張建群

（福建省計量科學(xué)技術(shù)研究，福建 福州 350002）

一、引言

在測量不確定度評定過程，需要選擇包含因子k或kp，在JJF 1059-1999《測量不確定度評定與表示》（以下簡稱“JJF 1059”）中7.1條，對計算擴展不確定度有兩種方法：一種直接選擇k=2或3，乘合成標準不確定度uc（y）得擴展不確定度U；另一種在給定概率p下，查“t分布臨界值”的kp，然后乘合成標準不確定度uc（y）得擴展不確定度U。但沒有明確在什么情況下選擇那種包含因子評定擴展不確定度，只提到“但veff充分大時，可以近似認為k95=2、k99=3”。因此本文主要根據(jù)ISO、IEC等7個國際組織聯(lián)合制定并發(fā)布《測量不確定度表達指南》〔（GUM）ISO：1993（E）〕有關(guān)內(nèi)容闡述如何簡單選取包含因子計算擴展不確定度。

二、對《測量不確定度表達指南》中推薦的簡單方法的理解

根據(jù)《測量不確定度表達指南》附錄G選取包含因子簡單選擇方法有：在Y和uc（y）表征的概率分布近似為狀態(tài)分布，且uc（y）的有效自由度veff較大時，可取k=2，其所形成的區(qū)間±2uc（y）具有置信概率約為95%；若取k=3，其所形成的區(qū)間±3uc（y）具有置信概率約為99%。具體成立條件為：

1、被測量Y的估計值y，是由適當?shù)妮斎肓縓i的估計值xi得到的，Xi由良好概率分布描述，如正態(tài)分布或矩形分布；

2、可由A類或B類評定輸入量的估計值的標準不確定度u（xi），它們對測量結(jié)果合成不確定度uc（y）有一定的貢獻；

3、由不確定度傳播律要求的線性近似是合適的；

4、uc（y）的不確定度是很小的，因其有效自由度veff具有足夠的大小，如veff＞10。

實際評定測量不確定度對上述4個條件中大部分滿足前3條。其中第1、2條主要是應(yīng)用中心極限定理所要求的，在實際評定過程中基本也滿足要求；第3條是應(yīng)用在不確定度傳播律要求，在推導(dǎo)不確定度傳播律時，根據(jù)泰勒級數(shù)展開中只取一階近似數(shù)；第4條要求uc（y）是很小的，veff＞10。

評定測量不確定度中，怎樣利用“指南”的介紹簡單方法，進行簡單選取包含因子進行測量不確定度評定？如果直接根據(jù)韋爾-薩特思韋特公式計算veff，查“t分布臨界值”的kp=tp（veff），那無所謂簡單方法了，另外計算veff工作量是有一些的。如果不按“指南”中規(guī)定選取條件，直接取k=2或3，并認為形成的區(qū)間±2uc（y）（或±3uc（y））具有置信概率95%（或99%），似乎存在是否合理的疑問？哪到底怎樣選取包含因子？因此利用《測量不確定度表達指南》提供的簡單方法，在滿足veff＞10，根據(jù)置信概率可以直接取k=2或3。

三、《測量不確定度表達指南》簡單方法分析

如果利用《測量不確定度表達指南》提供的簡單方法，在滿足veff＞10可以直接取k=2或3，其對擴展不確定度存在多少不可靠因素？分析說明如下：

1、假設(shè)veff=6（veff＜10），則分別按k=95%與k=99%查“t分布臨界值”的kp=tp（veff）為：

k95=t95（6）=2.45、k99=t99（6）=3.71

如果直接k=2或3，則測量不確定度偏小了22.5%與23.7%，這是不可不考慮的問題。

2、假設(shè)veff=11（veff＞10），則分別按k=95%與k=99%查“t分布臨界值”的kp=tp（veff）為：

k95=t95（6）=2.20、k99=t99（6）=3.11

如果直接k=2或3，則測量不確定度偏小了10%與4%，這是可以考慮的問題。

將選取幾個veff＞10的有效自由度與k=2或3比較結(jié)果如下（見表1）：

表1 veff＞10的查表kp值與k=2或3比較結(jié)果

從veff＞10：直接選取k=2看出，擴展不確定度偏小均在10%以內(nèi)，這是簡單方法所允許的；直接選取k=3看出，擴展不確定度從偏小4%到偏大11%，偏大等于把擴展不確定度放寬了，造成擴展不確定度比較保守了，使得最佳測量能力的數(shù)值變大，這是允許的。

因此，在不知道是否滿足veff＞10的情況下，直接選取k=2或3存在一定的風(fēng)險。所以在實際評定測量不確定度時應(yīng)根據(jù)使用接受的程度，以滿足veff＞10條件下，可以采用《測量不確定度表達指南》簡單方法：包含因子直接取k=2或3。

四、判定veff是否滿足veff＞10

在實際評定測量不確定度中，如何采用《測量不確定度表達指南》的簡單方法，直接選擇包含因子進行測量不確定度評定。那怎樣判定veff是否滿足veff＞10？

由JJF 1059的韋爾-薩特思韋特公式計算veff：

設(shè)vmin為v1，v2，v3，…，vN中最小的一個自由度，且Xi之間不相關(guān)的情況下，對式（1）推導(dǎo)如下：

由式（1）、式（2）得

由式（3）我們可以判定veff是否滿足veff＞10。即：

1、若vmin≥10時，可判斷出veff＞10，則可對于p=95%，取k＝2；對于p=99%，取k＝3。

2、若vmin≤10時，可判斷出veff≤10，則不能采用《測量不確定度表達指南》簡單方法在置信概率情況下直接取包含因子k=2或3。應(yīng)根據(jù)JJF 1059方法計算有效自由度 ，判定veff＞10？，在置信概率情況下取包含因子k=2或3，也可以直接查“t分布臨界值表”得kp=tp（veff）。也可采用如下式（4）、式（5）簡單計算包含因子[3]：

有效自由度veff一般根據(jù)A類標準不確定度自由度vA與B類標準不確定度自由度vB，按韋爾-薩特思韋特公式計算veff的。A類標準不確定度自由度vA=n-1，B類vB根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)與可靠程度進行人為估計的。因此，實際評定測量不確定度時，要判定vmin是否大于10，主要看A類標準不確定度自由度vA是否大于10，即可識別是否采用簡單方法。若A類標準不確定度評定采用貝塞爾公式計算，且測量次數(shù)大于10，基本能滿足veff＞10；若采用測量次數(shù)極少的極差法/或殘差法/或誤差法等進行評估，一般不能滿足veff＞10。

五、舉例說明

在環(huán)境溫度為20℃下，用游標卡尺直接測量標準值為50mm的圓柱形工件的直徑，測量12次。（工件和卡尺隨溫度變化、工件的圓度等對測量值的影響均可忽略不計）。

其標準不確定度分量及自由度計算結(jié)果見表2：

vmin=11根據(jù)式（3）得veff＞10?？捎珊唵畏椒ㄟx取k值。若要求置信概率在p=95%，取k=2，則擴展不確定度為

U95 =k·uc(y)＝2×0.0128＝0.0256mm （6）

若按k95=t95（293）=t95（∞）=1.960，則擴展不確定度為

U95=k·uc(y)＝1.960×0.0128＝0.0251mm（7）

式（6）比式（7）擴大2%，這是允許。更何況是擴大地保守給出擴展不確定度的計算值。

六、結(jié)束語

通過本文對測量不確定度包含因子的選擇進行分析探討，對日常檢測與校準及計量標準技術(shù)報告中對測量不確定度的評定，可采用《測量不確定度表達指南》中提供的簡單方法選擇包含因子：

1、評定vmin是否滿足vmin≥10，若滿足可對于p=95%，取k＝2；對于p=99%，取k＝3。

2、若vmin不滿足vmin≥10（即vmin≤10）時，則不能采用《測量不確定度表達指南》簡單方法直接取包含因子k=2或3，應(yīng)根據(jù)JJF 1059規(guī)定的韋爾-薩特思韋特公式計算有效自由度veff，查“t分布臨界值表”得kp=tp（veff）或采用本文提供的式（4）、式（5）計算kp。

[1]JJF 1059-1999《測量不確定度評定與表示》.北京：中國計量出版社，1999.

[2]劉智敏，劉增明.測量不確定度表示指南.石家莊：標準化文摘雜志社，1995.

[3]王中宇，劉智敏，夏新濤，祝連慶.測量誤差與不確定度評定.北京：科學(xué)出版社，2008.