張子珍，呂仕儒

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

Schrodinger方程的數(shù)值解

張子珍，呂仕儒

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

利用實(shí)穩(wěn)定方法,借助Fortran程序求解薛定諤方程的束縛態(tài)問題.以諧振子勢(shì)為例,并與解析解進(jìn)行比較,得到了滿意的結(jié)果.為求解薛定諤方程提供了一種較簡(jiǎn)單的方法.

薛定諤方程 束縛態(tài) 解析解 數(shù)值解

微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)來描述,波函數(shù)隨時(shí)間變化的方程就是Schrodinger方程,Schrodinger方程是量子力學(xué)中最基本的方程,其地位與Newton方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng).在諧振子勢(shì)、方勢(shì)阱等勢(shì)場(chǎng)作用下,從數(shù)學(xué)上找出Schrodinger方程的解析解比較困難,對(duì)較復(fù)雜的勢(shì)如woods-Saxon作用下,幾乎無法求出Schrodinger的解析解.為了解決此問題,本文利用Fortran語言,求Schrodinger方程的數(shù)值解.利用實(shí)穩(wěn)定方法來找出Schrodinger方程的束縛態(tài),并將結(jié)果與解析解進(jìn)行比較.

1 Schrodinger方程的引入

與具有一定能量E及動(dòng)量p→的粒子相聯(lián)系的波是平面單色波,其表達(dá)式是

將上式對(duì)時(shí)間及坐標(biāo)求導(dǎo),并利用自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系E=p2/2m,可得

假設(shè)勢(shì)場(chǎng)V中不顯含t,方程(4)可以用分離變量法求其特解,令ψ(r→,t)=ψ(r→)f（t）,代入(4)式,分離變量,得

其中E是分離變量時(shí)引入的常數(shù).方程(4)的解是

(5)式就是定態(tài)Schrodinger方程.

2 定態(tài)Schrodinger方程的解

2.1 在不同勢(shì)場(chǎng)作用下的解析解

2.1.1 諧振子勢(shì)

在一維諧振子勢(shì)下,Schrodinger方程變?yōu)?/p>

2.1.2 無限深方勢(shì)阱

圖1 勢(shì)能曲線及解析求解得到的能級(jí)

圖2 解析求解得到的零級(jí)波函數(shù)

在勢(shì)阱外,波函數(shù)為0,且

在求解過程中,得出其能量的本征值及本征函數(shù)分別為

2.2 Schrodinger方程的數(shù)值解

2.2.1 坐標(biāo)空間的實(shí)穩(wěn)定方法

實(shí)穩(wěn)定方法是通過基展開的方法進(jìn)行求解.在分立能區(qū),各本征態(tài)(束縛態(tài))的能量不會(huì)隨基空間的維數(shù)而改變;而在連續(xù)能區(qū),本征態(tài)的能量多數(shù)會(huì)隨著基空間維數(shù)的增加而逐漸降低,這些態(tài)對(duì)應(yīng)于散射態(tài);還有一些本征態(tài)能量隨基空間維數(shù)的增加會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平臺(tái),這些態(tài)對(duì)應(yīng)于共振態(tài)[2].束縛態(tài)的問題也可以在坐標(biāo)空間(離散的空間格點(diǎn)上)求解.通過改變坐標(biāo)空間的大小,可以得到本征能量隨格點(diǎn)數(shù)的變化關(guān)系.與基展開的方法類似,能量不隨坐標(biāo)空間格點(diǎn)數(shù)而改變的態(tài)就對(duì)應(yīng)于束縛態(tài)[3].

2.2.2 數(shù)值求解過程

1)給定初始能量,兩端初始波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)值.

2)通過Runge-Kutta[4]方法向match點(diǎn)推近.

3)利用match點(diǎn)波函數(shù)是否光滑對(duì)接及節(jié)點(diǎn)數(shù)判斷初始能量是否合適.

4)若節(jié)點(diǎn)數(shù)符合,波函數(shù)光滑對(duì)接,歸一化波函數(shù)之后輸出計(jì)算結(jié)果.

5)若節(jié)點(diǎn)數(shù)不符,則改變能量初值,重新進(jìn)行計(jì)算,直到求得本征能量[5].

2.2.3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

1)諧振子勢(shì).V（x）＝mω2x2/2,圖3～6分別給數(shù)值計(jì)算得到的能級(jí)及其波函數(shù).計(jì)算中均采用自然單位制m=ω=?=1.

圖3 諧振子勢(shì)的能級(jí)隨格點(diǎn)數(shù)的變化規(guī)律

從圖3中可以看出,空間格點(diǎn)數(shù)從171增加到421時(shí),各級(jí)諧振子的能量沒有發(fā)生任何變化,所以這些態(tài)對(duì)應(yīng)于束縛態(tài),它們的能級(jí)分別是0.5,1.5, 2.5,3.5,4.5?ω等.與解析求解得到的結(jié)果相當(dāng)吻合.

從圖4、圖5、圖6可以看出數(shù)值求解得到的波函數(shù)與解析求解得到的各級(jí)波函數(shù)也是完全一致的.

2)有限深方勢(shì)阱.

以下面有限深方勢(shì)阱為例來進(jìn)行數(shù)值求解:

圖4 諧振子勢(shì)的第零級(jí)波函數(shù)

圖5 諧振子勢(shì)的第一級(jí)波函數(shù)

圖6 諧振子勢(shì)的第二級(jí)波函數(shù)

當(dāng)空間格點(diǎn)數(shù)從171變到571時(shí),對(duì)應(yīng)于一些態(tài),它們的能量不隨格點(diǎn)數(shù)變化而變化,這些態(tài)就是束縛態(tài),它們的能級(jí)如下(單位是MeV):

對(duì)數(shù)值求解得到的這些能級(jí)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)隨著能級(jí)的升高,能級(jí)的間隔逐漸加大.而且各能級(jí)仍保持與量子數(shù)n2成正比的關(guān)系.

數(shù)值求解得到的與不同能級(jí)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)如下:

圖7 方勢(shì)阱的第三級(jí)波函數(shù)

圖8 方勢(shì)阱的第七級(jí)波函數(shù)

從圖7～9可以看出,數(shù)值求解得到的各級(jí)波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)比它的級(jí)數(shù)剛好少一,這與無限深方勢(shì)阱的情況完全對(duì)應(yīng)。

圖9 方勢(shì)阱的第八級(jí)波函數(shù)

2.3 兩種解的比較

對(duì)比在諧振子勢(shì)作用下的能級(jí),圖1是解析求解得到的能級(jí),而圖3是數(shù)值求解得到的能級(jí),兩圖均采用自然單位制,從這兩圖中可以發(fā)現(xiàn),兩種方法得到的結(jié)果完全相同.再看在諧振子勢(shì)作用下的波函數(shù),圖2是解析求解得到的第零級(jí)波函數(shù),而圖4是數(shù)值解得到的第零級(jí)波函數(shù),這兩條圖線也完全一致.實(shí)際上其它級(jí)波函數(shù)也是完全一致的,本文中沒必要一一列出.圖5和圖6是數(shù)值求解得到的諧振子勢(shì)作用下的第一級(jí)和第二級(jí)波函數(shù).在有限深方勢(shì)阱作用下數(shù)值求解得到能級(jí)已給出,圖7～9是對(duì)應(yīng)的波函數(shù).從以上的分析可見,數(shù)值解與解析解得到的結(jié)論完全一致.而數(shù)值解最大的優(yōu)點(diǎn)在于只要編好Schrodinger方程解的程序,在不同勢(shì)場(chǎng)下求解時(shí)只要把勢(shì)場(chǎng)換一下問題就可迎刃而解,具有方便、快捷而且準(zhǔn)確的特點(diǎn).

3 展望

本文利用實(shí)穩(wěn)定方法求出一維Schrodinger方程在不同勢(shì)作用下的束縛態(tài)問題,對(duì)三維Schrodinger方程的求解程序,以及散射態(tài)及共振態(tài)問題是下一步工作的方向.當(dāng)然實(shí)穩(wěn)定方法只是求解Schrodinger方程的一種方法,還可以考慮用其它不同的方法對(duì)Schrodinger方程進(jìn)行數(shù)值求解.

[1]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)（卷Ⅰ）[M].北京:科學(xué)出版社,1995：101-105.

[2]Hazi A U,Taylor H S.Stabilization Method of Calculating Resonance Energies：Model Problem[J].Phys RevA，1970，1：1109.

[3]張力，周善貴，孟杰.單粒子共振態(tài)的實(shí)穩(wěn)定方法研究[J].物理學(xué)報(bào)，2007，56（7）：38－39.

[4]黃云清，舒適，陳艷萍，等.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：科學(xué)出版社，2009：274－286.

[5]劉衛(wèi)國(guó)，蔡旭暉.FORTRAN 90程序設(shè)計(jì)教程[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2003.

N umerical S olution of Schrodinger E quation

ZHANG Zi-zhen，LU Shi－ru
(School of Mathematics and Computer Science,Shan x iDa t ong University,Da t ong Shan x i，037009)

The numerical solutions of schrodinger equation are studied by real stabilization.Taking Harmonic Oscillator potential as an example,the results are also compared with analytical solutions,and satatisfy agreements are found.We provide a new way to solve schrodinger equation.

schrodinger equation;bound state;analytical solution;numerical solution

O 41

A

〔編輯 李海〕

1674－0874（2010）02－0022－03

2009-03-26

張子珍(1965-),女,山西陽高人,教授,研究方向:原子核結(jié)構(gòu)理論.