王 敏，劉全輝，高玉麗

（魯東大學數(shù)學與信息學院，山東 煙臺 264025）

序約束下雙參數(shù)指數(shù)分布的Fiducial參數(shù)估計

王 敏，劉全輝，高玉麗

（魯東大學數(shù)學與信息學院，山東 煙臺 264025）

利用Fiducial統(tǒng)計推斷的方法，給出雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的Fiducial模型，然后基于參數(shù)的Fiducial模型給出兩總體序約束下參數(shù)的Fiducial分布，得到序約束條件下未知參數(shù)的Fiducial參數(shù)估計的具體解析式，同時給出兩總體序約束下未知參數(shù)的參數(shù)估計的數(shù)值解.對于總體個數(shù)大于2的情況，根據(jù)Fiducial模型給出相應(yīng)的參數(shù)估計的數(shù)值計算方法，并進行數(shù)值模擬，結(jié)果證明由這種數(shù)值方法所得到的數(shù)值解的誤差是可以接受的.

Fiducial模型；Fiducial分布；樞軸模型；序約束

0 引 言

雙參數(shù)指數(shù)分布的應(yīng)用很廣泛，尤其是在可靠性工程中，經(jīng)常用指數(shù)分布來描述車輛、液壓設(shè)備、泵等的壽命.但由于可靠性統(tǒng)計的對象大都是比較精密、昂貴的設(shè)備，能做的試驗少，數(shù)據(jù)得來不易，所以用經(jīng)典方法對可靠性統(tǒng)計中所需要的指標進行推斷不太容易.Bayes方法可以利用經(jīng)驗的知識，減少試驗的量.但是如果經(jīng)驗的知識很少，或者幾乎不了解，此時可以用Fiducial方法進行處理. Fiducial方法就是在沒有任何先驗信息的時候，給出在給定樣本觀測值的條件下參數(shù)的條件分布，以替代由Bayes定理得到的后驗分布.

參數(shù)的Fiducial分布最初是由Fisher于1930年引入的，主要研究單參數(shù)、單變量的連續(xù)型分布族.此后，一批統(tǒng)計工作者相繼在這方面作了許多工作，至今已有幾種求Fiducial分布的方法.Fraser[1－2]在變換分布族下給出了Fiducial分布，他所給的Fiducial分布，實際上是在Haar測度為先驗下的后驗分布.后來，F(xiàn)raser[3]將他的方法推廣到結(jié)構(gòu)模型.在這方面，Hora和Buehler[4－5]也做了一些工作.Dawid和Stone[6]以及Dawid和Wang[7]提出了另外一種求Fiducial分布的方法，他們考慮的模型是函數(shù)模型.除了上面兩種方法，Barnard[8]從樞軸模型給出了Fiducial推斷，他所給的Fiducial分布是從樞軸量的已知分布變換而得.然而，能用已有的方法得到Fiducial分布的情形還是有限的.

2006年，徐興忠[9]在《中國科學》上正式發(fā)表《樞軸分布族中的Fiducial推斷》一文，將Dawid和Stone的工作進行推廣，給出了Fiducial模型和Fiducial分布的概念，以適應(yīng)更廣泛的分布族.本文擬利用文獻［9］中的理論方法，給出雙參數(shù)指數(shù)分布的Fiducial參數(shù)估計.對于無約束條件下雙參數(shù)指數(shù)分布的Fiducial推斷，文獻［10］中已有詳細解答，因此，本文主要給出序約束條件下雙參數(shù)指數(shù)分布的Fiducial參數(shù)估計.

1 預(yù)備知識

文獻［9］對Fiducial模型和Fiducial分布的定義是在樞軸分布族中定義的.

定義1[9]設(shè)定義在空間χ上的隨機變量X的分布屬于樞軸分布族{Pθ：θ∈Ω}，χ，Ω都是Borel集，它們可以有不同的維數(shù)，是它的一個結(jié)構(gòu)模型，其中，Z為分布完全已知的隨機變量，其分布用Q表示， “”表示兩邊隨機變量同分布.是對應(yīng)的結(jié)構(gòu)方程，其中x，z分別是隨機變量X，Z的觀測值.在χ上定義距離（·，·），設(shè)是使得 d（x，h（θ，z））在 Ω 上達到最小值的 θ值， 即：

定義2[9]設(shè)是χ上的樞軸分布族，g（θ）是未知參數(shù)θ的一個函數(shù).若是由定義 1 確定的 Fiducial模型，我們稱是 g（θ）的 Fiducial模型， 并稱 g（（Z））在 Q 下的分布是 g（θ）的 Fiducial分布， 記為 HxG（·）.

在上述定義指導下，可以找到雙參數(shù)指數(shù)分布總體中未知參數(shù)的Fiducial分布，從而可對總體進行一系列推斷.為此，先作如下假定.

設(shè)有k個雙參數(shù)指數(shù)分布總體，第i個總體Xi的概率密度函數(shù)為：

記為 Xi～ E（αi，βi）， E 表示指數(shù)分布.

（Xi1，Xi2，…，Xini），i=1，2，…，k 分別是來自第 i個雙參數(shù)指數(shù)分布總體的簡單隨機樣本，是第i個總體的樣本的最小次序統(tǒng)計量，i為第i個總體的樣本均值.

記參數(shù) α ＝ （α1，α2，…，αk）， β ＝ （β1，β2，…，βk）. 一般情況下, 它們滿足一定的約束條件，如最簡單的序約束：

以下，本文將在這兩個約束條件下討論雙參數(shù)指數(shù)分布中未知參數(shù)的估計問題.為此，先計算序約束下參數(shù)的Fiducial分布.

2 主要結(jié)果

根據(jù)文獻［9］所介紹的方法，要求參數(shù)的Fiducial分布，需要先根據(jù)樞軸模型給出參數(shù)的Fiducial模型，再求出參數(shù)的Fiducial分布.計算結(jié)果顯示，參數(shù)的Fiducial分布計算起來比較麻煩，而且，很多情況下沒有顯式表達，因此，以下僅給出兩個雙參數(shù)指數(shù)分布總體（k=2）序約束（1）下參數(shù)α的Fiducial分布.而對兩個總體序約束（2）下β的Fiducial參數(shù)估計及其他情況下各參數(shù)的Fiducial估計，則給出相應(yīng)的數(shù)值計算的方法.

2.1 序約束下位置參數(shù)α的Fiducial參數(shù)估計

在兩總體序約束情況下，如采用式（1）所表示的序約束形式，可采用與文獻［10］相同的方法，得出β已知時，α的樞軸模型為：

其中， Z1， Z2獨立同分布， Z1～ E（1）， E（1）表示參數(shù)為 1 的指數(shù)分布.X（1）， Y（1）分別為兩個總體的樣本的最小次序統(tǒng)計量.

為了得到序約束（1）下未知參數(shù)α1，α2的Fiducial分布，首先找到在這個約束條件下α1，α2的 Fiducial模型. 為此， 令：

在這里， 除 α1，α2外， 其它均為已知的值， x（1）， y（1）， z1， z2分別為 X（1）， Y（1）， Z1， Z2的觀測值.

要得到約束條件下 α1，α2的 Fiducial模型， 必須找到在這個約束條件下 D（α1，α2）的最小值點.于是這個問題就轉(zhuǎn)化為下面這樣一個求非線性規(guī)劃的問題：

解這個非線性規(guī)劃問題，可以得到在約束α1<α2下，參數(shù)α1，α2的Fiducial模型分別為：

這里，

其中Z1，Z2是獨立同分布的，Z1～E{1}.

由參數(shù)的 Fiducial模型（3）， （4）可以直接找到的聯(lián)合分布以及它們的邊際分布.

1） 當 x（1）≤ y（1）時，的聯(lián)合分布為：

也可以得到與上面相同的結(jié)果.

則可將該期望值作為序約束（1）下未知參數(shù)的點估計.其區(qū)間估計可由相應(yīng)的邊際Fiducial密度求得.

事實上，也可以由Fiducial模型（3）直接得到它們的數(shù)學期望，結(jié)果與上面是一樣的.

2）當 x（1）>y（1）時， 可以得到的聯(lián)合分布：

事實上, 由：

可得

同理可得

由此可用兩者的均值作為序約束下α1，α2的點估計.

由上面的討論可以看出，在求參數(shù)的期望值，尤其是在帶約束的條件下的期望值時，參數(shù)的Fiducial分布很難有表達式.當總體個數(shù)增加時，尋找顯式表達就更加困難，此時可以采用數(shù)值計算的方法.

在這個規(guī)劃問題中，目標函數(shù)是k個函數(shù)的和，約束條件有個k-1.當k特別大時，尋找最小值點比較困難，這時可以采用數(shù)值計算的方法得到在序約束條件下α的Fiducial分布的樣本，然后對所得樣本觀測值求平均值或眾數(shù)等，來得到α的Fiducial參數(shù)估計.具體算法如下.

第一步， 分別找到 g（αi，βi）的最小值點， 記為 αi， i＝ 1，2，…，k. 若滿足 α1≤ α2≤…≤αk，則這k個點即為所求的點，否則繼續(xù)下步；

第二步，找到第一個不滿足條件的點，設(shè)為αi，即αi滿足α1≤α2≤…≤αk，αi＞αi+1；

第三步，令 αi＝ αi+1， 由目標函數(shù) g（αi，βi） +g（αi，βi+1）+g（αi+2，βi+2）得到無約束條件下的最小值點， 仍記為 αi， 令 αi+1＝αi；

第四步，比較αi+1和αi+2的大小關(guān)系，若αi+1≤αi+2，則繼續(xù)兩兩比較，找到下一個不滿足條件的點，按照第三步的方法得到新的最小值點，否則繼續(xù)下一步；

第五步， 若 αi+1＞ αi+2， 則令 αi＝ αi+1＝ αi+2， 由目標函數(shù)為g（αi，βi） +g（αi，βi+1）+g（αi+2，βi+2）， 得到無約束條件下的最小值點， 仍記為 αi， 令 αi+1＝ αi+2＝ αi；

第六步，繼續(xù)第四、五步的步驟，一直比較到最后一對αk-1＝αk，則得到一列新的值， 仍記為 α1，α2，…，αk，完成一次循環(huán)；

第七步，循環(huán)進行上述六步，會得到不同的點列，當這列點滿足α1≤α2≤…≤αk時, 循環(huán)結(jié)束，則這列點就是所要求的點.

2.2 序約束下尺度參數(shù)β的Fiducial參數(shù)估計

兩個指數(shù)總體下，α已知時，β的樞軸模型為：

其中， Z11， Z12， Z21， Z22相互對立， 且 Z11，Z12～ E（1）， Z21，Z22～ Γ（n-1，1）， Γ（n-1，1）表示參數(shù)為n-1，1的伽瑪分布.

在序約束（2）下求解β的Fiducial分布較復(fù)雜，因此采用與求解α的Fiducial參數(shù)估計相同的方法，令：

通過求得該非線性問題的最小值點，進而求得β的Fiducial分布的一組樣本點，最終求得β的Fiduical參數(shù)估計.這里不作詳細說明.

2.3 序約束下（α，β）的Fiducial參數(shù)估計

當所有的參數(shù)都是未知時，必須從它們的聯(lián)合樞軸模型得到參數(shù)的Fiducial模型.

求解非線性規(guī)劃問題：設(shè)：

但是這個規(guī)劃問題計算起來比較麻煩，所以一般不直接計算，而是用數(shù)值計算的方法得到αi，βi的Fiducial分布的樣本點. 具體步驟如下.

第一步， 首先分別找到 f（αi，βi）的最小值點， 記為 ai， bi， 若滿足 a1≤ a2≤ … ≤ ak，b1≤ b2≤ … ≤ bk， 則（a1，a2，…，ak）， （b1，b2，…，bk）即為所求點. 否則繼續(xù)下一步；

第二步，若（a1，a2，…，ak）， （b1，b2，…，bk）中有且只有一組點滿足條件，不妨設(shè) a1，a2，…，ak滿足條件， 分別將 a1，a2，…，ak代入 f（α1，β1）， f（α2，β2），…， f（αi，βi）， 這樣就轉(zhuǎn)化為一個在 α1，α2，…，αk已知的條件下，關(guān)于 β1， β2，…， βk的約束問題， 可以按照第 2.1 節(jié)的算法來進行.否則繼續(xù)下一步；

根據(jù)上述算法， 取 k=4，α， β的真實值為 α = （0，1，2，3）， β = （1，2，4，6）， 即假定4 個已知總體： E（0，1）， E（1，2）， E（2，4）， E（3，6）， 在這 4 個總體中分別抽取容量為 ni（i=1，2，3，4）的樣本， 由這些樣本得到總體參數(shù)的估計值α， β， 并與其真實值 α， β 進行比較，用Matlab程序，n=（n1，n2，n3，n4）取不同的值，模擬出的結(jié)果如表1所示.

表1 α，β的估計值

由上表可以看出，樣本容量很大時，用這種算法得到的總體參數(shù)的估計值更接近真實值，且不同樣本容量得到的估計值之間的誤差大部分不超過0.1.因此由這種數(shù)值方法所得到的估計值是可以被接受的.

3 結(jié) 語

本文利用Fiducial推斷的方法，給出了雙參數(shù)指數(shù)分布中未知參數(shù)在各種情況下的Fiducial參數(shù)估計，從計算過程來看，F(xiàn)iducial方法相較于經(jīng)典方法要稍顯麻煩，但是Fiducial方法仍是值得采用的一種方法，主要反映在以下幾個方面：首先，F(xiàn)iducial方法主要針對小樣本情況下的統(tǒng)計推斷，尤其是不需要給出先驗分布.其次，雖然很多時候參數(shù)的Fiducial分布不容易求，但是利用參數(shù)的Fiducial模型可以很方便地給出數(shù)值計算的方法，而且所得結(jié)果誤差在可以接受的范圍之內(nèi).最后，F(xiàn)iducial方法對所得結(jié)果好壞的評價標準要比經(jīng)典方法的解釋更容易為人們所接受.Fiducial方法對結(jié)果的解釋是，在對總體進行了一定的觀測后，根據(jù)所得樣本觀測值給出了參數(shù)的統(tǒng)計推斷結(jié)果，該結(jié)果只與已經(jīng)出現(xiàn)的結(jié)果有關(guān)，與沒有出現(xiàn)的結(jié)果是沒有關(guān)系的，符合人們的直觀想法；而經(jīng)典統(tǒng)計對結(jié)果的解釋是，對總體進行充分多次觀測后所得結(jié)果的平均取值，也就是說，不管某一個樣本觀測值是否出現(xiàn)，它都要被列入評價范圍之內(nèi)，這對人們來說是難以接受的.

[1]Fraser D A S.On fiducial inference[J].Ann Math Statist， 1961， 32： 661-671.

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[3]Fraser D A S.The structure of inference[M].New York： Wiley， 1968.

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[8]Barnard G A.Pivotal models and the Fiducial argument[J].International Statistical Review， 1995，6：309-323.

[9]徐興忠，李國英.樞軸分布族中的Fiducial推斷[J].中國科學A輯，2006（03）：340-360.

[10]Wang Min， Zhang Bao-xue， Xu Xing-zhong.The Fiducial inference on the two-parameter exponential distribution[J].Soochow Journal of Mathematics， 2006， 10（32）： 447-484.

Abstract：The Fiducial model in the two-parameter exponential distribution is given on the basis of the Fiducial estimation method. The Fiducial distribution under the two global order restrictions is presented.The exact expressions to estimate the Fiducial parameters under the order restrictions can be obtained.Since the solutions to the expressions are complex，the parameter estimation solutions under the two global order restrictions are presented.If the global number is over two，the exact expressions cannot be given.The parameter estimation computing method based on the Fiducial model and numerical simulations is proposed.It is shown that the error that is caused by this method can be accepted.

Key words：Fiducial model；Fiducial distribution；pivotal model； order restriction

Fiducial Parameter Estimation on the Two-Parameter Exponential Distribution under the Order Restrictions

WANGMin， LIU Quan-hui， GAO Yu-li
（School of Mathematics and Information， Ludong University， Yantai 264025， Shandong， China）

O 211.3

A

1001-4217（2010）04-0017-09

2010-04-13

王敏（1979－），女，山東煙臺人，碩士，講師.研究方向：Fiducial統(tǒng)計推斷.E-mail：wangmin_2001@163.com

魯東大學校科研基金（042711）