黃國慶

（長治學院 師范分院，山西 長治 046000）

高等代數(shù)教法探析

黃國慶

（長治學院 師范分院，山西 長治 046000）

文章主要論述克服《高等代數(shù)》教學中的抽象性以及揭示數(shù)學的趣味的一些方法與思路?？朔橄笮猿诵枰嗨伎级嘧鲱}外，教師還應(yīng)多利用類比法和示例法教學；揭示趣味需要挖掘和拓展教學內(nèi)容，需要與一些實際例子結(jié)合。尤其結(jié)合師范生的實際情況，在教學中還應(yīng)該穿插與教學有關(guān)的內(nèi)容，以激發(fā)學生學習興趣，體現(xiàn)數(shù)學教學的趣味性。

高等代數(shù)；數(shù)學；抽象性

《高等代數(shù)》是現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。其學科概念性較強，相應(yīng)的思維方法獨特，從而造成教學存在一定的難度。筆者認為，克服其抽象性的關(guān)鍵在于教學中多采用類比法與示例法等方法。

1 類比法教學

高等代數(shù)是中學代數(shù)的延續(xù)與拓展，許多內(nèi)容與初等數(shù)學聯(lián)系比較緊密，如多項式、行列式、線性方程組、二次型等章節(jié)，在這些內(nèi)容的教學中，都可以用類比法。在教學過程中，對有些知識我們經(jīng)常會有“似曾相識”的感覺，而且在不同領(lǐng)域中會感到某種類似的成份。如果我們把這些類似進行比較，加以聯(lián)想，可能發(fā)現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法。這種把類似知識進行比較、聯(lián)想，由一個數(shù)學對象的已知性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學對象上去，從而獲得另一個對象性質(zhì)的方法就是類比法。類比法不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種尋求解題思路、猜測問題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)方法。

教學中應(yīng)充分利用學生原有的知識作為基礎(chǔ)，讓抽象的高等代數(shù)概念找到初始的原形，在類比中辨別高等代數(shù)與初等數(shù)學在處理問題思維方式上的異同。

比如，在講解多項式的整除時，可以與數(shù)的整除類比；多項式的因式分解可以與數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解類比；在講解線性變換時，可以與函數(shù)類比，從本質(zhì)上說，線性變換是向量函數(shù)，是向量與向量之間的對應(yīng)。這樣對比后，更利于學生對知識的理解。又如二次型教學，可以先復(fù)習配方法，再講二次型化為標準型的配方法。方法相同，只是配方的次數(shù)比中學時有所增加，未知量也多了，但方法本質(zhì)相同。

2 示例法教學

除類比法之外，利用直觀模型進行示例教學也是一種好的方法。這里的直觀模型是指一個抽象問題中相關(guān)的例題或特例，且這些內(nèi)容應(yīng)該是已經(jīng)掌握的或者容易接受的。筆者在教學中為了克服數(shù)學的抽象性，常常在講解時穿插例題，使抽象問題具體化，以便學生們加深理解。比如在高等代數(shù)中，最抽象的概念是線性空間，歷屆的學生都是從這里開始感覺到課程學習的難度。我們先回顧一下數(shù)學概念的建立歷史。到了20世紀，隨著數(shù)學的系統(tǒng)化，模型的分析才受到重視。于是，出現(xiàn)集合、群、環(huán)、線性空間、拓撲空間之類的數(shù)學模型，構(gòu)成它們世界的是數(shù)學對象，而不是那些呈現(xiàn)在日常生活中的東西。在這個意義上，它們是第二代數(shù)學模型。線性空間就是第二代模型的一個例子，它是通過公理化的方式來表述的，其構(gòu)成元素也都是數(shù)學對象，不是生活對象，因此，學生理解起來較難。大部分學生只能非常具體地思考問題，碰到第二代模型的術(shù)語就感到困難。實際上，學生甚至在碰到最簡單的與現(xiàn)實聯(lián)系最緊密的模型時也會感到困難。

因此，在講解這個線性空間概念時，我們可以引導學生們先設(shè)想一維線性空間（時間軸或數(shù)軸）、二維線性空間（平面上的向量集）、三維線性空間（立體空間上的向量集），然后進一步推廣到多維線性空間，最終概括出其本質(zhì)并給出定義——它是一個集合，在其中定義了兩種運算加法與數(shù)乘，數(shù)是取自某個數(shù)域，且集合中的元素對加法與數(shù)乘具有封閉性，運算滿足八條公理，這樣一個集合就叫某個數(shù)域上的線性空間，或者把它看成一個代數(shù)結(jié)構(gòu)。然后再給學生們找出一個多維線性空間的實例，如：齊次線性方程組AX=0的解的集合就是一個線性空間，我們試圖通過具體的例子讓學生們?nèi)ミM一步概括出、理解到這個概念。

矩陣的乘法，對學生來說是個難點。當講到這里時，除了給出定義，還要說明并不是任意兩個矩陣都能相乘，只有左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時乘法才能進行，這是由矩陣乘法的實質(zhì)意義決定的。因此，我進一步講了矩陣乘法的直觀意義。給定數(shù)域P上m×n矩陣A和n×1矩陣X如下:

那么，按照矩陣乘法，

就是說，對于Pn中的兩種運算：加法與數(shù)乘，在上述映射下對應(yīng)于Pm內(nèi)的加法與數(shù)乘，對運算具有保持性。本來Pn和Pm是數(shù)域P上的兩個不同的線性空間，而矩陣乘法給出了它們之間保持加法、數(shù)乘對應(yīng)關(guān)系的映射，等于在兩者之間建立起了一座橋梁，使它們互相可以溝通。在二次型中應(yīng)用的線性變換X=CY，C是可逆矩陣，其實也是映射這個含義。

當講到矩陣的乘法不滿足交換律時，也可以舉例說明：一方面，交換后不一定可做乘法；即使能做，也不一定相等?？山o出例題，直觀認識，學生比較容易接受。

有時還可能要考慮好幾個直觀模型。然后在閱讀證明或計算的過程時，把自己考慮的特例代入其中，并留心觀察它的走向，發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律。

例如，求線性空間的一個向量在它的某個基下的坐標，我們可以先從一個具體的例題入手，尋找其一般的求解方法。

例 1 在線性空間 R3中，求向量 α=（1，2，1）關(guān)于基：α1=（1，1，1），α2=（1，1，-1），α3=（1，-1，-1）的坐標。解： 設(shè)向量 α 關(guān)于基 α1，α2，α3的坐標是（x1，x2，x3），則有3，即：

由此，推廣到一般，我們可以發(fā)現(xiàn)這類問題的一般的求解方法。

設(shè)在Pn中給定一組基和一個向量β：求向量 β 關(guān)于基 α1，α2，…αn下的坐標。實際上就是求解下列向量方程組的解：

把 α1，α2，…αn作為列向量排成一個 n 階方陣 A，它就是上面線性方程組

的系數(shù)矩陣。因為A滿秩，所以可單用初等行變換化為單位矩陣E，寫出線性方程組的增廣矩陣，用初等行變換把A化為E，則γ即為所求的坐標：

通過研究這些特例，就可以更深入地理解抽象理論的特點，從而接近問題的本質(zhì)。教學中這些例題的穿插，會起到了直觀的作用，直觀的例題模型還可以在獨立解決問題時起到導引思路的作用。

當開始思考一個復(fù)雜的問題時，可能會有若干種思路，如果把一些特例代入，很快就會發(fā)現(xiàn)有些思路根本走不通，于是就可以少走彎路。

選取一個好的直觀模型是很重要的。一方面它不能太難，必須是已被自己掌握的；另一方面又忌太平凡，那樣往往效力不夠。通常一本書在介紹一個新概念后都會舉出不少實例，這些是必須要留心掌握的。這種方法也有它的局限性，有不少數(shù)學概念就沒有簡單的例子加以說明。另外使用直觀模型只是一種輔助手段，目的是幫助理解和提供思維的參考，它不能也不應(yīng)該代替嚴格的推導過程。

3 趣味性教學

數(shù)學的抽象性，導致學生們學習起來感覺比較枯燥難學。因此如何將數(shù)學趣味化也是我常常思考的問題。教材往往是濃縮的精華，把它泡開，才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學的趣味。這就需要我們?nèi)ネ诰蚪滩摹⑼卣箖?nèi)容、與一些實際例子結(jié)合、與一些數(shù)學家生活工作的故事結(jié)合來激發(fā)學生學習興趣，從而使數(shù)學教學更具趣味性。

例如：在講解子空間的直和時，教材直接給出定義，然后是定理的證明，學生接受起來比較困難。而筆者在講解時做了這樣的處理：先講解兩個例題，一個是向量分解式不惟一的，一個是向量分解式惟一的。讓學生們先直觀感覺向量分解式的各種情況，產(chǎn)生興趣，然后再引導到定義；再說明研究直和的目的，是為了在研究空間性質(zhì)時把大的空間轉(zhuǎn)換為子空間來進行。

另外，由于學生的畢業(yè)去向大多是小學，所以我還積極探索《高等代數(shù)》與小學數(shù)學教學的關(guān)系，尋找《高等代數(shù)》與小學數(shù)學教學之間的相關(guān)性。通過在教學中穿插一些與小學數(shù)學有關(guān)的內(nèi)容，以提升教學內(nèi)容的趣味性。比如，維數(shù)公式與小學數(shù)學集合題的聯(lián)系。如果V1，V2是線性空間的兩個子空間，那么，它們的維數(shù)關(guān)系有：

例2、 小學應(yīng)用題：某班36人，參加數(shù)學、語文課外興趣小組，每人至少參加一個小組，參加數(shù)學、語文的人數(shù)是20、28人，求同時參加兩個小組的人數(shù)。解： 設(shè)同時參加兩個小組的人數(shù)為x，

則 36=20+28-x，x=12。

后者在計算時與維數(shù)公式有內(nèi)在的聯(lián)系，本質(zhì)上相同。

以上是我在教學中一些探討。高等數(shù)學教學要求我們完成四個方面的任務(wù)：一是讓學生認識與理解數(shù)學的內(nèi)容；二是解決其枯燥感，揭示數(shù)學的趣味；三是介紹數(shù)學的應(yīng)用，使學生覺得數(shù)學是具有實用價值的；四是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，要在動手做、動腦思考中學習，學會獨立思考。因此，對教學的探索應(yīng)該是多方面的，另外，我們也要注意培養(yǎng)學生的非智力因素，要求學生養(yǎng)成精細、嚴謹、簡明的思維風格和不斷設(shè)問的好奇心，以及通過數(shù)學的學習磨練學生堅忍不拔的毅力和刻苦鉆研、不斷創(chuàng)新的精神。

總之，教學是一門藝術(shù)，需要我們不斷研究與探索，在數(shù)學的教學中更要求我們學會以直觀克服數(shù)學的抽象性，以拓展揭示數(shù)學的趣味性。

［1］唐忠明.高等代數(shù)［M］.南京：南京大學出版社，2000.

［2］張禾瑞.高等代數(shù)第四版［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［3］瑞典.L.戈丁.數(shù)學概觀［M］.北京：科學出版社，2001.

［4］藍以中.高等代數(shù)簡明教程［M］.北京：北京大學出版社，2002.

［5］王庚.數(shù)學文化與數(shù)學教育［M］.北京：科學出版社，2005.

（責任編輯 趙巨濤）

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1673-2014（2010）05-0074-03

2010—09—13

黃國慶（1967— ），男，河南林州人，講師，主要從事高等代數(shù)教學研究。