倍自適應(yīng)處理的自由度)。對8點(diǎn)DFT來說,角度域的分辨率接近10度左右,因此DFT-JDL同改進(jìn)JDL算法相比,平均SINR改善因子下降了2 d B。

圖4給出取不同大小 LPR時,改進(jìn)JDL算法的性能。仿真雜噪比為65 d B,主波束的指向為偏離陣列法線方向12°。雜波樣本協(xié)方差陣估計的訓(xùn)練樣本數(shù)都滿足RMB準(zhǔn)則。從圖中可見,同全自適應(yīng)情況相比,最好的JDL算法的平均SINR改善因子下降了5 d B左右,但是考慮到全自適應(yīng)處理所需要的運(yùn)算量和樣本支持的代價,這種損失是可以接收的。受LPR內(nèi)雜波自由度的影響,當(dāng)LPR大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其雜波自由度時,增大LPR,JDL算法的性能會得到明顯的提升;而當(dāng)LPR的大小接近或大于雜波自由度時,JDL性能不會有太大變化。由于增大LPR會帶來運(yùn)算復(fù)雜度和訓(xùn)練樣本數(shù)的增加,因此在實際處理時應(yīng)該選擇合適的LPR。

4.結(jié) 論

基于信號表示的過完備理論,提出了一種改進(jìn)的JDL算法。該算法同經(jīng)典的DFT-JDL算法相比避免了天線陣必須為ULA和全向點(diǎn)傳感器陣元的要求,且觀察角度不受DFT采樣間隔的限制。仿真結(jié)果表明,同DFT-JDL算法相比,改進(jìn)JDL算法的穩(wěn)健性更好,可以用于天線陣列存在通道誤差、互耦以一致性較差的實際工作環(huán)境中。改進(jìn)JDL算法的性能與LPR區(qū)域內(nèi)的雜波自由度相關(guān),通過增大LPR區(qū)域提高處理增益,但是也增加了運(yùn)算量和訓(xùn)練樣本的數(shù)量。因此,雜波自由度與JDL算法局域處理區(qū)域的選擇有密切關(guān)系,這是后繼工作研究的重點(diǎn)。

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